同济第六版《高等数学》教案WORD版-第04章-不定积分.pdf

高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 第四章第四章 不定积分不定积分教学目的：教学目的：1、理解原函数概念、不定积分的概念。2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点：教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。教学难点：教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。4 1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念 定义定义 1 如果在区间 I 上 可导函数 F(x)的导函数为 f(x)即对任一 xI 都有F(x)f(x)或 dF(x)f(x)dx 那么函数 F(x)就称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I 上的原函数 例如 因为(sin x)cos x 所以 sin x 是 cos x 的原函数 又如当 x(1)时 因为 所以是的原函数 xx21)(xx21 提问:cos x 和还有其它原函数吗？x21 原函数存在定理 如果函数 f(x)在区间 I 上连续 那么在区间 I 上存在可导函数 F(x)使对任一 x I 都有F(x)f(x)简单地说就是 连续函数一定有原函数 两点说明 第一 如果函数 f(x)在区间 I 上有原函数 F(x)那么 f(x)就有无限多个原函数 F(x)C 都是 f(x)的原函数 其中 C 是任意常数 第二 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果(x)和 F(x)都是 f(x)的原函数 则(x)F(x)C (C 为某个常数)高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 定义定义 2 在区间 I 上 函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I 上的不定积分 记作 dxxf)(其中记号称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式 x 称为积分变量 根据定义 如果 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数 那么 F(x)C 就是 f(x)的不定积分 即 CxFdxxf)()(因而不定积分可以表示 f(x)的任意一个原函数 dxxf)(例 1因为 sin x 是 cos x 的原函数所以 Cxxdxsincos 因为是的原函数所以xx21 Cxdxx21 例 2.求函数的不定积分xxf1)(解：当 x0 时(ln x)x1 (x0)Cxdxxln 1 当 x0 时ln(x)xx1)1(1 (x0)dxxa22 解:设 xa sin t 那么 2 2 t22xa tataacossin222dx a cos t d t 于是 tdtatadxxacoscos22 Cttatdta)2sin4121(cos222因为,所以axtarcsinaxaaxttt222cossin22sin dxxa22Ctta)2sin4121(2Cxaxaxa22221arcsin2 解:设 xa sin t 那么2 2 t高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 tdtatadxxacoscos22 Cttatdta)2sin4121(cos222Cxaxaxa22221arcsin2提示:dxacos tdt 22xa tataacossin222提示:,axtarcsinaxaaxttt222cossin22sin 例 20.求(a0)22axdx 解法一 设 xa tan t 那么2 2 ta sec t dxa sec 2t d t 于是22ax taa222tanta2tan1 ln|sec t tan t|C 22axdxtdtdttatasecsecsec2因为 所以aaxt22secaxttan ln|sec t tan t|C 22axdxCaaxax)ln(22122)ln(Caxx其中 C 1Cln a 解法一 设 xa tan t 那么2 2 t ln|secttant|C tdtdttataaxdxsecsecsec222 Caaxax)ln(22122)ln(Caxx其中 C 1Cln a 提示:asect dxa sec 2t dt 22ax taa222tan提示:aaxt22secaxttan 解法二:设 xa sh t 那么高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 22axdxCaxCtdtdttataarshch ch Caxax1)(ln2122)ln(Caxx其中 C 1Cln a 提示:a ch t dx a ch t d t 22ax 222atsha 例 23.求(a0)22axdx 解:当 xa 时 设 xa sec t()那么2 0ta tan t 22ax 222secata1sec2ta于是 ln|sec t tan t|C 22axdxtdtdttattasectantansec因为 所以aaxt22tanaxtsec ln|sec t tan t|C 22axdxCaaxax|ln22122)ln(Caxx其中 C 1Cln a 当 xa 于是 22axdxCauuaudu)ln(2222 Caxx)ln(22122)ln(Caxx 122222)ln(lnCaxxCaaxx其中 C 1C2ln a 综合起来有22axdxCaxx|ln22 解:当 xa 时 设 xa sec t()那么2 0t高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 22axdxtdtdttattasectantansec CaaxaxCtt)ln(|tansec|ln22 Caxx)ln(22其中 C 1Cln a 当 xa 于是 22axdxCauuaudu)ln(2222 CaaxxCaxx22222ln)ln(122)ln(Caxx其中 C 1C2ln a 提示:atant 22ax 222secata1sec2ta提示:aaxt22tanaxtsec 综合起来有 Caxxaxdx|ln2222 补充公式(16)Cxxdx|cos|lntanCxxdx|sin|lncot(18)Cxxxdx|tansec|lnsec(19)Cxxxdx|cotcsc|lncsc(20)Caxadxxaarctan1122(21)Caxaxadxax|ln21122(22)Caxdxxaarcsin122(23)Caxxaxdx)ln(2222高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室(24)Caxxaxdx|ln2222 4 3 分部积分法分部积分法 设函数 uu(x)及 vv(x)具有连续导数 那么 两个函数乘积的导数公式为(uv)uvuv 移项得 uv(uv)uv 对这个等式两边求不定积分 得 或vdxuuvdxvuvduuvudv这个公式称为分部积分公式 分部积分过程:vdxuuvvduuvudvdxvu 例 1 x sin xcos xC xdxxxxxdxdxxsinsinsincos 例 2 Cexedxexexdedxxexxxxxx 例 3 2222dxeexdexdxexxxxx xxxxxdeexdxxeex2222dxexeexxxx222 x2ex2xex2exC ex(x22x2)C 例 4 dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222 Cxxxxdxxx22241ln2121ln21 例 5 xxdxxxdxarccosarccosarccos dxxxxx211arccos )1()1(21arccos2212xdxxxCxxx21arccos 例 6 2arctan21arctanxdxxdxxdxxxxx2221121arctan21 dxxxx)111(21arctan2122高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 Cxxxxarctan2121arctan212 例 7 求 xdxexsin 解 因为xdexexdexdxexxxxsinsinsinsin xxxxxdexexdxexecossincossin xdexexexxxcoscossin xdexexexxxcoscossin xdxexexexxxsincossin所以 Cxxexdxexx)cos(sin21sin 例 8 求 xdx3sec 解 因为 xxdxdxxxdxtansecsecsecsec23 xdxxxx2tansectansec dxxxxx)1(secsectansec2 xdxxdxxxsecsectansec3 xdxxxxx3sec|tansec|lntansec所以 xdx3secCxxxx|)tansec|lntan(sec21 例 9 求 其中 n 为正整数nnaxdxI)(22 解 CaxaaxdxIarctan1221 当 n1 时，用分部积分法 有 dxaxxnaxxaxdxnnn)()1(2)()(222122122高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 dxaxaaxnaxxnnn)()(1)1(2)(222122122即 )(1(2)(211221nnnnIaInaxxI于是 )32()()1(2111222nnnInaxxnaI以此作为递推公式 并由即可得CaxaIarctan11nI 例 10 求 dxex 解 令 x t 2 则 dx2tdt 于 dxexCxeCtedttextt)1(2)1(22 xdexxdedxexxx2)(2 xdeexdexxxx222 CxeCeexxxx)1(222 第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第一步都是凑微分 )()()()(xdxfdxxxfux)(令duuf)()()()()(xdvxudxxvxu)()()()(xduxvxvxu哪些积分可以用分部积分法？xdxxcosdxxexdxexx2 xdxxlnxdxarccosxdxxarctan xdxexsinxdx3sec 2222 duedxedxxeuxx 2222 dxeexdexdxexxxxx高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 4 4 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 一、有理函数的积分一、有理函数的积分 有理函数的形式 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数 即具有如下形式的函数:mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(其中 m 和 n 都是非负整数a0 a1 a2 an及 b0 b1 b2 bm都是实数 并且 a00 b00 当nm 时 称这有理函数是真分式 而当 nm 时 称这有理函数是假分式 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式 例如 1111)1(1122223xxxxxxxx 真分式的不定积分 求真分式的不定积分时 如果分母可因式分解 则先因式分解 然后化成部分分式再积分 例 1 求 dxxxx6532 解 dxxxx6532dxxxx)3)(2(3dxxx)2536(6ln|x3|5ln|x2|C dxxdxx2536提示 )3)(2()32()(23)3)(2(3xxBAxBAxBxAxxxAB1 3A2B3 A6 B5 分母是二次质因式的真分式的不定积分 例 2 求 dxxxx3222 解 dxxxx3222dxxxxxx)3213322221(22 dxxxdxxxx321332222122 2222)2()1()1(332)32(21xxdxxxxd Cxxx21arctan23)32ln(212提示 321332221323)22(213222222xxxxxxxxxxx 例 3 求dxxx2)1(1高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 解 dxxxxdxxx)1(1111)1(122 dxxdxxdxx2)1(1111Cxxx11|1|ln|ln 提示 222)1(1)1(1)1(1)1(1xxxxxxxxx 22)1(1111)1(1)1(1xxxxxxxx 二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分 三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算 由于各种三角函数都可以用 sin x 及 cos x 的有理式表示 故三角函数有理式也就是 sin x、cos x 的有理式 用于三角函数有理式积分的变换:把 sin x、cos x 表成的函数 然后作变换2tanx2tanxu 222122tan12tan22sec2tan22cos2sin2sinuuxxxxxxx 222222112sec2tan12sin2coscosuuxxxxx变换后原积分变成了有理函数的积分 例 4 求 dxxxx)cos1(sinsin1 解 令 则 x2arctan u 2tanxu212sinuux2211cosuuxduudx212于是 dxxxx)cos1(sinsin1)111(12)121(2222uuuuuuduu212duuu)12(21 Cuuu|)|ln22(212Cxxx|2tan|ln212tan2tan412 解 令 则 2tanxu高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 duuuuuuuudxxxx2222212)111(12)121()cos1(sinsin1 duuuCuuu)12(21|)|ln22(212 Cxxx|2tan|ln212tan2tan412 说明:并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如 Cxxdxdxxx)sin1ln()sin1(sin11sin1cos 三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分 无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去 例 5 求 dxxx 1 解 设 即 则ux112ux duuuuduuudxxx12211222 Cuuduu)arctan(2)111(22 Cxx)1arctan1(2 例 6 求 321xdx 解 设 即 则ux3223ux duuuduuuxdx111331121223 Cuuuduuu|)1|ln2(3)111(32 Cxxx|21|ln23)2(233332 例 7 求 xxdx)1(3 解 设 xt 6 于是 dx 6t 5d t 从而高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 dtttdttttxxdx22325316)1(6)1(Cttdtt)arctan(6)111(62 Cxx)arctan(666 例 8 求dxxxx11 解 设 即 于是txx1112tx dtttttdxxxx222)1(2)1(11 dttdttt)111(212222 Cttt|11|ln2 Cxxxxxx11ln12 练习 1 求 xdxcos2 解 作变换 则有 2tanxt dttdx2122211costtx xdxcos222211212tttdtdtt23123)3(11322tdt Ct3arctan32Cx)2tan31arctan(32 2 求 dxxx45cossin 解 dxxx45cossinxdxxcoscossin44xdxxcoscos)cos1(422 xdxxcos)cos1cos21(42 Cxxx3cos31cos2cos 3 求 dxxxx23132高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 解 dxxxx23132dxxxx)1)(2(13dxxx)1427(dxx217dxx114 7ln|x2|4ln|x1|C 4.5 积分表的使用积分表的使用 积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂为了实用的方便往往把常用的积分公式汇集成表这种表叫做积分表求积分时可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后在表内查得所需的结果积分表一、含有 axb 的积分1Cbaxabaxdx|ln12)1()()1(1)(1Cbaxadxbax3Cbaxbbaxadxbaxx|)|ln(124Cbaxbbaxbbaxadxbaxx|ln)(2)(21122325Cxbaxbbaxxdxln1)(6Cxbaxbabxbaxxdxln1)(227Cbaxbbaxadxbaxx|ln1)(228Cbaxbbaxbbaxadxbaxx2322|ln21)(9Cxbaxbbaxbbaxxdxln1)(1)(22例 1 求dxxx2)43(解这是含有 3x4 的积分在积分表中查得公式 Cbaxbbaxadxbaxx|ln1)(22高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室现在 a3、b4于是 Cxxdxxx434|43|ln91)43(2二、含有的积分bax1Cbaxadxbax3)(322Cbaxbaxadxbaxx32)()23(1523Cbaxbabxxaadxbaxx322232)()81215(10524Cbaxbaxadxbaxx)2(3225Cbaxbabxxaadxbaxx)843(152222326)0(arctan2)0(ln1bCbbaxbbCbbaxbbaxbbaxxdx7baxxdxbabxbaxbaxxdx228baxxdxbbaxdxxbax29baxxdxaxbaxdxxbax22三、含 x2a2的积分1Caxaaxdxarctan12221222122222)()1(232)()1(2)(nnnaxdxannaxanxaxdx3Caxaxaaxdxln2122四、含有 ax2b(a0)的积分1)0(ln21)0(arctan12bCbxabxaabbCxbaabbaxdx2Cbaxadxbaxx|ln2122高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室3baxdxabaxdxbaxx2224Cbaxxbbaxxdx|ln21)(2225dxbaxbabxbaxxdx22211)(6Cbxxbaxbabaxxdx22222321|ln2)(7dxbaxbbaxbxbaxdx2222121)(2)(五、含有 ax2bxc(a0)的积分六、含有(a0)的积分22ax 1CaxxCaxaxdx)ln(arsh221222Caxaxaxdx222322)(3Caxdxaxx22224Caxdxaxx223221)(5Caxxaaxxdxaxx)ln(22222222226Caxxaxxdxaxx)ln()(222232227Cxaaxaaxxdx|ln122228Cxaaxaxxdx2222229Caxxaaxxdxax)ln(222222222例 3 求942xxdx解因为222)23(2194xxdxxxdx所以这是含有的积分这里在积分表中查得公式22ax 23a高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 Cxaaxaaxxdx|ln12222于是 CxxCxxxxdx|2394ln31|23)23(ln3221942222七、含有(a0)的积分22ax 1CaxxCaxxxaxdx|ln|arch|221222Caxaxaxdx222322)(3Caxdxaxx22224Caxdxaxx223221)(5Caxxaaxxdxaxx|ln22222222226Caxxaxxdxaxx|ln)(222232227Cxaaaxxdx|arccos1228Cxaaxaxxdx2222229Caxxaaxxdxax|ln222222222八、含有(a0)的积分22xa 1Caxxadxarcsin222Cxaaxxadx222322)(3Cxadxxax22224Cxadxxax223221)(5Caxaxaxdxxaxarcsin222222226Caxxaxdxxaxarcsin)(223222高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室7Cxxaaaxaxdx|ln122228Cxaxaxaxdx2222229Caxaxaxdxxaarcsin2222222九、含有的积分)0(2acbxax十、含有或的积分bxax)(bxax十一、含有三角函数的积分1Cxxxdx|tansec|lnsec2Cxxxdx|cotcsc|lncsc3Cxxdxxsectansec4Cxxdxxcsccotcsc5Cxxxdx2sin412sin26Cxxxdx2sin412cos27xdxnnxxnxdxnnn21sin1cossin1sin8xdxnnxxnxdxnnn21cos1sincos1cos9Cxbabaxbababxdxax)cos()(21)cos()(21cossin10Cxbabaxbababxdxax)sin()(21)sin()(21sinsin11Cxbabaxbababxdxax)sin()(21)sin()(21coscos12)(2tanarctan2sin222222baCbabxabaxbadx高等数学教案 第四章 不定积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室13)(2tan2tanln2sin22222222baCabbxaabbxaabxbadx14)(2tanarctan2cos22baCxbababababaxbadx14)(2tan2tanln2cos22baCabbaxabbaxabbabaxbadx例 2 求xdxcos45解这是含三角函数的积分 在积分表中查得公式 )(2tanarctan2cos22baCxbababababaxbadx这里 a5、b4a 2b2于是 2tan)4(5)4(5arctan)4(5)4(5)4(52cos45Cxxdx Cx2tan3arctan32例求xdx4sin解这是含三角函数的积分 在积分表中查得公式 xdxnnxxnxdxnnn21sin1cossin1sinCxxxdx2sin412sin2这里 n4于是 Cxxxxxdxxxxdx)2sin412(43cossin41sin43cossin41sin3234