【16考研数学-讲义】2016考研数学导学班电....doc

2016年考研数学导学课
高等数学部分
第一章 极限与连续
第一部分 极限理论
一、函数初等特性
1、奇偶性—设函数的定义域关于原点对称，若，称为偶函数；若，称为奇函数。
【例1】 判断函数的奇偶性，并求其反函数。
2、周期性—设的定义域为，若存在，使得对任意的，有且，称为周期函数。
【例2】讨论函数的周期性。
3、单调性—设对任意的且，有，称在上为单调增函数，反之称为单调减函数。
4、有界性—若存在，对任意的，有，称在上有界。
二、基本概念
1、基本初等函数与初等函数
（1）基本初等函数—幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。
2）初等函数—由常数及基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算而成的式子，称为初等函数。
2、极限
（1）数列极限()—若对任意的，总存在，当时，有

成立，称数列以为极限，记为。
（2）函数当时的极限（）—若对任意的，总存在，当时，有

成立，称为当时的极限，记为。
（3）函数当时的极限（）—若对任意的，存在，当时，有

成立，称为当时的极限，记为。
【注解】
（1）包含：。
（2）函数在一点的极限与函数在该点有无定义无关。
（3）若，称为在处的左极限，记为；若，称为的右极限，记为，注意存在的充分必要条件是与都存在且相等。
（4）形如当时的极限一定分左右极限。
若对，因为，，所以极限不存在；
又如，显然，，故不存在。
3、无穷小
（1）若，称当时为无穷小。
（2）设，若，称为的高阶无穷小，记为；若，称与为同阶无穷小，记为，特别地，若，称与为等价无穷小，记为。
三、极限性质
（一）极限一般性质
定理1（唯一性定理） 极限具有唯一性。
定理2（保号性定理）
（1）若，则存在，当时，。
（二）极限的存在性质
定理1 单调有界的数列必有极限。
情形一：设单调增加，且存在，使得，则存在。
情形二：设单调减少，且存在，使得，则存在。
定理2（夹逼定理）
（1）数列型：设，且，则。
【例1】计算。
（2）函数型：设，且，则。
（三）无穷小的性质
1、无穷小的一般性质
（1）有限个无穷小之和、差、积为无穷小。
（2）有界函数与无穷小之积为无穷小。
（3）的充分必要条件是，其中。
2、等价无穷小的性质
（1）；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若且，则。
3、当时常用的等价无穷小
（1）；
（2）；
（3）。
（四）极限的运算性质
1、极限四则运算性质
设，，则
（1）。
（2）。
（3）。
2、极限的复合运算性质
若，（），则。
【注解】
设，，则
。
四、重要极限
1、。
2、。
第二部分 连续与间断
一、概念
1、连续
（1）函数在一点处连续—设在的邻域内有定义，若，称在处连续。
【注解】在处连续的充分必要条件是。
（2）函数在上连续—设在上有定义，在内点点连续，且，称在上连续。
2、间断点及分类
（1）设在处间断，且都存在，称为的第一类间断点。
进一步地，若，称为的可去间断点；
若，称为的跳跃间断点。
（2）设在处间断，且至少一个不存在，称为的第二类间断点。
二、闭区间上连续函数的四大性质
定理1 （最大值最小值定理）设，则在上取到最小值和最大值。
定理2 （有界性定理） 设，则在上有界。
定理3 （零点定理） 设，且，则存在，使得。
定理4（介值定理）设，对任意的，存在，使得，即位于最小值和最大值之间的任何值函数都可以取到。
【方法指导】
设，若结论中存在，基本确定使用零点定理或介值定理，一般开区间用零点定理，闭区间用介值定理。
【例1】设，，证明：存在，使得。
【例2】设，证明：对任意的，存在，使得
。
【例3】设，证明：对任意的及且，存在，使得

导学部分基本题型
题型一 不定型极限
【例1】计算极限。
【例2】计算极限。
【例3】计算极限。
【例4】计算极限。
【例5】计算极限。
题型二 和与积的极限计算
【例1】。
【例2】。
【例3】。
题型三 间断点及分类
【例1】求函数的间断点及类型。
【例2】求函数的间断点及类型。
【例2】求函数的间断点及类型。

第二章 一元函数微分学基本理论
一、基本概念
1、导数—设为定义于上的函数，，，若极限存在，称在处可导为在处的导数，记为或。
【注解】
（1）同时包括与。
若存在，称此极限为在点处的左导数，记为，若存在，称此极限为在点处的右导数，记为，在点处可导的充分必要条件是与都存在且相等。
（2）函数在处导数的等价定义
。
（3）设在处连续，若，则。
2、可微—设为定义于上的函数，，，若，称在处可微，记，或者。
【注解】
（1）函数在一点可导与函数在一点可微等价。
（2）。
（3）若函数处处可导，则其微分为。
二、求导工具
（一）基本公式
1、。
2、，特别地。
3、，特别地。
4、，特别地。
5、（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）。
6、（1）； （2）；
（3）； （4）。
（二）求导四则运算法则
1、。 2、。
3、。 4、；
（三）复合函数求导链式运算法则
设，都是可导函数，则可导，且
。
（四）反函数的导数
定理 设为可导函数，且，为的反函数，则
，即原函数与其反函数导数之间为倒数关系。
三、求导基本类型
（一）显函数求导数
【例1】设，求；
【例2】设，求；
（二）参数方程确定的函数的导数
设由确定，其中皆二阶可导，求及。
【例1】 设，求及。
（三）隐函数求导数
【例1】 设，求。
（四）分段函数求导数
【例1】设，求并讨论的连续性。
【例2】设，且存在，求。

第三讲 中值定理及应用
一、预备知识
1、极值点与极值—设连续，其中。若存在，当时，有，称为的极大点；若存在，当时，有，称为的极小点，极大点和极小点称为极值点。
2、函数在一点处导数情况讨论
（1）设，即，由极限的保号性，存在，当时，有。
当时，；当时，。
显然不是的极值点。
（2）设，即，由极限的保号性，存在，当时，有。
当时，；当时，。
显然不是的极值点。
【结论1】设连续函数在处取极值，则或不存在。
【结论2】设可导函数在处取极值，则。
二、一阶中值定理
定理1（罗尔中值定理）设函数满足：（1）；（2）在内可导；（3），则存在，使得。
定理2（Lagrange中值定理）设满足：（1）；（2）在内可导，则存在，使得。
【注解】
（1）中值定理的等价形式为：
，其中；
，其中。
（2）对端点有依赖性。
（3）端点可以是变量，如，其中是介于与之间的的函数。
定理3（Cauchy中值定理）设满足：（1）；（2）在内可导；（3），则存在，使得
。
三、函数的单调性与极值
求函数的步骤如下：
（1）求函数的定义域。
（2）求，求出函数的驻点及不可导点。
（3）判别法
方法一（第一充分条件）
若当时，，当时，，则为极小点；
若当时，，当时，，则为极大点。
方法二（第二充分条件）
设，则当时，为极大点；当时，为极小点。

导学部分基本题型
题型一
【例1】设，在内可导，且，证明：
。
【例2】设，在内可导，且，证明：存在，使得。
题型二 结论中含一个中值，不含，且导出之间差距为一阶
【例1】设，在内可导，且，证明：存在，使得
。
【例\2】设，在内可导，，证明：存在，使得。
【例3】设，在内可导，，证明：存在，使得。
【例4】设，在内可导，且。
（1）证明：存在，使得。
（2）证明：存在，使得。
题型三 结论中含
【例1】设，在内可导，且（），证明：
存在，使得，。
【例2】设，在内可导，且，证明：
（1）存在，使得。
（2）存在，使得。

题型四 极值点的判断
【例1】（图略）
【例2】设，，讨论是否是极值点？
【例3】设，，讨论是否为极值点？

题型五 用单调性证明不等式
【例1】设，证明：当时，
。
【例2】设，证明：。
【例3】当时，证明：。
【例4】当时，证明：。

线性代数部分
第一章 行列式
一、基本概念
1、逆序
2、逆序数
3、行列式
4、余子式与代数余子式
二、特殊行列式
1、（1）。
（2）。
（3）。
2、范德蒙行列式
。
三、行列式的计算性质
（一）一般行列式转化为上（下）三角行列式的性质
1、。
2、对调两行（或两列）行列式变为相反数。
3、行列式的某行（或列）有公因子可提取。
4、。
5、某行（或列）的倍数加到另一行（或列）行列式不变。
（二）降阶性质
1、（）。
2、（）。
四、行列式的性质
（）
（**）
定理1 对（*）
（1）的充分必要条件是（*）只有非零解。
（2）的充分必要条件是（*）除零解还有非零解。
定理2 对（**）
（1）的充分必要条件是（**）有唯一解，且。
（2）时，（**）无解或有无数个解。

第二章 矩阵
一、矩阵基本概念
1、矩阵的定义—形如，称为矩阵，记为。
特殊矩阵有
（1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。
（2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。
（3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。
（4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。
2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。
3、矩阵运算
（1）矩阵加、减法：
，则
。
（2）数与矩阵之积：
。
（3）矩阵与矩阵之积：
设，则
，
其中（）
【注解】
（1）不一定有或。
（2）矩阵乘法没有交换律，即与不一定相等。
（3）设，则定义，且关于矩阵的矩阵多项式可因式分解。
（4）方程组的矩阵形式
方程组的基本形式为
（1）
称（1）为齐次线性方程组。
（2）
称（2）为非齐线性方程组。
令 ，，，则（1）、（2）可分别表示为矩阵形式：
（1）
及
（2）
二、矩阵问题的产生
初一数学问题：解一元一次方程
情形一：当时，两边同时乘以得，于是；
情形二：当时，方程无解；
情形三：当时，方程有无数个解。
线性方程组的类似问题：讨论方程组的解
情形一：是阶方阵，且存在，使得
由两边左乘得，于是；
情形二：虽然是阶矩阵，但不存在，使得
方程组是否有解及解的情况；
情形三：是矩阵，且
方程组是否有解及解的情况。
【注解】
（1）第一种解的情况产生矩阵的第一个核心问题—矩阵的逆阵。
（2）第二、三两种情形产生矩阵的另一个核心问题—矩阵的秩。
三、矩阵的逆阵
逆矩阵理论需要回答下列三个问题：
（1）何为逆矩阵？
（2）逆矩阵是否存在？
（3）逆矩阵如何求？
（一）逆阵的定义—设为阶矩阵，若存在阶矩阵，使得，则称为可逆矩阵，称为的逆矩阵，记为。
（二）逆矩阵存在定理
定理设为阶矩阵，则可逆的充分必要条件是。
（三）逆矩阵的求法
【注解】伴随矩阵
设，取，
对任意的，求出所有元素的代数余子式，令
，称为矩阵的伴随矩阵，
注意：。
4、求矩阵逆阵的方法
方法一：伴随矩阵法
当时，。