人教版数学必修4和必修5知识点总结.pdf

1高中数学必修高中数学必修 4 第三章第三章 三角恒等变换知识点总结三角恒等变换知识点总结24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：；coscoscossinsincoscoscossinsin；sinsincoscossinsinsincoscossin （）；tantantan1tantantantantan1tantan （）tantantan1 tantantantantan1 tantan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sincos222)cos(sincossin2cossin2sin12222cos2cossin2cos1 1 2sin 升幂公式2sin2cos1,2cos2cos122降幂公式，2cos21cos221 cos2sin2 22tantan21 tan26、（后两个不用判断符号，更加好用）27、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 形式。，其中BxAy)sin(22sincossinAA tanA28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；242224；问：；2304560304515oooooo12sin12cos；)()4(24半角公式sincos1cos1sincos1cos12tan2cos12sin;2cos12cos:2tan12tan1 cos;2tan12tan2 sin:222万能公式2；等等)4()4()()(2（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：oo45tan90sincottancossin122（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有：；。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：；cos1（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如：；_tan1tan1_tan1tan1；_tantan_tantan1；_tantan_tantan1 ；tan22tan1 ；oooo40tan20tan340tan20tan =；cossin =；（其中 cossinbatan；）；cos1cos1（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。如：；)10tan31(50sinoo 。cottan必修必修 5 5 知识点总结知识点总结31、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，为的外接圆的半径，CAabcACRCA则有2sinsinsinabcRCA2、正弦定理的变形公式：，；2 sinaRA2 sinbR2 sincRC，；sin2aRA sin2bR sin2cCR:sin:sin:sina b cCAsinsinsinsinsinsinabcabcCCAA（正弦定理主要用来解决两类问题：正弦定理主要用来解决两类问题：1 1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2 2、已知两角和一、已知两角和一边，求其余的量。边，求其余的量。）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形 ABC 中，已知 a、b、A（A 为锐角）求 B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把 a 扰着 C 点旋转，看所得轨迹以 AD 有无交点：当无交点则 B 无解、当有一个交点则 B 有一解、当有两个交点则 B 有两个解。法二：是算出 CD=bsinA,看 a 的情况：当 absinA，则 B 无解当 bsinAb 时，B 有一解注：当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCacAA 4、余弦定理：在中，有，CA2222cosabcbcA2222cosbacac2222coscababC5、余弦定理的推论：，222cos2bcabcA 222cos2acbac 222cos2abcCab(余弦定理主要解决的问题：余弦定理主要解决的问题：1 1、已知两边和夹角，求其余的量。、已知两边和夹角，求其余的量。2 2、已知三边求角、已知三边求角)6、如何判断三角形的形状：设、是的角、的对边，则：若，则abcCAAC222abc；90C o若，则；若，则222abc90C o222abc90C o正余弦定理的综合应用正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,DbsinAAbaCCABD4但不能到达，在岸边选取相距千米的 C、D 两点，3并测得ACB=75O,BCD=45O,ADC=30O,ADB=45O(A、B、C、D 在同一平面内)，求两目标 A、B 之间的距离。本题解答过程略 附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.数列基本概念数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列；依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；数列通项：奎 奎奎 奎 奎奎 奎()naf n2、等差数列、等差数列 1、定义 当,且 时，总有，d 叫公差。nN2n 1,()nnaadd常 2、通项公式 1(1)naand1）、从函数角度看 是 n 的一次函数，其图象是以点 为端点,斜率为 d 斜线上一些孤立1()nadnad1(1,)a点。2）、从变形角度看 ,即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。(1)()nnaand又,11(1),(1)nmaand aamd相减得，即.()nmaanm d()nmaanm d若 nm，则以 为第一项，是第 n-m+1 项，公差为 d；mana若 n0(0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“b 解的讨论；一元二次不等式 ax2+bx+c0(a0)解的讨论.0 0 0 二次函数cbxaxy2（0a）的图象一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221 无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2 R的解集)0(02acbxax21xxxx 对于 a0(或)()(xgxf0)；)()(xgxf 0(或)()(xgxf0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(xgxgxfxgxfxgxfxgxf12例题：求解不等式：11x 解：略例题：求不等式的解集。11xx3.含绝对值不等式的解法：基本形式：型如：|x|a (a0)的不等式 的解集为：|xaxa 型如：|x|a (a0)的不等式 的解集为：|,x xaxa 或变型：解得。其中-cax+bc 等价于不|(0)|axbc cxcaxbc 型的不等式的解集可以由等式组 在解-cax+b0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：设 ax2+bx+c=0 的两根为，f(x)=ax2+bx+c,那么：、若两根都大于 0，即，则有0,0000 若两根都小于 0，即，则有0,0002(0)0baf 对称轴 x=2bayox对称轴 x=2baoxyoyx921125=10()f xy3o2x14若两根有一根小于 0 一根大于 0，即，则有0(0)0f若两根在两实数 m,n 之间，即，mn则有 02()0()0bmnaf mf n 若两个根在三个实数之间，即，mtn 则有()0()0()0f mf tf n。还有很多，见课件常由根的分布情况来求解出现在 a、b、c 位置上的参数例如：若方程有两个正实数根，求的取值范围。222(1)230 xmxmmm解：由型得000 2224(1)4(23)02(1)0230mmmmmm111,3mmmm 或3m 所以方程有两个正实数根时，。3m 又如：方程的一根大于 1，另一根小于 1，求的范围。2210 xxm m解：因为有两个不同的根，所以由0(1)0f 2222(1)4(1)01110mm 552211mm 11m 35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是 的不等式136、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组X=2banxmoyX=2bayomtnx1541、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数ab2abababab42、均值不等式定理：若，则，即0a 0b 2abab2abab43、常用的基本不等式：；222,abab a bR22,2ababa bR；20,02ababab222,22ababa bR44、极值定理：设、都为正数，则有：xy若（和为定值），则当时，积取得最大值若（积为定值），则当xysxyxy24sxyp时，和取得最小值xyxy2p例题：已知，求函数的最大值。54x 1()4245f xxx解：，54x 450 x 由原式可以化为：1111()4552(54)3(54)3(54)31 3245545454f xxxxxxxxx 当，即时取到“=”号15454xx2(54)1x31(2xx，或舍去）也就是说当时有1x max()2f x