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高中数学向量专题

一．选择题（共27小题）
1．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．3

2．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（　　）
A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣

3．已知点G是△ABC内一点，满足++=，若∠BAC=，•=1，则||的最小值是（　　）
A． B． C． D．

4．已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则的最小值为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0

5．已知向量，夹角为，||=2，对任意x∈R，有|+x|≥|﹣|，则|t﹣|+|t﹣|（t∈R）的最小值是（　　）
A． B． C． D．

6．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且=x，则的最小值为（　　）

A． B．2 C． D．

7．已知△ABC中，∠A=120°，且AB=3，AC=4，若，且，则实数λ的值为（　　）
A． B． C．6 D．

8．已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（　　）
A． B． C． D．

9．已知：||=1，||=，⋅=0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设=m+n（m，n∈R），则的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．4

10．已知，为单位向量，且，向量满足|﹣﹣|=2，则||的范围为（　　）
A．[1，1+] B．[2﹣，2+] C．[] D．[3﹣2，3+2]

11．已知平面内任意不共线三点A，B，C，则的值为（　　）
A．正数 B．负数
C．0 D．以上说法都有可能

13．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=4，则的最小值是（　　）
A．﹣4 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12

14．已知O是正方形ABCD的中心．若=，其中λ，μ∈R，则=（　　）
A． B．﹣2 C． D．

15．△ABC所在平面上一点P满足++=，则△PAB的面积与△ABC的面积比为（　　）
A．2：3 B．1：3 C．1：4 D．1：6

16．在△ABC中，若BC=8，BC边上中线长为3，则•=（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣28 D．28

17．已知O是正△ABC的中心．若=，其中λ，μ∈R，则的值为（　　）
A． B． C． D．2

18．设△ABC的面积为S，若，tanA=2，则S=（　　）
A．1 B．2 C． D．

19．已知向量，，为平面向量，||=||=2=1，且使得﹣2与﹣所成夹角为，则||的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．+1

20．已知O为△ABC内一点，且有，记△ABC，△BCO，△ACO的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（　　）
A．3：2：1 B．3：1：2 C．6：1：2 D．6：2：1

21．已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．﹣1

22．已知向量，满足||=2，||==3，若（﹣2）•（﹣）=0，则||的最小值是（　　）
A．2﹣ B．2+ C．1 D．2

23．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点G在AD上，且是△ABC的重心，则用向量表示为（　　）

A． B．

C． D．

24．设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若=，则O为△ABC的（　　）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

25．已知平面向量，，满足||=||=||=1，若•=，则（2+）（﹣）的最小值为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣1 D．0

26．已知O是△ABC内部一点，且3=，则△OBC的面积与△ABC的面积之比为（　　）
A． B．1 C． D．2

27．已知向量满足：，若，的最大值和最小值分别为m，n，则m+n等于（　　）
A． B． C． D．

二．填空题（共3小题）
28．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，∠ADC=45°，AD=2，BC=1，P是腰CD上的动点，则|3+|的最小值为　 　．

29．已知向量=（2，3），=（m，﹣6），若⊥，则|2+|=　 　．

30．已知在△ABC所在平面内有两点P、Q，满足+=0，++=，若||=4，||=2，S△APQ=，则•的值为　 　．

2018年09月30日186****1015的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一．选择题（共27小题）
1．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．3
【分析】如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，求出A，B，C的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．
【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，
以DC所在的直线为y轴，
过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，
∴AN=ABcos60°=，BN=ABsin60°=，
∴DN=1+=，
∴BM=，
∴CM=MBtan30°=，
∴DC=DM+MC=，
∴A（1，0），B（，），C（0，），
设E（0，m），
∴=（﹣1，m）﹣，m﹣），0≤m≤，
∴=+m2﹣m=（m﹣）2+﹣=（m﹣）2+，
当m=时，取得最小值为．
故选：A．

2．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（　　）
A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣
【分析】把等式﹣4•+3=0变形，可得得，即（）⊥（），设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上，画出图形，数形结合得答案．
【解答】解：由﹣4•+3=0，得，
∴（）⊥（），
如图，不妨设，
则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，
又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．
不妨以y=为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．
即．
故选：A．

3．已知点G是△ABC内一点，满足++=，若∠BAC=，•=1，则||的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】用，表示出，利用基本不等式得出|AB|2+|AC|2的最小值即可．
【解答】解：∵点G是△ABC内一点，满足++=，∴G是△ABC的重心，
∴=（ +），
∴=（2+2+2•）=（|AB|2+|AC|2）+，
∵•=|AB|•|AC|=1，∴|AB|•|AC|=2，
∴AB2+AC2≥2|AB|•|AC|=4，
∴2≥=．
∴||≥．
故选：C．

4．已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则的最小值为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【分析】根据题意，以A为原点，以AB所在对的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求出
【解答】解：∵△ABC中，，AB=AC=1，
以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则B（1，0），C（0，1）
设P的坐标为（m，0）0≤m≤1，Q的坐标为（0，n），0≤n≤1，
∴=（﹣1，n），=（m，﹣1），
∴=﹣m﹣n=﹣（m+n）≥﹣2，当且仅当m=n=1时取等号，
故的最小值为﹣2，
故选：B．

5．已知向量，夹角为，||=2，对任意x∈R，有|+x|≥|﹣|，则|t﹣|+|t﹣|（t∈R）的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意对任意x∈R，有，两边平方整理．由判别式小于等于0，可得（﹣）⊥，运用数量积的定义可得即有||=1，画出=，=，建立平面直角坐标系，设出A，B的坐标，求得|t﹣|+|t﹣|的坐标表示，运用配方和两点的距离公式，结合三点共线，即可得到所求最小值．
【解答】解：向量，夹角为，，对任意x∈R，有，
两边平方整理可得x22+2x•﹣（2﹣2•）≥0，
则△=4（•）2+42（2﹣2•）≤0，
即有（2﹣•）2≤0，即为2=•，
则（﹣）⊥，
由向量，夹角为，||=2，
由2=•=||•||•cos，
即有||=1，
则|﹣|==，
画出=，=，建立平面直角坐标系，如图所示；
则A（1，0），B（0，），
∴=（﹣1，0），=（﹣1，）；

∴=+
=+=2（+
表示P（t，0）与M（，），N（，﹣）的距离之和的2倍，
当M，P，N共线时，取得最小值2|MN|．
即有2|MN|=2=．
故选：D．

6．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且=x，则的最小值为（　　）

A． B．2 C． D．
【分析】设，，由B，D，E，C共线可得x+y=2，
可得=（）（x+y）=（5++）
【解答】解：设，，
∵B，D，E，C共线，∴m+n=1，λ+μ=1．
∵=x，则x+y=2，
∴=（）（x+y）=（5++）
则的最小值为．
故选：D．

7．已知△ABC中，∠A=120°，且AB=3，AC=4，若，且，则实数λ的值为（　　）
A． B． C．6 D．
【分析】根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系分析可得•=（λ+）•（﹣）=0，整理变形可得（λ﹣1）3×4×cos120°﹣9λ+16=0，解可得λ的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，△ABC中，∠A=120°，且AB=3，AC=4，
若，且，
则有•=（λ+）•（﹣）=λ•﹣λ2+2﹣•=（λ﹣1）•﹣λ2+2=0，
整理可得：（λ﹣1）3×4×cos120°﹣9λ+16=0，
解可得：λ=
故选：A．

8．已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，设θ为、的夹角，据此依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，设θ为、的夹角，据此依次分析选项：
对于A、、是两个单位向量，则、的方向不一定相同，则=不一定成立，A错误；
对于B、•=||||cosθ，当、不垂直时，•≠0，B错误；
对于C、•=||||cosθ=cosθ≤1，C错误；
对于D、、是两个单位向量，即||=||，则有2=2，D正确；
故选：D．

9．已知：||=1，||=，⋅=0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设=m+n（m，n∈R），则的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
【分析】由已知建立平面直角坐标系，得到的坐标，结合=m+n求得的坐标，再由与的夹角为30°求解．
【解答】解：∵||=1，||=，•=0，
∴建立平面直角坐标系如图：

则，，
∴=m+n=（m，），
又与的夹角为30°，
∴，则的值为3．
故选：C．

10．已知，为单位向量，且，向量满足|﹣﹣|=2，则||的范围为（　　）
A．[1，1+] B．[2﹣，2+] C．[] D．[3﹣2，3+2]
【分析】由，是单位向量，•=0．可设=（1，0），=（0，1），=（x，y）．由向量满足|﹣﹣|=2，可得（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．其圆心C（1，1），半径r=2．利用|OC|﹣r≤||=≤|OC|+r即可得出．
【解答】解：由，是单位向量，•=0，
可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），
由向量满足|﹣﹣|=2，
∴|（x﹣1，y﹣1）|=2，
∴=2，即（x﹣1）2y﹣1）2=4，
其圆心C（1，1），半径r=2，
∴|OC|=
∴2﹣≤||=≤2+．
故选：B．

11．已知平面内任意不共线三点A，B，C，则的值为（　　）
A．正数 B．负数
C．0 D．以上说法都有可能
【分析】当不共线三点A，B，C构成锐角三角形或直角三角形时，显然有；当三点A，B，C构成钝角三角形，可设C为钝角，角A，B，C所对边分别为a，b，c，则有c＞a，c＞b，并可得出=﹣accosB﹣abcosC﹣bccosA＜﹣ab（cosA+cosB+cosC）=ab[cosA+cosB﹣cos（A+B）]，说明cosA+cosB+cos（A+B）＞0即可．

【解答】解：如果三点A，B，C构成的三角形为锐角三角形或直角三角形，
显然；
如果三点A，B，C构成钝角三角形，可设C为钝角，
角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则：c＞a，c＞b；
则
=accos（π﹣B）+abcos（π﹣C）+bccos（π﹣A）
＜﹣abcosB﹣abcosC﹣abcosA
=﹣ab（cosB+cosC+cosA）
=﹣ab[cosA+cosB﹣cos（A+B）]
=﹣ab（cosA+cosB﹣cosAcosB+sinAsinB）
=﹣ab[cosA+cosB（1﹣cosA）+sinAsinB]
A，B是锐角；
∴cosA＞0，cosB＞0，且1﹣cosA＞0，sinAsinB＞0；
∴．
故选：B．

12．已知抛物线C：y2=x，过点P（a，0）的直线与C相交于A，B两点，O为坐标原点，若•＜0，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，+∞） D．[1]
【分析】设过点P（a，0）的直线方程为my=x﹣a，由直线与抛物线方程联立，消去x得关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的数量积列不等式求出a的取值范围．
【解答】解：设过点P（a，0）的直线方程为my=x﹣a，
且该直线与抛物线C：y2=x相交于A，B两点，
则，
∴y2﹣my﹣a=0，
∴，
∴•x1x2+y1y2=+y1y2=a2﹣a＜0，解得0＜a＜1；
∴a的取值范围是（0，1）．
故选：B．

13．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=4，则的最小值是（　　）
A．﹣4 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12
【分析】如图所示，延长OM到点E，使得ME=OM．又点M是线段BC的中点，则四边形OBEC是平行四边形．利用向量的平行四边形法则、共线定理、数量积运算、二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：如图所示，延长OM到点E，使得ME=OM．
又点M是线段BC的中点，则四边形OBEC是平行四边形．
∴．
∴=
=2
=
=
=，
当且仅当，即点O为线段AM的中点时，取得最小值﹣8．
故选：B．

14．已知O是正方形ABCD的中心．若=，其中λ，μ∈R，则=（　　）
A． B．﹣2 C． D．
【分析】根据平面向量加减运算的三角形法则求出λ，μ即可得出答案．
【解答】解：===+=，
∴λ=1，μ=﹣，
∴=﹣2．
故选：B．

15．△ABC所在平面上一点P满足++=，则△PAB的面积与△ABC的面积比为（　　）
A．2：3 B．1：3 C．1：4 D．1：6
【分析】如图所示，由于点P满足++=，可得=，化为．即可得到△PAB的面积与△ABC的面积比=AP：AB．
【解答】解：如图所示∵点P满足++=，
∴=，
∴．
∴△PAB的面积与△ABC的面积比=AP：AC=1：3．
故选：B．

16．在△ABC中，若BC=8，BC边上中线长为3，则•=（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣28 D．28
【分析】利用已知条件推出BC=8，BC边上中线长为3，通过向量的模的平方，转化求解•即可．
【解答】解：在△ABC中，若BC=8，BC边上中线长为3，
可得：，，
可得，，
两式作差可得：4•=﹣28，所以•=﹣7．
故选：A．

17．已知O是正△ABC的中心．若=，其中λ，μ∈R，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
【分析】O是正△ABC的中心，可得，由=，可得+=，
可得1+λ=μ=﹣λ﹣μ⇒2λ=﹣μ即可得的值．
【解答】解：∵O是正△ABC的中心，∴，
由=，可得+=，
∴（1+μ）++（﹣λ﹣μ）=．
∴1+λ=μ=﹣λ﹣μ⇒2λ=﹣μ
∴则的值为﹣，
故选：C．

18．设△ABC的面积为S，若，tanA=2，则S=（　　）
A．1 B．2 C． D．
【分析】利用向量的数量积，以及三角函数，化简求解即可．
【解答】解：tanA=2，可得cosA===，sinA=，
，
可得bccosA=1，可得bc=，
△ABC的面积为S=bcsinA==1．
故选：A．

19．已知向量，，为平面向量，||=||=2=1，且使得﹣2与﹣所成夹角为，则||的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．+1
【分析】由向量的数量积的定义可得＜，＞=，设=（x，y），=（1，0），=（cos，sin）=（，），判断四点A、B、C、D共圆，设圆心为E，C在圆E上运动，结合图象可得所求最大值．
【解答】解：设=，=，=，
∵平面向量，，满足||=||=2•=1，
∴cos＜，＞==，
∴＜，＞=，
设=（x，y），=（1，0），
=（cos，sin）=（，），
∵﹣2与﹣的夹角为，即为2﹣与﹣的夹角为，
可得∠BCD+∠BAD=180°，
则四点A、B、CD共圆，
设圆心为E，C在圆E上运动，
可得E的横坐标为，
由BD=，可得2r==2，
解得r=1，由A（1，0），可得E（，），
即有|OE|==，
则||的最大值为1+．
故选：A．

20．已知O为△ABC内一点，且有，记△ABC，△BCO，△ACO的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（　　）
A．3：2：1 B．3：1：2 C．6：1：2 D．6：2：1
【分析】如图所示，延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．则+2=+=，由于+2+3=，可得﹣=3．又=2，可得=2．于是=，得到S△ABC=2S△AOB．同理可得：S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．即可得出．
【解答】解：如图所示，
延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．
则+2=+=，
∵+2+3=，∴﹣=3．
又=2，可得=2．
于是=，
∴S△ABC=2S△AOB．
同理可得：S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．
∴ABC，△BOC，△ACO的面积比=6：1：2．
故选：C．

21．已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．﹣1
【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出、和，计算•（+）的最小值即可．
【解答】解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则A（0，），B（﹣，0），C（，0），
设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣﹣x，﹣y），=（﹣x，﹣y），
所以•（+）=﹣x•（﹣2x）+（﹣y）•（﹣2y）=2x2﹣y+2y2
=2x2+2（y﹣）2﹣；
所以当x=0，y=时，取得最小值是﹣．
故选：B．

22．已知向量，满足||=2，||==3，若（﹣2）•（﹣）=0，则||的最小值是（　　）
A．2﹣ B．2+ C．1 D．2
【分析】由题意设，再设，这样根据即可得出终点的轨迹，而数形结合即可求出的最小值．
【解答】解：根据条件，设，设，则：
==0；
∴；
∴的终点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示：
∴||的最小值为：．
故选：A．

23．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点G在AD上，且是△ABC的重心，则用向量表示为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据向量加法的平行四边形法则及数乘的几何意义，，再根据三角形重心的性质便可得出，这样根据向量加法的几何意义及向量的数乘运算即可表示出向量．
【解答】解：根据题意，；
∴
=
=．
故选：A．

24．设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若=，则O为△ABC的（　　）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【分析】运用向量的加减运算，以及向量数量积的性质，结合三角形的外心，可得所求．
【解答】解：若=，
可得•（+）=•（+）=•（+）=0，
即为（﹣）•（+）=（﹣）•（+）=（﹣）•（+）=0，
即有||2=||2=||2，
则||=||=||，
故O为△ABC的外心，
故选：B．

25．已知平面向量，，满足||=||=||=1，若•=，则（2+）（﹣）的最小值为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣1 D．0
【分析】推导出＜＞=60°，设==（1，0），==（），=（x，y），则x2+y2=1，则（2+）（﹣）=（2+x，y）（，﹣y）=y﹣=﹣sin（θ+150°），由此能求出（2+）（﹣）的最小值．
【解答】解：∵平面向量，，满足||=||=||=1，•=，
∴cos＜＞===，
∴＜＞=60°，
∴设==（1，0），==（），
=（x，y），则x2+y2=1，
∴（2+）（﹣）=（2+x，y）（，﹣y）
=（2+x）（）+（﹣y）y
=y﹣
=﹣
=sin（θ+150°），
∴（2+）（﹣）的最小值为﹣．
故选：B．

26．已知O是△ABC内部一点，且3=，则△OBC的面积与△ABC的面积之比为（　　）
A． B．1 C． D．2
【分析】由向量式可得O为三角形ABC中位线FE的三等分点靠近E），从而可得两三角形面积和△ABC的关系，可从而得答案．
【解答】解：∵3=，∴2（═﹣（
如图E，F分别是对应边的中点，

由平行四边形法则知：2=﹣，
∴O为三角形ABC中位线FE的三等分点（靠近E），
∴O到CB的距离是三角形ABC高的一半，∴则△OBC的面积与△ABC的面积之比为1：2．
故选：A．

27．已知向量满足：，若，的最大值和最小值分别为m，n，则m+n等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知可得，设，则=x1=，结合，可得y1=±3，不妨取=（，3），设=（x，y），结合（）•（）=0，可得x，y所满足的关系式，数形结合得答案．
【解答】解：由，
∴，即1﹣2，
∴，
设，则=x1=，
且||==，
∴y1=±3，不妨取=（，3）．
设=（x，y），则=（1﹣x，﹣y），=（﹣x，3﹣y），
由题意（）•（）=0，
∴（1﹣x）（﹣x）﹣y（3﹣y）=0，
化简得，x2+y2﹣﹣3y+=0，即=．
则点（x，y）表示圆心在（，），半径为的圆上的点，
如图所示，

则||=的最大值为m=|OC|+r=，
最小值为n=|OC|﹣r=．
∴m+n=．
故选：D．

二．填空题（共3小题）
28．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，∠ADC=45°，AD=2，BC=1，P是腰CD上的动点，则|3+|的最小值为　　．
【分析】建立坐标系，设出P的坐标，表示出，的坐标，结合二次函数的性质求出其最小值即可．
【解答】解：分别以AD，AB为x，y轴，建立直角坐标系：
如图示：
，
∵∠ADC=45°，AD=2，BC=1，P是腰CD上的动点，
∴A（0，0），B（0，1），C（1，1），D（2，0），
则设P（x，2﹣x），
故3=（﹣3x，3x﹣6），=（x，1﹣x），
故1≤x≤2，
故|3+|=，
而y=8x2﹣20x+25=8+≥，
故|3+|的最小值是，
故答案为：．

29．已知向量=（2，3），=（m，﹣6），若⊥则|2+|=　13　．
【分析】根据题意，由向量的垂直与向量数量积的关系可得若⊥，则有•=2m﹣18=0，解可得m的值，即可得的坐标，从而可得向量2+的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，向量=（2，3），=（m，﹣6），
若⊥，则有•=2m﹣18=0，解可得m=9，
则=（9，﹣6），
故2+=（13，0）；
故|2+|=13；
故答案为：13．

30．已知在△ABC所在平面内有两点P、Q，满足+=0，++=，若||=4，||=2，S△APQ=，则•的值为　±4　．
【分析】由题意可得P为AC的中点，Q为靠近B的线段AB的三等分点，根据S△APQ=，求得sin∠A 的值，可得cos∠A的值，从而求得•的值．
【解答】解：已知在△ABC所在平面内有点P满足+=0，∴P为AC的中点，
∵点Q满足++=，即++=﹣，即=﹣2，
∴Q为靠近B的线段AB的三等分点，如图所示：
若||=4，||=2，则||=1，||=||=，
∴S△APQ=•||•||•cos∠A=•1••sin∠A=，
∴sin∠A=，∴cos∠A=±=±，
则•=||•||cos∠A=±4，
故答案为：±4．