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初中数学函数三大专题复习
目录
专题一 一次函数和反比例函数 1
一、一次函数及其基本性质 1
1、正比例函数 1
2、一次函数 1
3、待定系数法求解函数的解析式 2
4、一次函数与方程、不等式结合 3
5、一次函数的基本应用问题 4
二、反比例函数及其基本性质 7
1、反比例函数的基本形式 7
2、反比例函数中比例系数的几何意义 7
3、反比例函数的图像问题 8
4、反比例函数的基本应用 10
专题二 二次函数 12
一、二次函数的基本性质以及二次函数中三大参数的作用 12
1、二次函数的解析式及其求解 12
2、二次函数的基本图像 13
3二次函数的增减性及其最值 14
4、二次函数中三大参数的和函数图像的关系 15
5、二次函数和不等式、方程的结合 16
二、二次函数的基本应用 18
1、二次函数求解最值问题 18
2、二次函数中的面积问题 19
3、涵洞桥梁隧道问题 23
4、二次函数和圆相结合 24
三、二次函数中的运动性问题 25
1、动点问题 25
2、折叠、旋转、平移问题 29
专题三 锐角三角函数以及解直角三角形 33
1、锐角三角函数的基本定义及其计算 33
2、锐角三角函数的基本应用 34

专题一 一次函数和反比例函数
一、一次函数及其基本性质
1、正比例函数
形如的函数称为正比例函数，其中k称为函数的比例系数。
（1）当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；
（2）当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。
2、一次函数
形如的函数称为一次函数，其中称为函数的比例系数，称为函数的常数项。
（1）当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；y随x的增大而增大；
（2）当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；y随x的增大而增大；
（3）当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；y随x的增大而减小；
（4）当k<0b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限；y随x的增大而减小。
例题1：在一次函数y＝(m－3)xm-1＋x＋3中，符合x≠0，则m的值为 。
随堂练习：已知自变量为x的函数y=mx+2-m是正比例函数，则m=________，该函数的解析式为_______。
例题2：已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是（　　）
A、﹣2 B、﹣1 C、0 D、2
随堂练习：
1、直线y=x－1的图像经过象限是（ ）
A、第一、二、三象限 B、第一、二四象限 C、第二、三、四象限 D、第一、三、四象限
2、一次函数y=6x＋1的图象不经过（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
例题3：已知一次函数的图像如图所示，则、的取值范围是（ ）
A、＞0，＜2 B、＞0，＞2 C、＜0，＜2 D、＜0，＞2
随堂练习：已知关于x的一次函数的图象如图所示，则可化简为 。
例题4：已知一次函数y=kx+b的图像经过二四象限，如果函数上有点，如果满足，那么 。

3、待定系数法求解函数的解析式
（1）一次函数的形式可以化成一个二元一次方程，函数图像上的点满足函数的解析式，亦即满足二元一次方程。
（2）两点确定一条直线，因此要确定一次函数的图像，我们必须寻找一次函数图像上的两个点，列方程组，解方程，最终求出参数。
例题5：已知：一次函数的图象经过M(0，2)，(1，3)两点。
（1）求k、b的值；
（2）若一次函数的图象与x轴的交点为A（a，0），求a的值。

随堂练习：
1、直线一定经过点（ ）。
A、(1，0) B、(1，k) C、(0，k) D、(0，－1)
2、若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m﹣n的值是（　　）
A、2 B、-2 C、1 D、-1
3、一次函数的图象与轴的交点坐标是（ ）
A、（0，4） B、（4，0） C、（2，0） D、（0，2）
4、已知一次函数图象过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为，求此一次函数的解析式。

4、一次函数与方程、不等式结合
（1）一次函数中的比较大小问题，主要考察
（2）一次函数的交点问题：求解两个一次函数的交点，只需通过将两个一次函数联立，之后通过解答一个二元一次方程组即可。
例题1：已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式的解集为（ ）
A、x<－1 B、x> -1 C、x>1 D、x<1
随堂练习：
1、若直线与直线的交点在第三象限，则的取值范围是（ ）
A、　 B、 C、或　 D、
2、结合正比例函数y=4x的图像回答:当x>1时,y的取值范围是( )
A、y=1 B、1≤y<4 C、y=4 D、y>4
例题2：在同一平面直角坐标系中，若一次函数图象交于点，则点的坐标（ ）
A、（-1，4） B、（-1，2） C、（2，-1） D、（2，1）

y
x
l1
L2
P
O
-2
3

随堂练习：如图，一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P,则方程组的解是（ ）
A、 B、　 C、 D、

例题3：如图，直线y=kx+b经过A（3,1）和B（6,0）两点，则不等式0＜kx+b＜的解集为________。
随堂练习：如图，已知函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x＋b＞ax－3的解集是　　 　　。

5、一次函数的基本应用问题
例题1：如图,正方形ABCD的边长为a,动点P从点A出发,沿折线A→B一D→ C→A的路径运动,回到点A时运动停止.设点P运动的路程长为x，AP长为y,则y关于x的函数图象大致是( )

随堂练习：如图3，直角梯形AOCD的边OC在轴上，O为坐标原点，CD垂直于轴，D（5,4），AD=2.若动点同时从点O出发，点沿折线运动，到达点时停止；点沿运动，到达点时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度。设运动秒时，△的面积为（平方单位），则关于的函数图象大致为（　　　　）

例题2：某景区的旅游线路如图1所示，其中A为入口，B，C，D为风景点，E为三岔路的交汇点，图1中所给数据为相应两点间的路程（单位：km）．甲游客以一定的速度沿线路“A→D→C→E→A”步行游览，在每个景点逗留的时间相同，当他回到A处时，共用去3h．甲步行的路程s（km）与游览时间t（h）之间的部分函数图象如图2所示．
（第2题）
图2
0．8
O
s/(km)
t/(h)
1．8
1．6
3
2．6
1
2
3
4
A
1
D
C
B
E
0．8
0．4
1．3
图1

（1）求甲在每个景点逗留的时间，并补全图象；
（2）求C，E两点间的路程；
（3）乙游客与甲同时从A处出发，打算游完三个景点后回到A处，两人相约先到者在A处等候， 等候时间不超过10分钟．如果乙的步行速度为3km/h，在每个景点逗留的时间与甲相同，他们的约定能否实现？请说明理由。
随堂练习：煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划。某煤矿现有1000吨煤炭要全部运往A、B两厂，通过了解获得A、B两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用）：
厂别
运费（元/）
路程（）
需求量（）
A
0.45
200
不超过600
B

150
不超过800
（1）写出总运费（元）与运往厂的煤炭量（）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费（可用含的代数式表示）

例题3：如图，直线y=kx-6经过点A（4，0），直线y=-3x+3与x轴交于点B，且两直线交于点C。
（1）求k的值；
（2）求△ABC的面积。

随堂练习：如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，b)(b>0)． P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'（点P'不在y轴上），连结PP'，P'A，P'C．设点P的横坐标为a．
（1）当b＝3时，①求直线AB的解析式； ②若点P'的坐标是(-1，m)，求m的值；
（2）若点P在第一象限，记直线AB与P'C的交点为D． 当P'D：DC=1：3时，求a的值；
（3）是否同时存在a，b，使△P'CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由。.

二、反比例函数及其基本性质
1、反比例函数的基本形式
一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成

2、反比例函数中比例系数的几何意义
（1）过反比例函数图像上一点，向x轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k的绝对值的一半。
（2）正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y=（k＞0）的图像交于A、B两点，过A点作AC⊥x轴，垂足是C，三角形ABC的面积设为S，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k1无关。
（3）正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y=（k＞0）的图像交于A、B两点，过A点作AC⊥x轴，过B点作BC⊥y轴，两线的交点是C，三角形ABC的面积设为S，则S=2|k|，与正比例函数的比例系数k1无关。
例题1：点P是x轴正半轴上的一个动点，过P作x轴的垂线交双曲线于点Q，连续OQ，当点P沿x轴正方向运动时，Rt△QOP的面积（ ）
A、逐渐增大 B、逐渐减小 C、保持不变 D、无法确定
例题2：如图，双曲线与⊙O在第一象限内交于P、Q 两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 。

随堂练习：
1、如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上。若点A的坐标为（－2，－2），则k的值为
A、1 B、－3 C、4 D、1或－3
2、如图所示，在反比例函数的图象上有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为则 。
3、如图,直线和双曲线交于A、B亮点,P是线段AB上的点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC面积是S1、△BOD面积是S2、△POE面积是S3、则（ ）
A、S1＜S2＜S3 B、 S1>S2>S3 C、S1=S2>S3 D、S1=S2是（如图所示）

随堂练习：一次函数与反比例函数的图像在同一平面直角坐标系中是（ ）

例题2：如图，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果为反比例函数在第一象限图象上的点（点与点不重合），且点的横坐标为1，在轴上求一点，使最小.

随堂练习：如图，直线y=2x﹣6与反比例函数的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B．
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）在x轴上是否存在点C，使得AC=AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

例题3：已知一次函数y1x－1和反比例函数y2=的图象在平面直角坐标系中交于A、B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是( )．
A、x＞2 B、－1＜x＜0 C、x＞2，－1＜x＜0 D、x＜2，x＞0

随堂练习：
1、如图，反比例函数y1=和正比例函数y2=k2x 的图象交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，若＞k2x，则x的取值范围是
A、-1＜x＜0 B、-1＜x＜1 C、x＜-1或0＜x＜1 D、-1＜x＜0或x＞1

2、点A（x1,y1）,B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函数y=的图象上，若x1于A、B两点，.已知当时，；当时，.

（1）求一次函数的解析式；
（2）已知一次函数在第一象限上有一点C到轴的距离为3，求△ABC的面积。

例题2：如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于x轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为________．

随堂练习：如图，M为双曲线上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线于D、C两点，若直线与y轴交与点A，与x轴交与点B，则AD·BC的值为 。

专题二 二次函数
一、二次函数的基本性质以及二次函数中三大参数的作用
1、二次函数的解析式及其求解
一般的，形如的函数叫做二次函数，其中，x是自变量，分别为二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）一般式：。已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：。已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
（4）对称点式：已知图像上有两个关于y轴对称的点，那么函数的方程可以选用对称点式，代入已知的另外的点就可以求出函数的方程来了。
例题1：根据题意，求解二次函数的解析式。
（1）求过点A(1,0)，B(2,3)，C(3,1)的抛物线的方程
（2已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式．
（3）已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。
（4）已知二次方程的两个根是-1和2，而且函数过点（3,4），求函数的解析式。
（5）已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式.
（6）已知二次函数当x＝2时有最大值3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
随堂练习：
1、已知二次函数的图像经过点A(2,1),B(3,4),且与y轴交点为（0，7），则求函数的解析式
2、已知过点（20），（3，5）的抛物线与直线相交与x轴上，求二次函数的解析式
3、已知二次函数，其顶点为（2,2)，图象在x轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。
4、已知函数的过点(1,3),且函数的对应方程的根是2和4，求方程的解
5、抛物线的对称轴是直线（ ）
A、 B、 C、 D、
2、二次函数的基本图像
（1）二次函数的图像：一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点。当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。
（2）二次函数的图像：当a>0时开口向上；当a<0时，开口向下；对称轴是直线x=h；顶点坐标是（h，k）。
（3）二次函数与图像的关系：一般地，抛物线与形状相同，位置不同。把抛物线向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线。平移的方向、距离要根据h，k的值来决定。
（4）二次函数的图像：一般地，我们可以用配方法求抛物线的顶点与对称轴。，因此，抛物线的对称轴是，顶点坐标是。
例题1：把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（ ）
A、y=3(x+3)2－2 B、y=3(x+3)2+2 C、y=3(x－3)2－2 D、.y=3(x－3)2+2
例题2：已知函数y=ax2+bxc的图象如图，那么函数解析式为（ ）

A、y=－x2+2x+3 B、y=x2－2x－3 C、y=－x2－2x+3 D、y=－x2－2x－3
例题3：已知抛物线的解析式为y＝(x－2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是（　　）
A、(－2,1) B、(2，1) C、(2，－1) D、(1，2)
随堂练习：
1、在同一平面直角坐标系内，将函数的图象沿轴方向向右平移2个单位长度后再沿轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是（ ）
A、（，1） B、（1，） C、（2，） D、（1，）
2、将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=的图像经过B、C两点．
（1）求该二次函数的解析式； （2）结合函数的图像探索：当y>0时x的取值范围。

例题4：关于x的二次函数y=x2－2mx+m2和一次函数y=－mx+n（m≠0），在同一坐标系中的大致图象正确的是（ ）

随堂练习：
1、二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过（ ）

A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限 C、第二、三、四象限 D、第一、三、四象限
2、函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
A、 B、 C、 　　　　D、

3、二次函数的增减性及其最值
（1）开口向上的二次函数，在对称轴左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；在对称轴处取到最小值，越靠近对称轴，函数值越小。
（2）开口向下的二次函数，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；在对称轴处取到最大值，越靠近对称轴，函数值越大。
例题1：二次函数的图象如图2所示，若点A1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A、 B、 C、 D、不能确定

例题2：设A是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ）
A、 B、 C、 D、
随堂练习：已知二次函数y＝－x 2－7x＋，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是( )
A、y1＞y2＞y3 B、 y1＜y2＜y3 C、y2＞y3＞y1 D、 y2＜y3＜y1
4、二次函数中三大参数的和函数图像的关系
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样。
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线的对称轴是直线,故：
①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时,对称轴在轴右侧。
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置。
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴。
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立；如抛物线的对称轴在轴右侧，则 。
例题1：已知二次函数（）的图象如图4所示，有下列四个结论：
④，其中正确的个数有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

例题2：已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0。其中，正确结论的个数是(　 )。
A、1　　　 　 B、2　　 　　 C、3　　　 　 D、4
随堂练习：
1、已知二次函数(其中，，)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧。以上说法正确的有(　 )．
A、0个　　　　　B、1个　　　　　 C、2个　　　　 D、3个
2、已知二次函数的图象如图所示对称轴为。下列结论中，正确的是（ ）
A、abc>0 B、a+b0 C、2b+c>0 D、4a十c<2b
3、已知二次函数的图象如图所示，则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a-2b+c，2a+b，2a-b中，其值大于0的个数为(　 )
A、2　 　　　B、3　　　　 　C、4　　　　　D、5

5、二次函数和不等式、方程的结合
（1）二次函数的零点的个数以及求解：通过判断的正负可以得到二次函数零点的个数，注意，前提是需要注意一个函数是否为二次函数，需要判断二次项次数是否为零，其中。
（2）二次函数和不等式的结合：在x轴上方，则函数大于零；在x轴下方，则函数小于零；在直线上方，说明；在直线下方，则说明
例题1：如图，已知抛物线y1=－2x2＋2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2.若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M= y1=y2。例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0。下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是 或 .
其中正确的是 ( )
A、 ①② B、①④ C、②③ D、③④

x
y
O

y2
y1

例题2：二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则m的最大值为（ ）
A、-3 B、3 C、-5 D、9
例题3：设二次函数，当时，总有；当时，总有。那么的取值范围是
A、 B、 C、 D、
随堂练习：
1、如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是
A、 B、 C、 D、

2、如图所示是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式的解集是 。
3、对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数(m为实数)的零点的个数是( )
A、1 　 　　B、2 　　 　C、0　　 　 D、不能确定
二、二次函数的基本应用
1、二次函数求解最值问题
例题1：某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。
（1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系；
（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为
， 1≤ x ≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？

随堂练习：
1、新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线。由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12

（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；
（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；
（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？

2、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数每个月的销售利润为元．
（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

2、二次函数中的面积问题
例题1：某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．
（1）求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；
（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？

随堂练习：如图所示，在一个直角△MBN的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（ ）
A、m B、6 m C、15 m D、m

例题2：如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象，则阴影部分的面积是 。

例题3：如图，直线分别与轴、轴交于两点，直线与交于点，与过点且平行于轴的直线交于点．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴向左运动．过点作轴的垂线，分别交直线于两点，以为边向右作正方形，设正方形与重叠部分（阴影部分）的面积为（平方单位）．点的运动时间为（秒）．
（1）求点的坐标；
（2）当时，求与之间的函数关系式；
（3）求（2）中的最大值；
（4）当时，直接写出点在正方形内部时的取值范围．
y
x
D
N
M
Q
B
C
O
P
E
A

随堂练习：
1、如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点PQ分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求△PBQ的面积的最大值.

2、如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________________．

3、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，﹣）．
（1求抛物线的函数解析式及点A的坐标；
（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；

4、如图，已知直线交坐标轴于两点，以线段为边向上作正方形，过点的抛物线与直线另一个交点为．
（1）请直接写出点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止．设正方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；
（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积。
O
A
B
C
D
E
y
x

备用图

3、涵洞桥梁隧道问题
例题1：如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米. 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求这条抛物线的解析式；
（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

随堂练习：
1、如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴y轴建立平面直角坐标系，
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系。
h=－（0≤t≤40）且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

2、一座拱桥的轮廓是抛物线型（如左图所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m。
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如右图所示），求抛物线的解析式；
（2）求支柱的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计)）？请说明你的理由。

4、二次函数和圆相结合
例题1：如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点。抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长；
（3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由。
O
x
y
N
C
D
E
F
B
M
A

随堂练习：如图，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点。
（1）求与轴的另一个交点D的坐标；
（2）如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值。

三、二次函数中的运动性问题
1、动点问题
注意动的点以及其所构成的位置关系。一般而言会有两个到三个点运动。此时需要我们注意这几个点之间的关系以及各个点之间的运动的不同。
例题1：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。

随堂练习：如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D。
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m。
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系。

例题2：已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为，直线与边BC相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）抛物线经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；
（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

随堂练习：已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B。
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线 y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N． 将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN。在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式。

例题3：如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
①当线段时，求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

随堂练习：如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上一动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l解析式。

例题4：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点