初一数学动点问题例题集.pdf

1初一数学动点问题集锦初一数学动点问题集锦1、如图，已知中，10ABAC厘米，8BC 厘米，点ABCD为AB的中点（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在ABC的哪条边上相遇？解：（1）1t 秒，3 13BPCQ 厘米，10AB 厘米，点D为AB的中点，5BD 厘米又厘米，835PC 厘米8PCBCBPBC，PCBDAQCDBP2又ABAC，BC，BPDCQP（4 分）PQvv，BPCQ，又BPDCQP，BC，则45BPPCCQBD，点P，点Q运动的时间433BPt 秒，515443QCQvt厘米/秒（7 分）（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得1532 104xx，解得803x 秒点P共运动了803803 厘米802 2824，点P、点Q在AB边上相遇，经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇（12 分）2、直线364yx 与坐标轴分别交于AB、两点，动点PQ、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止点Q沿线段OA运动，速度为每秒 1 个单位长度，点P沿路线OBA运动（1）直接写出AB、两点的坐标；3（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S 时，求出点P的坐标，并直接写出以点OPQ、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标解（1）A（8，0）B（0，6）1 分（2）86OAOBQ，10ABQ点Q由O到A的时间是881（秒）点P的速度是6 1028（单位/秒）1 分当P在线段OB上运动（或 03t）时，2OQtOPt，2St1 分当P在线段BA上运动（或38t）时，6102162OQtAPtt，,如图，作PDOA于点D，由PDAPBOAB，得4865tPD，1 分21324255SOQPDtt 1 分（自变量取值范围写对给 1 分，否则不给分）xAOQPBy4（3）8 2455P，1 分1238 2412 241224555555IMM，3 分3 如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y=2x8 分别与 x 轴，y 轴相交于 A，B 两点，点 P（0，k）是 y 轴的负半轴上的一个动点，以 P 为圆心，3 为半径作P.（1）连结 PA，若 PA=PB，试判断P 与 x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当 k 为何值时，以P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形？5 解：（1）P 与 x 轴相切.直线 y=2x8 与 x 轴交于 A（4，0），与 y 轴交于 B（0，8），OA=4，OB=8.由题意，OP=k，PB=PA=8+k.在 RtAOP 中，k2+42=(8+k)2，k=3，OP 等于P 的半径，P 与 x 轴相切.（2）设P 与直线 l 交于 C，D 两点，连结 PC，PD 当圆心 P 在线段 OB 上时,作PECD 于 E.PCD 为正三角形，DE=12CD=32，PD=3，PE=3 32.AOB=PEB=90，ABO=PBE，AOBPEB，3 342,=4 5AOPEABPBPB即，63 15,2PB 3 1582POBOPB，3 15(0,8)2P，3 1582k.当圆心 P 在线段 OB 延长线上时,同理可得 P(0,3 1528)，k=3 1528，当 k=3 1528 或 k=3 1528 时，以P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形.4（09 哈尔滨）如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（3，4），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y轴于点 H （1）求直线 AC 的解析式；（2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC方向以 2 个单位秒的速度向终点 C 匀速运动，设PMB 的面积为S（S0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围）；7 （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，MPB 与BCO互为余角，并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值 解：895 在 RtABC 中，C=90，AC=3，AB=5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t0）（1）当 t=2 时，AP=，点 Q 到 AC 的距离是 ；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求APQ 的面积 S 与t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值 解：（1）1，85；（2）作 QFAC 于点 F，如图 3，AQ=CP=t，3APt由AQFABC，22534BC，得45QFt45QFt 14(3)25Stt，即22655Stt ACBPQED图 16ACBPQED图 410（3）能 当 DEQB 时，如图 4 DEPQ，PQQB，四边形 QBED 是直角梯形 此时AQP=90由APQ ABC，得AQAPACAB，即335tt 解得98t 如图 5，当 PQBC 时，DEBC，四边形 QBED 是直角梯形此时APQ=90由AQP ABC，得 AQAPABAC，即353tt 解得158t（4）52t 或4514t 点 P 由 C 向 A 运动，DE 经过点 C连接 QC，作 QGBC 于点 G，如图 6PCt，222QCQGCG2234(5)4(5)55tt由22PCQC，得22234(5)4(5)55ttt，解得52t 点 P 由 A 向 C 运动，DE 经过点 C，如图 722234(6)(5)4(5)55ttt，4514t】ACBPQED图 5AC(E)BPQD图 6GAC(E)BPQD图 7G116 如图，在RtABC中，9060ACBB，2BC 点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D过点C作CEAB交直线l于点E，设直线l的旋转角为（1）当 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 ；当 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为 ；（2）当90时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由解（1）30，1；60，1.5；4 分 （2）当=900 时，四边形 EDBC 是菱形.=ACB=900，BC/ED.CE/AB,四边形 EDBC 是平行四边形.6 分 在 RtABC 中，ACB=900，B=600,BC=2,A=300.AB=4,AC=23.OECBDAlOCBA（备用图）12AO=12AC=3.8 分在 RtAOD 中，A=300，AD=2.BD=2.BD=BC.又四边形 EDBC 是平行四边形，四边形 EDBC 是菱形 10 分7 如图，在梯形ABCD中，354 245ADBCADDCABB，动点M从B点出发沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t秒（1）求BC的长（2）当MNAB时，求t的值（3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形解：（1）如图，过A、D分别作AKBC于K，DHBC于H，则四边形ADHK是矩形3KHAD 1 分ADCBMN13在RtABK中，2sin454 242AKAB g2cos454 242BKAB gg2 分在RtCDH中，由勾股定理得，22543HC 43310BCBKKHHC 3 分（2）如图，过D作DGAB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形MNABMNDG3BGAD1037GC 4 分由题意知，当M、N运动到t秒时，102CNtCMt，DGMNNMCDGC（图）ADCBKH（图）ADCBGMN14又CCMNCGDCCNCMCDCG5 分即10257tt解得，5017t 6 分（3）分三种情况讨论：当NCMC时，如图，即102tt103t 7 分当MNNC时，如图，过N作NEMC于E解法一：由等腰三角形三线合一性质得11102522ECMCtt在RtCEN中，5cosECtcNCt又在RtDHC中，3cos5CHcCD535ttADCBMN（图）（图）ADCBMNHE15解得258t 8 分解法二：90CCDHCNEC，NECDHCNCECDCHC即553tt258t 8 分当MNMC时，如图，过M作MFCN于F点.1122FCNCt解法一：（方法同中解法一）132cos1025tFCCMCt解得6017t 解法二：90CCMFCDHC，MFCDHCFCMCHCDC即1102235tt（图）ADCBHNMF166017t 综上所述，当103t、258t 或6017t 时，MNC为等腰三角形 9分8 如图 1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，过点E作EFBC交CD于点F46ABBC，60B.（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MNAB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx.当点N在线段AD上时（如图 2），PMN的形状是否发生改变？若不变，求出PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图 3），是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.ADEBFC图 4（备用）ADEBFC图 5（备用）ADEBFC图 1图 2ADEBFCPNM图 3ADEBFCPNM（第 25 题）17解（1）如图 1，过点E作EGBC于点G1 分E为AB的中点，122BEAB 在RtEBG中，60B，30BEG 2 分22112132BGBEEG，即点E到BC的距离为33 分（2）当点N在线段AD上运动时，PMN的形状不发生改变PMEFEGEF，PMEGEFBC，EPGM，3PMEG同理4MNAB 4 分如图 2，过点P作PHMN于H，MNAB，6030NMCBPMH，1322PHPM3cos302MHPM g则35422NHMNMH在RtPNH中，222253722PNNHPHPMN的周长=374PMPNMN 6 分当点N在线段DC上运动时，PMN的形状发生改变，但图 1ADEBFCG图 2ADEBFCPNMGH18MNC恒为等边三角形当PMPN时，如图 3，作PRMN于R，则MRNR类似，32MR 23MNMR 7 分MNC是等边三角形，3MCMN 此时，6 1 32xEPGMBCBGMC 8 分图 3ADEBFCPNM图 4ADEBFCPMN图 5ADEBF（P）CMNGGRG 当MPMN时，如图 4，这时3MCMNMP此时，6 1353xEPGM 当NPNM时，如图 5，30NPMPMN则120PMN，又60MNC，180PNMMNC因此点P与F重合，PMC为直角三角形tan301MCPM g此时，6 1 14xEPGM 综上所述，当2x 或 4 或53时，PMN为等腰三角形 10分9 如图，正方形 ABCD 中，点 A、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），19点 C 在第一象限动点 P 在正方形 ABCD 的边上，从点 A 出发沿 ABCD 匀速运动，同时动点 Q 以相同速度在 x 轴正半轴上运动，当 P 点到达 D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒(1)当 P 点在边 AB 上运动时，点 Q 的横坐标x（长度单位）关于运动时间 t（秒）的函数图象如图所示，请写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度；(2)求正方形边长及顶点 C 的坐标；(3)在（1）中当 t 为何值时，OPQ 的面积最大，并求此时 P点的坐标；(4)如果点 P、Q 保持原速度不变，当点 P 沿 ABCD 匀速运动时，OP 与 PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的 t 的值；若不能，请说明理由20解：（1）Q（1，0）1 分 点 P 运动速度每秒钟 1 个单位长度2 分（2）过点B作 BFy 轴于点F，BEx轴于点E，则BF8，4OFBE 1046AF 在 RtAFB 中，228610AB 3 分 过点C作CGx轴于点G，与FB的延长线交于点H90,ABCABBC ABFBCH 6,8BHAFCHBF 8614,8412OGFHCG所求 C 点的坐标为（14，12）4分（3）过点 P 作 PMy 轴于点 M，PNx轴于点 N，则APMABF APAMMPABAFBF 1068tAMMP 3455AMtPMt，3410,55PNOMtONPMt设OPQ 的面积为S（平方单位）213473(10)(1)5251010Stttt（0t10）5 分说明:未注明自变量的取值范围不扣分 310a 0 当474710362()10t 时，OPQ 的面积最大6ABCDEFGHMNPQOxy21分 此时 P 的坐标为（9415，5310）7 分（4）当 53t 或29513t 时，OP 与 PQ 相等9 分10 数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点90AEFo，且 EF 交正方形外角DCG的平行线 CF 于点 F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点M，连接 ME，则 AM=EC，易证AMEECF，所以AEEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由ADFCGEB图 1ADFCGEB图 2ADFCGEB图 32223解：（1）正确（1 分）证明：在AB上取一点M，使AMEC，连接ME（2 分）BMBE45BME，135AMECFQ是外角平分线，45DCF，135ECFAMEECF 90AEBBAEQ，90AEBCEF，BAECEF AMEBCF（ASA）（5 分）AEEF（6 分）（2）正确（7 分）证明：在BA的延长线上取一点N使ANCE，连接NE（8 分）BNBE45NPCE Q四边形ABCD是正方形，ADBEDAEBEA NAECEF ANEECF（ASA）（10 分）AEEF（11 分）ADFCGEBMADFCGEBN2411 已知一个直角三角形纸片OAB，其中9024AOBOAOB，如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D（）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（）若折叠后点B落在边OA上的点为B，设OBx，OCy，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；（）若折叠后点B落在边OA上的点为B，且使B DOB，求此时点C的坐标 解（）如图，折叠后点B与点A重合，则ACDBCD.xyBOAxyBOAxyBOA25设点C的坐标为00mm，.则4BCOBOCm.于是4ACBCm.在RtAOC中，由勾股定理，得222ACOCOA，即22242mm，解得32m.点C的坐标为302，.4 分（）如图，折叠后点B落在OA边上的点为B,则B CDBCD.由题设OBxOCy，则4B CBCOBOCy，在RtB OC中，由勾股定理，得222B COCOB.2224yyx，即2128yx 6 分由点B在边OA上，有02x，解析式2128yx 02x为所求.Q当02x时，y随x的增大而减小，y的取值范围为322y.7 分（）如图，折叠后点B落在OA边上的点为B，且B DOB.则OCBCB D.又CBDCB DOCBCBD Q，有CBBA.26RtRtCOBBOA.有OBOCOAOB，得2OCOB.9 分 在RtB OC中，设00OBxx，则02OCx.由（）的结论，得2001228xx，解得00084 5084 5xxx Q，.点C的坐标为0 8 516，.10 分 12问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN当12CECD时，求AMBN的值类比归纳在图（1）中，若13CECD，则AMBN的值等于 ；若14CECD，则AMBN的值等于 ；若1CECDn（n为整数），则方法指导：为了求得AMBN的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2图（1）ABCDEFMN27AMBN的值等于 （用含n的式子表示）联系拓广 如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点CD，重合），压平后得到折痕MN，设111ABCEmBCmCDn，则AMBN的值等于 （用含mn，的式子表示）解：方法一：如图（1-1），连接BMEMBE，图（2）NABCDEFMN图（1-1）ABCDEFM28 由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称 MN垂直平分BEBMEMBNEN，1 分 四边形ABCD是正方形，902ADCABBCCDDA ,112CECEDECD，设BNx，则NEx，2NCx 在RtCNE中，222NECNCE 22221xx解得54x，即54BN 3 分 在RtABM和在RtDEM中，222AMABBM，222DMDEEM，2222AMABDMDE5 分 设AMy，则2DMy，2222221yy 解得14y，即14AM 6 分 15AMBN7 分 方法二：同方法一，54BN 3 分 如图（12），过点N做NGCD，交AD于点G，连接BE29ADBC，四边形GDCN是平行四边形 NGCDBC 同理，四边形ABNG也是平行四边形54AGBN90MNBEEBCBNM，90NGBCMNGBNMEBCMNG Q，在BCE与NGM中90EBCMNGBCNGCNGM ，BCENGMECMG，分114AMAGMGAM 5，=46 分15AMBN7 分类比归纳N图（1-2）ABCDEFMG3025（或410）；917；2211nn10 分联系拓广2222211n mnn m12 分