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高中数学各章节知识点汇总22目 录第一章 集合与命题1一、集合1二、四种命题的形式2三、充分条件与必要条件2第二章 不等式1第三章 函数的基本性质2第四章 幂函数、指数函数和对数函数（上）3一、幂函数3二、指数函数3三、对数3四、反函数4五、对数函数4六、指数方程和对数方程4第五章 三角比5一、任意角的三角比5二、三角恒等式5三、解斜三角形7第六章 三角函数的图像与性质8一、周期性8第七章 数列与数学归纳法9一、数列9二、数学归纳法10第八章 平面向量的坐标表示12第九章 矩阵和行列式初步14一、矩阵14二、行列式14第十章 算法初步16第十一章 坐标平面上的直线17第十二章 圆锥曲线19第十三章 复数21第一章 集合与命题一、集合1.1 集合及其表示方法集合的概念1、把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合简称集2、集合中的各个对象叫做这个集合的元素3、如果a是集合A的元素，就记做aA，读作“a属于A”4、如果a不是集合A的元素，就记做a A，读作“a不属于A”5、数的集合简称数集：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N不包括零的自然数组成的集合，记作N全体整数组成的集合，即整数集，记作Z全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q全体实数组成的集合，即实数集，记作R我们把正整数集、负整数集、正有理数、负有理数、正实数集、负实数集表示为Z、Z、Q、Q、R、R6、把含有有限个数的集合叫做有限集、含有无限个数的集合叫做无限极7、空集是指不用含有任何元素的集合，记作集合的表示方法1、在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再画一条竖线，在竖线之后写上集合中元素所共同具有的特性，这种集合的表示方法叫做描述法1.2 集合之间的关系子集1、对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B的子集，记做AB或BA，读作“A包含于B”或“B包含A”2、空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集3、用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图相等的集合1、对于两个集合A和B，如果AB，且BA，那么叫做集合A与集合B相等，记作“A=B”，读作“集合A等于集合B”，如果两个集合所含元素完全相同，那么这两个集合相等1.3 集合的运算交集1、由交集A和交集B的所有公共元素的集合叫做A与B的交集，记作AB，读作A交B并集1、由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A、B 的并集，记作AB，读作A并B补集1、在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合叫做全集2、U是全集，A是U的子集。则由U中所有不属于A的元素组成的集合叫做A在全集U中的补集，记作CA，读作A补二、四种命题的形式1.4 命题的形式及等价关系命题与推出关系1、可以判断真假的语句叫做命题，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题2、命题有可推导性四种命题形式1、“如果，那么”，如果把结论与条件互换，得到新命题“如果，那么”这个新命题叫做原来命题的逆命题2、一个命题的条件与结论分别是另一个命题结论的否定与条件的否定，那么把这两个命题互称逆否命题3、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，那么把这两个命题互称否命题等价命题1、如果A、B是两个命题，AB，BA，那么A、B叫做等价命题2、等价命题原命题与逆否命题的等价命题三、充分条件与必要条件1.5 充分条件，必要条件1、，那么叫做的充分条件，叫做的必要条件2、既有，又有，既有，是既是的充分条件，又是的必要条件，是的充分必要条件，简称充要条件1.6 子集与推出关系1、设A、B是非空集合，A=aa具有性质，B=bb具有性质，则AB，与等价第二章 不等式2.1 不等式的基本性质1、如果ab，bc，那么ac2、如果ab，那么a+cb+c3、如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc4、如果ab，cd，那么a+cb+d5、如果ab0，那么ab（nN）6、如果ab0，那么（nN，n1）2.2 一元二次不等式的解法1、整式不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，正阳的不等式叫做一元二次不等式2、a、b是区间的端点集合xaxb叫做闭区间，表示为a，b集合xaxb叫做开区间，表示为（a，b）集合xaxb或集合xaxb叫做半开半闭区间，表示为a，b)或（a，b把实数集R表示为（-，+），把集合xxa、xxa、xxb、xxb表示为a，+）、（a，+）、-，b）、（-，b）2.3 其他不等式的解法分式不等式形如0或0（其中f（x）、g（x）为整式且g（x）0）的不等式称为分式不等式含绝对值的不等式的解法不等式xa（a0）的解集为（-a，a），xa（a0）的解集为（-，-a）（a，+）2.4 基本不等式及其应用1、对任意实数a和b有a+b2ab，当且仅当a=b时等号成立2、对任意正数a和b，有，当且仅当a=b时等号成立第三章 函数的基本性质3.1 函数的概念1、体现了从x的合集到y的合集的一种对应关系，这种关系叫做函数关系2、在某个变化过程中有两个变量，x、y，如果对于x在某个实数集合D内每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与它对应，那么y就是x的函数，记作y=f（x）xD，x叫做自变量，y叫做因变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域3.2 函数关系的建立1、函数关系的建立一般应用于应用题中3.3 函数的运算1、一直两个函数y=f（x）（xD），y=g（x）（xD），设D= DD把函数y=f（x）与y=g（x）都有意义，把函数y=f（x）+g（x）（xD）叫做函数y=f（x）与y=g（x）的和3.4 函数的基本性质1、如果对于函数y=f（x）的定义域D内的任意实数x，都有f（-x）=f（x），那么就把函数y=f（x）叫做偶函数2、如果对于函数y=f（x）的定义域D内的任意实数x，都有f（-x）=-f（x），那么就把函数y=f（x）叫做奇函数3、x（-，0，x逐渐增加是，函数值y逐渐减小，当x0，+），x逐渐增加，函数值y逐渐增加，函数的这两个性质都叫做函数的单调性4、一般地，对于给定区间上I的函数y=f（x）如果对于属于这个区间I的自变量的任意两个值x、x，当xx时，都有f（x）f（x），那么就说函数y=f（x）在这个区间上是单调增函数，简称增函数如果对于属于这个区间I的自变量的任意两个值x、x，当xx时，都有f（x）f（x），那么就说函数y=f（x）在这个区间上是单调减函数，简称减函数5、设函数y=f（x）在x处的函数值是f（x）如果对于定义域内任意x，不等式f（x）f（x）都成立，那么f（x）叫做函数y=f（x）的最小值，记作y=f（x）如果对于定义域内任意x，不等式f（x）f（x）都成立，那么f（x）叫做函数y=f（x）的最大值，记作y=f（x）第四章 幂函数、指数函数和对数函数（上）一、幂函数4.1 幂函数的性质与图像1、函数y=x（k为常数，kQ）叫做幂函数二、指数函数4.2 指数函数的图像与性质1、函数y=a（a0，a1）叫做指数函数，其中x是自变量作为指数，a为底数，函数的定义域是R指数函数y=a的函数值恒大于零指数函数y=a的图像经过点（0,1）函数y=a（a1）在（-，+）内是增函数函数y=a（0a1）在（-，+）内是减函数三、对数4.4 对数概念及其运算1、如果a（a0,a1）的b次幂等于N，即a=N，那么数b叫做以a为底N的对数2、N=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN，以无理数e=2.71828为底对数，记作N3、 如果a0,a1,M0,N0,那么（MN）=M+N=MNM=nM对数换底公式：N=.（其中a0，a1，b0，b1，N0）四、反函数4.5 反函数的概念1、x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f（y）自变量常用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为y= f（x）（xA）五、对数函数4.6 对数函数的图像与性质1、函数y=x（a0，且a1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，+）2、对数函数y=x的图像都在y轴的右方3、对数函数y=x的图像都经过（1,0）4、对数函数y=x（a1），当x1时，y0；当0x1时，y0对数函数y=x（0a1时，y0；当0x05、对数函数y=x（a1）在（0，+）上是增函数，对数函数y=x（0a1）在（0，+）上是减函数六、指数方程和对数方程4.7 简单的指数方程1、指数里含有未知数的方程叫做指数方程4.8 简单对数方程1、在对数符号后面有未知数的方程叫做对数方程第五章 三角比一、任意角的三角比5.1 任意角及其度量1、一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的2、用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制3、把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角4、如果一个半径为r的圆心角所对的弧长为，那么比值就是角的弧度数的绝对值，即|=5.2 任意角的三角比1、任意角的三角比：sin= cos=tan= cot=2、在平面直角坐标系中，称以原点O为中心，以1为半径的圆3、第一组诱导公式：当两个角有共同的始边且他们的终边相重合时，根据任意角三角比的定义，可知这两个角的同名三角比是相等的，即sin（2k+）=sin cos（2k+）=costan（2k+）=tan cot（2k+）=cot其中kZ二、三角恒等式5.3 同角三角比的关系和诱导公式同等三角比的关系和诱导公式1、sincsc=1 tan= sin +cos =1诱导公式1、第二组诱导公式：sin（）=sin cos（）=costan（）=tan cot（）=cot2、第三组诱导公式sin（+）=sin cos（+）=costan（+）=tan cot（+）=cot3、第四组诱导公式sin（）=sin cos（）=costan（）=tan cot（）=cot5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切1、两角差的余弦公式cos（）=coscos+sinsin2、两角和的余弦公式cos（+）=coscossinsin3、第五组诱导公式：sin（）=cos cos（）=sintan（）=cot cot（）=tan4、第六组诱导公式sin（）=cos cos（+）=sintan（+）=cot cot（+）=tan5、两角和的正弦公式sin（+）=sincos+cossin6、两角差的正弦公式sin（）=sincoscossin7、两角和与差的正切公式tan（+） tan（）8、asin+bsin=sin（+）5.5 两倍角与半角的正弦、余弦和正切1、二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2=2sincos cos2=cos sin tan2=cos2=2cos 1=12sin 2、半角的余弦、正弦和正切公式tan= tan=3、万能置换公式sin= cos= tan=三、解斜三角形5.6 正弦定理、余弦定理和解斜三角形1、正弦定理=A=b+c2bccosAB=a+c2accosBc=a+b2abcosC2、余弦定理cosA= cosB= cosC=第六章 三角函数的图像与性质1、任意一个实数x都对应着唯一确定的角，而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx.这样，对任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与他对应。按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx，他叫做正弦函数或余弦函数.它们的定义域是实数集R一、周期性1、一般地，对于函数f（x），如果存在一个常数T（T0）,使得当x取定义域D内的任意值时，都有f（x+T）=f（x）成立，那么函数f（x）叫做周期函数，常数T叫做函数f（x）的周期6.2 正切函数的图像与性质1、对于任意一个实数x（xk+，kZ）都有唯一确定的值tanr与它对应.按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=tanr，叫做正切函数6.5 最简三角方程1、把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程.把满足三角方程的所有x的集合叫做三角方程的解集2、在三角方程中，形如sinx=a，cosx=a，tanx=a的方程叫做最简三角方程第七章 数列与数学归纳法一、数列7.1 数列1、按一定顺序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和项的序数有关，排在第一位的书称为这个数列的第1项（首项），排在第二位的数称为整个数列的第2项，排在第n为的数称为这个数列的第n项，数列的一般形式可以写成a，a，a，a，2、项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列，3、从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列从第2项其每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列各项相等的数列叫做常数列4、如果数列a的第n项a与项的序数n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式5、如果数列a的任意一项a与它的前一项a（或前几项）之间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式7.2 等差数列等差数列及其通项公式1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用小写字母d表示2、设a、A、b是等差数列，A叫做a与b的等差中项，如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数3、等差数列a的通项公式a= a+（n-1）d4、a= a+d（n2）是以a为首项，以d为公差的等差数列a的递推公式等差数列的前n项和1、等差数列a的前n项和的公式S=或S=na+d7.3 等比数列等比数列及其通项公式1、如果一个数列a，a，a，a，从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数：=q（n2）那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用小写字母q表示（q0）2、由=q（n2）的得到a=aq（n2），它是以a为首项、以q为公比的等比数列a的递推公式3、设a、G、b是等比数列，那么由等比数列的定义，有G=ab，G叫做a与b的等比中项，如果三个数成等比数列，那么等比中项的平方等于另两项的积3、等比数列a的通项公式a= aq等比数列的前n项和1、以a为首项，以q为公比的等比数列前n项和的公式为S=或S=（q1）S=n a（q=1）二、数学归纳法7.4 数学归纳法1、数学归纳法步骤：（）证明当n取第一个值n（nN）命题成立（）假设n=k（kN，kn）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立（）命题对于从n开始的所有正整数n都成立7.5 数学归纳法的应用7.6 归纳猜想论证三、数列的极限7.7 数列的极限数列的极限1、在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列a中的a无限趋近与一个常数A，那么A叫做数列a的极限，或叫做数列a收敛于A，记作=A，读作n趋向于无穷大时，a的极限等于A2、当q1时，q=03、=0极限的计算法则1、设 a=A，b=B（ab）= ab=A+B（ab）= ab=AB=（B0）（Ca）=C a=CA7.8 无穷等比数列各项的和1、q1的无穷等比数列的前n项和S当n时的极限叫做无穷等比数列各项的和S=（q1）第八章 平面向量的坐标表示8.1 向量的坐标表示及运算1、在平面直角坐标系内，方向分别于x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为和，向量的起点置于坐标原点O，作=，叫做位置向量2、两点之间距离公式，求向量的模，=8.2 向量的数量积向量的夹角1、对于两个非零向量和，如果以O为起点，作=，=，那么射线OA、OB的夹角叫做向量与向量的夹角，的取值范围是02、当=0时，表示向量和向量方向相同当=时，表示向量和向量方向相反夹角=0或=的两个向量是相互平行的夹角=的两个向量是相互垂直的，记作向量的数量积1、如果两个非零向量、的夹角（0），那么cos叫做向量与向量的数量积，记作，即=cos2、在数量积的定义=cos中，cos叫做向量在向量的方向上的投影3、当0时，有向线段的值等于向量的模当时，有向线段的值等于-夹角=时，有向线段的值等于零4、两个向量、的数量积是其中的一个向量的模与另一个向量在向量的方向上的投影cos的乘积5、=0，当且仅当=0时，= =（）=（）=（） （+）=+向量的数量积和坐标表示1、=xx+yy2、=0 xx+yy=08.3 平面向量的分解定理1、如果、是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使=+8.4 向量的应用第九章 矩阵和行列式初步一、矩阵9.1 矩阵的概念1、矩阵，矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素2、矩阵叫做方程的系数矩阵，是2行2列的矩阵，可记作A3、矩阵叫做方程组的增广矩阵，是2行3列的矩阵，可记作4、1行2列的矩阵（1，-2）叫做系数矩阵的两个行向量，2行1列的矩阵叫做系数矩阵的两个列向量5、叫做单位矩阵9.2 矩阵的计算1、只有矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时，矩阵之积AB才有意义2、一般ABBA二、行列式9.3 二阶行列式二阶行列式1、叫做行列式，并且它只有两行两列，所以把它叫做二阶行列式，ab-ab叫做行列式的展开式，其计算结果叫做行列式的值，a、a、b、b都是行列式的元素，利用对角线可把二阶行列式写成它的展开式，这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则行列式一般可用大写字母表示D=2、当D0时，方程的解可用二阶行列式表示为，由于行列式D是由方程中未知数x、y的系数组成的，通常被叫做方程组的系数行列式作为判别式的二阶行列式1、当D0时，方程有唯一解，D叫做方程组解的判别式9.4 三阶行列式三阶行列式1、=abc+abc+abc-abc-abc-abc叫做行列式，并且它三行三列，所以把它叫做三阶行列式，abc+abc+abc-abc-abc-abc叫做行列式的展开式，其计算结果叫做行列式的值，a、a、a、b、b、b、c、c、c都是行列式的元素，利用对角线可把三阶行列式写成它的展开式，这种方法叫做三阶行列式展开的对角线法则2、按一行或一列展开1、叫做元素a的余子式即a的余子式三元一次方程组的行列式解法1、 设三元一次方程组D= D=D= D=当D0时，方程组有唯一解第十章 算法初步10.1 算法的概念1、对于一类有待求解的问题，如果建立了一淘通用的解题方法，按部就班地实施这套方法就能使该类问题得以解决，那么这套解题方法是求解该类问题的一种算法10.2 程序图框1、为了使算法的表述更加简练，结构更加清晰，人们常用含有算法内容的框和箭头构成的图来表示算法，这种图也叫算法的程序框图10.3 计算机语句和算法程序赋值语句1、赋值语句：被复制变量名=由数值或已经被赋值的变量组成的表达式输入语句1、输入变量=input输出语句1、print（%io（2），变量1，变量2，变量3，）2、disp（变量1，变量2，变量3，）或disp条件语句1、if 条件表达式 then语句组 Aelse语句组 Bend循环语句1、for 循环变量=初值：步长：终值循环体end2、while 条件表达式循环体end第十一章 坐标平面上的直线11.1 直线的方程1、v（x-x）=u（y-y），即=0我们把方程叫做直线l的方程，直线l叫做方程的图形，把与直线l平行的向量叫做直线l的方向向量，向量=（，）是直线的一个方向向量.2、=a（）+b（）=0我们把与直线l垂直的向量叫做直线l的法向量，方程叫做直线l的点法向式方程向量=（a，b）是直线l的一个法向量11.2 直线的倾斜角和斜率bxyMO1、设直线l与x轴相交于点M，将x轴绕点M按逆时针方向旋转至于直线l重合时所成的最小正角叫做直线l的倾斜角2、当直线l与x轴平行或重合时，规定其倾斜角=0.因此直线的倾斜角的范围是03、当时，把的正切值k=tan叫做直线l的斜率4、记tan=k，方程y-y=k（）叫做直线l的点斜式方程5、ax+by+c=0（a、b不同时为零）我们把方程叫做直线的一般方程11.3 两条直线的位置关系两条直线的相交、平行与重合两条直线的夹角1、我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角2、两条直线的夹角公式：cos=11.4 点到直线的距离1、点到直线的距离公式：d=.第十二章 圆锥曲线12.1 曲线和方程曲线和方程1、借助于平面坐标系用代数方法研究平面上图形性质的学科称为平面解析几何.求曲线方程1、求曲线的方程，一般有如下几个步骤：（）建立适当的直角坐标系；（）设曲线上任意一点的坐标为（x，y）；（）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；（）用坐标x，y表示这个等式（方程），并化简；（）证明以化简后的方程的解为坐标点都是曲线上的点曲线的交点12.2 圆的方程圆的标准方程1、（x-a）+（y-b）=r圆的一般方程1、x+y+Dx+Ey+F=0圆的一般方程有如下特点：（1）x与y项的系数相同且不为零；（2）不含xy项（3）D+E-4F0.12.3 椭圆的标准方程1、把平面内到两个定点FF的距离和等于常数2a（2aFF）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点F、F叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离FF叫做焦距+=1（ab0） +=1（ab0）其中a、b、c满足c=a-b这里方程和都叫做椭圆的标准方程12.4 椭圆的性质对称性顶点12.5 双曲线的标准方程1、把平面内与两个定点F、F的距离之差的绝对值等于常数2a（2a0)形如的方程叫做抛物线的标准方程12.8 抛物线的性质1、抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点对称性顶点范围第十三章 复数13.1 复数的概念复数的概念1、为了解决负数开方问题，引入了一个新数i，叫做虚数单位，规定：i=-1，即i是-1的一个平方根。我们把形如a+bi（a、bR）的数叫做复数2、复数全体所组成的集合叫做复数集，一般用字母C表示单个附属常常用字母z表示，即z=a+bi的实部在下面定义了复数的加法和乘法运算后的复数集叫做复数系（域）3、单个复数常常用字母z表示，即z=a+bi（a、bR）。把复数z表示成a+bi时，叫做复数的代数形式，并规定0i=0,0+bi=bi。a与b分别叫做复数z=a+bi的实部与虚部。复数z的实部记作Rez，复数z的虚部记作Imz。当b=0时，复数z=a=bi=a是实数；当b0时，z叫做虚数；当a=0且b0时，z=a+bi=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z是实数0.两个复数相等1、a=c且b=d那么这两个复数相等13.2 复数的坐标表示复平面1、建立了直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，在这里x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴复数的向量表示复数的模1、复数的模：复数z=a+bi所对应的点Z（a、b）到坐标原点的距离叫做复数z的模（或绝对值），记作z.由模的定义，可知z=a+bi=13.3 复数的加法与减法复数的加法1、z+z= z+ z；（z+z）+z= z+（z+z）共轭复数1、形如3+2i和3-2i这样实部相等而虚部虎威相反数的两个复数，叫做互为共轭复数，也称互相共轭。复数的减法复平面上两点间的距离13.4 复数的乘法与除法复数的乘法1、（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i复数的乘方1、z z=z （z）=z （z z）=zz复数的除法复数的积与商的模1、要求几个复数积的模或两个复数商的模，可以先求得其积或商的实部和虚部，再利用模的计算公式计算。13.5 复数的平方根与立方根复数的平方根1、（a+bi）=c+di称a+bi是c+di的一个平方根。复数的立方根1、若复数z、z满足z= z，则称z是z的立方根。13.6 实系数一元二次方程1、一元二次方程中根与系数的关系（韦达定理）