2025届云南省师大附中高三上学期适应性月考（二）-数学试题（含答案）.docx

数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）
题号
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
C
D
B
B
A
C
【
解析】
1
．∵z =1- i，∴| z |= 2，∴| z2 |=| z |2 = 2 ，故选C．
．当x > 4 时，2x > x2成立 ，充分性成立；但当x =1时，必要性不成立，故选A．
．由题可设小学生、初中生、高中生中分别抽取 4a 人，3a 人，3a 人，则
2
3
9

.5´ 4a + 8´3a + 7´3a
=
8.3 ，故选C．
1
0a
y
y
2
3
(x ¹ ±3)，∴x
2
y
2
4
．设点M (x，y) ，则
g
=
-
=
=1(x ¹ ±3) ，故选D．
x + 3 x - 3
9
6
1
2
1
1
æ 1 ö
1
1
5．a =
log4 2
= ， =
b
log8 3 > log8 2 2
= ， = ç ÷
c
< ，∴c < a < b ，故选B．
2
2
è 5 ø
5
2
6
．如图 1，取 AB 的中点 D，连接 PD，CD，则PD = CD = 3 ，又
PC = 6 ， ∴PD2 + CD2 = PC2，∴PD ^ CD，∴平面PAB ^ 平面
ABC ，设 △ABC 和△PAB 的外心分别为O，O ，则O，O 分别
1
2
1
2
1
3
在线段CD，PD 上，且O D = O D = CD = ，设外接球的球心
1
2
3
3
图 1
6
为O，连接OO，OO ，OD，OA，在正方形OO DO 中，OD = ，∴R2 = OA2 = AD2 + OD2
1
2
1
2
3
2
æ
ö
6
5
20
3
=
1+ ç
÷ = ，S = 4πR2
=
π ，故选B．
ç
÷
3 ø
3
è
7
8
．∵y = log2 (4x +1) - x与y = x2 + a为偶函数 ，∴f (x) = log2 (4x +1) + x2 - x + a 为偶函数，又 f (x)
存在唯一的零点，则 f (0) =1+ a = 0，∴a = -1 ，故选A．
．因为 f (2x -1) 为奇函数，所以 f (x) 关于点(-1，0) 中心对称，又 f (x +1) 为偶函数，所以 f (x)
关 于 直 线 x =1 对 称 ； 所 以 f (x) 为 周 期 函 数 且 周 期 T = 4´|1- (-1) |= 8 ，
∴

f (2025) = f (8´ 253 +1) = f (1) = a +1 ，∵f (-1) = -a +1= 0，∴a =1，∴f (2025) = a +1= 2，
故选C．
数学参考答案·第1 页（共9 页）
{
#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}

二、多项选择题（本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
题号
答案
9
10
11
ACD
BD
ABD

解析】
æ
è
π ö
2 ø
π
2
æ
è
π ö
6 ø
9
．因为 f ç x + ÷ = f (x) ，所以函数 f (x) 的周期为 ，故 A 正确；∵xÎç0， ÷，∴u = 2x +
π
4
æ π 7π ö
è 4 12 ø
æ π 7π ö
è 4 12 ø
π
8
Î
ç ， ÷ ，又y =| sinu |在ç ， ÷ 上不单调，故B 错误；∵函数y =| sin 2x | 向左平移
æ
è
π ö
8 ø
æ
è
π ö
4 ø
π
4
k
kπ
π
8
个单位长度得到 sin 2ç x + ÷ = sinç2x + ÷ ，故 C 正确；令2x +
=
π ，得x =
-
2
4
(k ÎZ) ，故D 正确，故选ACD．
1
0．△ABF 的周长l =| AF | + | AB | + | BF |= (| AF | + | AF |) + (| BF | + | BF |) = 4a ，故A 错误；
1
1
1
1
2
2
1
x
2
2
y
2
2
b
2
2b2
当直线AB 垂直于x 轴时，将x = c代入
+
=1得y = ± ，∴| AB |=
，故B 正确；
a
b
a
a
∵
∴
| AF |= 2 | BF |，| AB |=| BF |，∴| BF |=| AF | + | BF |= 3| BF | ， ∵| BF | + | BF |= 2a，
2
2
1
1
2
2
2
1
2
a
3
a
1
2 = ，
| BF1 |= a，| BF |= ，∴| AF |= a，| AF |= 2a- | AF |= a ，在 △ABF 中，cos A
=
2
2
1
2
1
3a
2
2
3
2
|
AF1 |2 + | AF2 |2 - | F F |2
a
2
+ a2 - 4c2
1
c
2
在△AF F 中，cos A =
1
2
=
= ， a2 = 3c2，∴e
2
=
1
2
2a2
a2
2
| AF || AF |
3
1
2
1
3
3
=
，e = ，故 C 错误；过点 P 向圆引两条切线，设切点为 C 和 D，∵PC ^ OC，
3
PD ^ OD，PC ^ PD，OC = OD ，所以四边形OCPD 为正方形，∴| OP |= 2b ，所以a≥ 2b
时，椭圆上存在点P 满足题意，故D 正确，故选BD．
-
1- 5
-1+ 5
1
1．令 f (x) = 0 ，则x2 + x -1 = 0，∴x1 =
，x2 =
，所以函数 f (x) 有且只有两个
2
2
-
x
2
+ x + 2
零点，故 A 正确； f ¢(x) =
，令f ¢(x) > 0，得-1< x < 2 ，令f ¢(x) < 0，得x < -1
e
x
或x > 2 ，∴f (x)在(-1，2)上为增函数，在(-¥，-1)，(2，+ ¥)上为减函数 ，故 B 正确；
数学参考答案·第2 页（共9 页）
{
#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}

f (x)极大值 = f (2) = 5e-2，f (x)极小值 = f (-1) = -e ，又 f (x) > 0
得x < x 或x > x ，又 f (x) < 0 得x < x < x ，当x ® +¥ 时，
1
2
1
2
f (x) ® 0 ，当x ® -¥ 时，f (x) ® +¥ ，作出 f (x) 的图象，
如图 2，由图象可得， f (x) 无最大值，故 C 错误；方程
图 2
f (x) = a 有三个实根，即y = f (x)与y = a 的图象有三个不同的交点，∴0 < a < 5e-2 ，故 D
正确，故选ABD．
三、填空题（本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分）
题号
答案
12
13
7
14
8
1
-
-
4
25
【
解析】
r
r
r r
r
r
r
r
r
r
1
4
1
1
2．∵a ^ (la + b)，∴a （g la + b）= 0，∴la2 + ar g br = 0，∴la2 + a g b = 4l +1= 0，∴l = - ．
æ
π ö tana -1
1
4
cos2 a - sin2
a
a
3 ． ∵tança - ÷ =
= ，∴tana = ，∴cos 2a = cos2 a - sin2 a =
è
4 ø 1+ tana
7
3
cos2 a + sin2
1
1
- tan2
+ tan2
a
a
7
=
= - ．
25
an+1
an
1
4．令m =1，则an+1 = a a = 2a ，∴
= 2 ，所以数列{an}是首项为2，公比为2 的等比数列，
1
n
n
∴
an = 2
2 g 22 + 3 g 23 +L+ n g 2n ①，∴2 f ¢(1) = 22 + 2 g 23 +L+ (n -1) g 2n + n g 2n+1 ②，由①−②
得， - f ¢(1) = 2 + 22 + 23 +L+ 2n - n g 2n+1 = (1- n) g 2n+1 - 2 ，∴f ¢(1) = (n -1) g 2n+1 + 2 ，且
n
，∵f ¢(x) = a + 2a x + 3a x2 +L+ nan xn-1 ，∴f ¢(1) = a + 2a + 3a +L+ na = 2
1
2
3
1
2
3
n
+
f ¢(1) 随着n 的增大而增大，当n = 7 时， f ¢(1) = 6´ 2 2 =1538 2025 ，当n = 8 时，
8 +
<
f ¢(1) = 7´ 29 +
2
=
3586 > 2025 ，故n 的最小值为8．
四、解答题（本大题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1
5．（本小题满分13 分）
解：（1）∵acos B - bcos A = b + c，
∴
sin Acos B - sin Bcos A = sin B + sinC = sin B + sin(A + B)，
∴
sin Acos B - sin Bcos A = sin B + sin Acos B + cos Asin B，
数学参考答案·第3 页（共9 页）
{
#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}

1
∴
- 2sin Bcos A = sin B，∵sin B ¹ 0，∴cos A = - ，
2
2
∵
0 < A < π，∴A = π ．
……………………………………………（6 分）
3
æ 1
ö
æ
è
2π ö
3 ø
3
（
2）∵2sinC + sin B = 2sinç B +
÷ + sin B = 2ç- sin B +
cos B÷ + sin B
ç
÷
è 2
2
ø
6
=
3 cos B = ，
2
2
π
π
∴
cos B = ，∵0 < B < π，∴B = ，C = ，
2
4
12
b
a
∵
=
= 2 3，∴b = 2 3 sin B = 6，
sin B sin A
1
1
π
1
2
6 - 2 9 - 3 3
∴
S△ABC
=
absinC = ´3´ 6 ´sin
=
´3´ 6 ´
=
.
2
2
12
4
4
……………………………………………（13 分）
1
6．（本小题满分15 分）
解：（1）∵f (x) = x3 + bx2 + c ，∴f ¢(x) = 3x2 + 2bx，f ¢¢(x) = 6x + 2b ，
ì
f ¢¢(1) = 6 + 2b = 0， ìb = -3，
∴í
f (1) =1+ b + c = -2， î c = 0，
∴
í
î
∴

f (x) = x3 - 3x2
2）设过点(-1，t) 的直线与y = f (x) 相切于点(x0，x0
k = f ¢(x0 ) = 3x0 - 6x0 ，
则切线为y - (x0 - 3x0 ) = (3x0
因为切线过点(-1，t) ，∴t - (x0
2x0 - 6x0 + t = 0
令g(x) = 2x3 - 6x + t ，
．
……………………………………………（6 分）
（
3
- 3x0
2
) ，
∴
2
3
2
2
- 6x )(x - x ) ，
0
0
3
- 3x0
2
) = (3x0 - 6x )(-1- x )，
2
0
0
∴
3
因为过点(-1，t) 可作三条直线y = f (x) 与相切， 所以g(x)有三个零点 ，
g¢(x) = 6x2 - 6 = 6(x +1)(x -1) ，
令g¢(x) > 0，得x < -1或x >1，令g¢(x) < 0，得-1< x <1，
∴
g(x)在(-¥，-1），(1，+ ¥)上为增函数，在(-1，1)上为减函数，
数学参考答案·第4 页（共9 页）
{
#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}

∴
g(x)极大值 = g(-1) = 4 + t，g(x)极小值 = g(1) = -4 + t，
∵g(x)有三个零点，
ì
g(x)极大值 = 4 + t > 0，
，∴- 4 < t < 4.
g(x)极小值 = -4 + t < 0
∴í
î
……………………………………………（15 分）
1
7．（本小题满分15 分）
1）证明：取AE 中点O，连接OP，OC，则PO ^ AE ，
在Rt△ADE中，AD = DE = 2，∴OD = 2，
（
2
在△OEC中，OC
2
=
OE
2
+
CE
2
-
2OE g CE cos135° =
2
+
2
2
- 2´
2
´
2cos135° =10，
在△POC中，OP = OD = 2，OC = 10，PC = 2 3，∴OP2 + OC
OP ^ OC，又AE I OC = O，∴OP ^ 平面ABCE，
又OP Ì 平面PAE，∴平面PAE ^ 平面ABCE.
……………………………………………………（6 分）
2）解：连接OB，BE，易得AB = BE = 2 5 ，又O 为AE 的中点，OB ^ AE ，
2
= PC
2，
∴
…
（
由（1）知OP ^ 平面ABCE，∴OP ^ OB，∴OP，OA，OB两两垂直 ，
如图3，以O 为原点建立空间直角坐标系
则O(0，0，0)，A( 2，0，0)，B(0，3 2，0)，C(-2 2， 2，0)，
P(0，0， 2)，
uur
设平面PAB 的法向量为n = (x，y，z ) ，
1
1
1
1
uuur
uuur
∵
PA = ( 2，0，- 2)，PB = (0，3 2，- 2)，
u
ur uuur
ì
uur
∴n = (3，1，3)，
= 0，
ï n g PA = 2x - 2z = 0
，
图 3
∴
íuur1 uuur
1
1
1
ï
î
n
1
g
PB = 3 2y1
-
2z1
u
ur
设平面PBC 的法向量为n = (x ，y ，z ) ，
2
2
2
2
uuur
∵
PC = (-2 2， 2，- 2) ，
u
ur uuur
ì
uur
ïn g PB = 3 2y - 2z = 0
，
∴
íu ur2 uuur
2
2
∴n = (-1，1，3)，
2
ï
î
n
2
g
PC
= -2 2x2
+
2y2
-
2z2 = 0，
设平面PAB 与平面PBC 所成角为q ，
u
ur uur
n g n
则cosq = uur1
n | g | n |
3´ (-1) +1´1+ 3´3 7 209
u
2
ur =
=
，
|
19 g 11
209
1
2
故平面PAB 与平面PBC 所成角的正弦值为4 2090
．
………………………（15 分）
2
09
数学参考答案·第5 页（共9 页）
{
#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}

1
8．（本小题满分17 分）
解：（1）设A =“选择A类问题”，A =“选择B类问题”，B =“选中的问题回答正确”
1
2
1
2
3
4
1
2
1
2
5
则P(B) = P(A ) g P(B | A ) + P(A ) g P(B | A ) =
´
+
´
= ．
1
1
2
2
8
…
…………………………………………………………（5 分）
2）若选方案一：设李华累计得分为X，则X 可能取值为0，20，40，50，100，
（
1
2
1
4
1
2
1
2
1
2
1
4
1
P(X = 0) =
´
´
+
´
´
= ，
8
1
3
1
1
1
3
4
9
P(X = 20) =
P(X = 40) =
P(X = 50) =
´
´
+
´
´
= ，
2
4
4
2
2
32
1
2
3
4
3
4
9
´
´
´
´
= ，
32
1
2
1
2
1
2
1
1
4
1
2
3
+
´
´
= ，
2
16
1
1
1
1
P(X =100) =
´
´
= ，
2
2
2
8
则X 的分布列为
X
0
20
40
50
100
1
8
9
9
3
1
8
P
32
32
16
1
9
9
3
1
E(X ) = 0´ + 20´ + 40´ + 50´ +100´ = 38.75 ． ………………………（11 分）
8
32
32
16
8
若选方案二：设李华累计得分为Y，则Y 可能取值为0，20，50，70，
1
2
1
4
1
2
1
2
1
2
1
4
1
P(X = 0) =
´
´
+
´
´
= ，
8
1
3
1
1
1
3
4
3
P(X = 20) =
P(X = 50) =
P(X = 70) =
´
´
´
´
´
´
+
+
+
´
´
´
´
´
´
= ，
2
4
2
2
2
8
1
2
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
= ，
8
1
2
3
4
1
2
1
2
1
2
3
4
3
= ，
8
则Y 的分布列为
Y
0
20
50
70
1
8
3
8
1
8
3
8
P
数学参考答案·第6 页（共9 页）
{
#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}

1
3
1
3
E(Y) = 0´ + 20´ + 50´ + 70´ = 40 ，
8
8
8
8
∴
E(Y) > E(X )，故选择方案二.
9．（本小题满分17 分）

1）解：设A(x，y )，B(x ，y )，Q(x ，y ) ，
……………………………………（17 分）
1
（
1
1
2
2
Q
Q
则QA：y y = 3(x + x )，QB：y y = 3(x + x ) ，
1
1
2
2
ì
2
1
2
2
6
y
y
ï
y2 -
y1
x y2 x2 y
y1 - y２
-
y y
ì
y1 y
=
3(x + x )，
ï
xQ
=
1
1
= 6
=
1
２
，
联立í
1
得í
y1 - y２
6
y y = 3(x + x )
，

î
2
2
ï
y1
+
y2
ï
yQ =
，
î
2
3
3
∵
QA ^ QB，∴kQA g kQB
=
g
= -1，∴y y = -9 ，
1
2
y1 y2
y1 y
6
2
3
∴
xQ =
= - ，
2
3
故点Q 的轨迹方程为x = - ．
……………………………………………（6 分）
2
a
a
（
2）（i）证明：由已知可得QA：y1 y = (x + x )，QB：y y = (x + x2 ) ，
1
2
2
2
a
a
a
2
∵
QA ^ QB，∴kQA g kQB

=
g
= -1，∴y y = -
①，
1
2
2
y1 2y2
4
因为抛物线C 的顶点为O，设 △OAB 的重心坐标为(x，y) ，
ì
2
1
2
2
y
y
+
ï
x1
+
x2
a =
y
2
1
+
y
2
2
ï
x =
= a
3a ，②
则 í
3
y1
3
ï
+
y2
ï
y =
，
î
3
a æ
a ö
6 ø
由①②得y2
=
ç x - ÷ ，
3
è
a æ
a ö
故由点A，B 及抛物线C 的顶点所成三角形的重心的轨迹方程为C1：y2
=
ç x - ÷ ，
3
è
6
ø
æ
è
a
ö
ø
它是顶点在ç ，0÷ ，开口向右的抛物线．
………………………………（12 分）
6
数学参考答案·第7 页（共9 页）
{
#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}

a æ
a ö
a
a
（ii）解：由C：y2 = ax 变为C1：y2
=
ç x - ÷ ，相当于把常数a 换成 ，把顶点向右移
3
è
6
ø
3
6
a æ a ö
a
1
a
a
个单位长度；由C1：y2
=
ç x - ÷ 变为C ，只需把常数 换成 ´ = ，把顶点再向右
2
3
è
6
ø
3
3
3
9
移 1
´
a
= 个单位长度，得到C ：y2
a
=
a æ
a
-
a ö
÷ ，
2
ç x -
6
3
18
9
è
6
18
ø
以此类推，抛物线Cn 的方程为
a æ
ç x -
a
a
a
a
ö
ø
y
=
=
2
=
-
-
-LL-
÷
3
n
è
6
6´3 6´32
6´3n-1
a é
a æ
6 è
1
1
1 öù
êx - ç1+
+
LL+
÷ú
3
n
ë
3
3
2
3n-1 øû
a é
a æ
4 è
1 öù
øû
êx - ç1- ÷ú ．
………………………………………………………（17 分）
3
n
ë
3
n
æ
2
ö
æ
2
ö
y
y
另解：（ii）设抛物线Cn ：y2 an (x bn )，Aç
=
-
1 +
b ，y ， B
2 +
b ，y ，
ç
÷
ç
÷
1 ÷
ç
2 ÷
n
n
a
an
è
ø
è
ø
n
顶点O (b ，0) ，△O AB 的重心坐标为(x，y) ，
n

n
n
ì
2
a
y g y = - n ，
ï
1
2
4
ï
ï
2 + 2 +
y
y
2
3anbn ，
íx =
1
∴
3an
ï
ï
y1 y2 ，
+
ï
y =
ï
3
î
2
n
2
a
2
=
-
-
由上式消去y ，y 得9y 3an x 3anbn
，
1
2
a
æ
a ö
∴
抛物线Cn+1 ：y2
=
n g
ç x bn
-
-
n
=
an+1 (x bn+1) ，
g
-
÷
3
è
6
ø
ì
a
n
3
an+1
=
，
ï
ï
ï
1
íb = bn + an，
∴
n+1
6
ï
ï
a
a
a1 = 3，b1 =
，
ï
î
6
数学参考答案·第8 页（共9 页）
{
#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}

a
a
1
∴
∴
=
a = ，b = bn + g ，
n
n+1
n
3
6
n
3
b = (b - bn-1) + (bn-1 + bn-2 ) +L+ (b - b ) + b
n
n
2
1
1
a æ 1
1

1
ö
ø
g ç
+
+L+ +1÷
è 3n-1 3n-2
6
3
1
3n
1
1
-
a
=
´
6
1
-
3
a æ
1 ö
3n ø
=
ç1- ÷ ，
4
è
a
é
a æ
ç -
1 öù
∴
抛物线Cn 的方程为y2
=
g
êx
-
1
÷
ú ．
……………………（17 分）
3n
4
è
n øû
3
ë
数学参考答案·第9 页（共9 页）
{
#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}