集合含义与表示、集合基本关系讲解.doc

教师辅导讲义

年 级： 辅导科目： 数学 课时数：3
学生姓名： 教师姓名： 上课日期：
课 题
集合的含义及表示、集合的基本关系
教学目的
1．了解集合的概念及表示，理解集合中元素的三个性质；
2．理解子集及真子集的定义；
3．理解集合相等的定义，并能用其解题．
教学内容
一、上节课作业检查及纠错

二、上节课内容再现
三、巩固练习
四、知识点梳理
（一）集合的含义及表示
1．集合及元素的含义：一般地，指定的某些对象的全体称为集合，其中每一个对象叫元素．
2．表示：集合用大括号或大写字母表示，元素用小写字母表示．
3．常见数集：非负整数集（即自然数集）
正整数集或
整数集
有理数集
实数集
4．元素三性质：确定性、互异性、无序性．
5．集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
6．集合的分类：按元素个数分有限集和无限集，按元素属性分数集、点集、图像集．
7．空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作．

（二）子集及性质
1．子集：一般地，对于两个集合及，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，则集合是集合的子
集，记作，读作包含于或包含；不是的子集，记作，读作不包含于或不
包含．
2．真子集：对于集合及，如果并且，则集合是集合的真子集．
3．性质：（1）空集是任何集合的子集，即．（若，必须考虑是空集的情况）
（2） 空集是任何非空集合的真子集。
（3） 传递性：，．
（4） ，．（证两集合相等用此）
五、例题讲解
类型一 集合的含义及表示
【例1】已知，且，求实数的值．

【例2】用描述法表示下列集合．
（1）{0，2，4，6，8}；
（2）{3，9，27，81，…}；
（3）；
（4）被5除余2的所有整数的全体构成的集合．

【例3】设表示集合，表示集合，若已知，且，求实数的值．

【例4】已知集合．
（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

类型二 集合的基本关系
【例5】设集合，，且，求．

【例6】已知，，若，求实数的取值范围．

【例7】已知，，当时，求实数的取值范围．

【例8】，，，求：
（1）使的的值；
（2）使，成立的的值；
（3）使成立的的值．

【例9】已知集合，满足，求所取的一切值．

六、课堂练习
（一）选择题
1．方程组的解集是（）
A．B．{x，＝3且y＝－7}
C．{3，－7}D．{（x，y）＝3且y＝－7}
2．集合的元素个数为（）
A．4　　 B．5C．10 D．12
3．集合{一条边长为2，一个角为30°的等腰三角形}，其中的元素个数为（）
A．2 B．3C．4 D．无数个
4．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合为M，则下列判断中正确的是（）
A．0MB．－4MC．2∈MD．4∈M
5．在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为（）
A．
B．
C．
D．
6．集合的意义是（　　）
A．第二象限内的点集B．第四象限内的点集
C．第二、四象限内的点集D．不在第一、三象限内的点的集合
7．方程组的解构成的集合是（　　）
A．（5，4） B．{5，－4}C．{（－5，4）} D．{（5，－4）}
8．集合中的三个元素是△的三边长，那么△一定不是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形
9．设，集合，则等于（　　）
A．1 B．－1C．2 D．－2
10．设集合，，若集合，则集合P中元素个数为（　　）
A．3个 B．6个C．9个 D．8个
11．集合，，集合满足，．则满足条件的集合的个数是（　　）
A．8 B．2C．4 D．1
12．设集合，，则（　　）
A．B．C．D．及的关系不确定
13．集合的真子集的个数是（　　）
A．16 B．8 C．7 D．4
14．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是（　　）

15．如果集合满足{0，2}⊆{－1，0，1，2}，则这样的集合A个数为（　　）
A．5 B．4C．3 D．2
（二）填空题
16．设都是非零实数，可能取的值组成的集合是．
17．已知，且，则的值为．
18．对于集合，若，则，那么的值为．
19．给出下面三个关系式：其中正确的个数是．
20．集合，则集合中元素的个数是．
21．设A＝{正方形}，B＝{平行四边形}，C＝{四边形}，D＝{矩形}，E＝{多边形}，则A、B、C、D、E之间的关系
是．
22．集合，，则集合及集合的关系为．
23．用适当的符号填空．（，，，，，，＝）
{b，a}；{（a，b）}；{a，b，c}{a，b}；
{2，4}{2，3，4}；{a}．
24．已知集合，，．则集合
满足的关系是（用，，＝，，中的符号连接A，B，C）．
25．设是整数集的一个非空子集，对于，如果，那么是的一个“孤立元”．给定S＝{1，2，3，
4，5，6，7，8}，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．

（三）解答题
26．用列举法表示集合．
（1）平方等于16的实数全体；
（2）比2大3的实数全体；
（3）方程x2＝4的解集；
（4）大于0小于5的整数的全体．

27．判断如下集合及之间有怎样的包含或相等关系．
（1），；
（2），．

28．已知集合，，要使，求满足条件的
集合．

29．设，，则及应具有何种关系？

30．已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，
就变为A的一个子集，若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C．

七、课堂小结

八、家庭作业
（一）选择题
1．对于集合，，“”不成立的含义是（　　）
A．是的子集B．中的元素都不是的元素
C．中至少有一个元素不属于D．中至少有一个元素不属于
2．集合，，那么（　　）
A．PMB．C．M＝PD．
3．设集合，，，，则集合中元素最少有（　　）
A．2个 B．4个C．5个 D．6个
4．若集合，且，则满足条件的实数的个数是（　　）
A．1 B．2C．3 D．4
5．已知集合和集合，则两个集合间的关系是（　　）
A．B．C．M＝PD．M、P互不包含
6．下面四个命题1）集合中的最小元素是1：（2）若，则；（3）的解集为{2，2}；
（4）0.7，其中不正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．下列各组集合中，表示同一集合的是（　　）
A．B．
C．， D．
8．下列方程的实数解的集合为的个数为（　　）
（1）；（2）；
（3）；（4）．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．集合，， ，
其中是空集的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列关系中表述正确的是（　　）
A． B．C． D．
11．下列表述正确的是（　　）
A．B． C．D．
12．下面四个命题：（1）集合中的最小元素是1；（2）方程的解集含有3个元素；
（3）（4）满足的实数的全体形成的集合．其中正确命题的个数是（　　）
A．0 B． 1 C． 2 D．3
（二）填空题
13．将集合用列举法表示为．
14．已知，，则＝．
15．对于集合，若，则，那么的值是．
16．用列举法表示不等式组的整数解集合为．
17．已知集合用列举法表示集合为．
18．已知集合，又列举法表示集合为．
（三）解答题
19．集合，写出的真子集．

20．集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）当时，求的非空真子集个数；
（3）当时，没有元素使及同时成立，求实数的取值范围．

参考答案
五、例题讲解
类型一 集合的含义及表示
【例1】解：或．
或．
但当时，，及集合中元素的互异性矛盾．
．
【例2】解：（1）{x∈0≤x<10，且x是偶数}．
（2）{＝3n，n∈}．
（3）{＝，n∈}．
（4）{＝5n＋2，n∈Z}．
【例3】解：∵，且
∴
即
∴a＝－4．
【例4】解：（1）∵A中有两个元素，∴关于x的方程2－3x－4＝0有两个不等的实数根，
∴，即a>－且a≠0．
（2）当a＝0时，A＝{－}；当a≠0时，关于x的方程2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，
∴Δ＝9＋16a≤0，即a≤－．
故所求的a的取值范围是a≤－或a＝0．

类型二 集合的基本关系
【例5】解法一：∵A＝B，∴或
解方程组，得或或a＝1，b为任意实数．
由集合元素的互异性得a≠1，
∴a＝－1，b＝0，故＝1．
解法二：由A＝B，可得
即
因为集合中的元素互异，所以a≠0，a≠1．
解方程组得，a＝－1，b＝0．故＝1．
【例6】解：如图

∵，∴a＋4≤－1或者a＞5．
即a≤－5或a＞5．
【例7】解：∵A＝{<－1或x>2}，B＝{4x＋a<0}＝{<－}，
∵A⊇B，∴－≤－1，即a≥4，∴a的取值范围是a≥4．
【例8】解：（1）∵A＝{2，3，4}，∴x2－5x＋9＝3．
解得x＝2或3
（2）若2∈B，则x2＋＋a＝2．
又，所以x2－5x＋9＝3得x＝2或3，
将x＝2或3分别代入x2＋＋a＝2中得a＝－或－．
（3）若B＝C，则
①－②，得x＝a＋5．
代入①解得a＝－2或－6．此时x＝3或－1．

【例9解：因{26=0}={2，-3}，
当0时，{1=0}=，成立．
又当a≠0时，{1=0}={}，要成立，
则有=2或3，或．
综上所述，0或或．
六、课堂练习
1．D
解析：解方程组得
用描述法表示为{（x，y）＝3且y＝－7}，用列举法表示为{（3，－7）}，故选D．
2．D
解析：12能被x＋3整除．∴y＝±1，±2，±3，±4，±6，±12，相应的x的值有十二个：9，－15，3，－9，1，－7，
0，－6，－1，－5，－2，－4．故选D．
3．C
解析：两腰为2，底角为30°；或两腰为2，顶角为30°；或底边为2，底角为30°；
或底边为2，顶角为30°．共4个元素，因此选C．
4．D
解析：a、b、c皆为负数时代数式值为－4，a、b、c二负一正时代数式值为0，a、b、c一负二正时代数式值为0，
a、b、c皆为正数时代数式值为4，∴M＝{－4，0，4}．
5．C
解析：在x轴上的点（x，y），必有y＝0；在y轴上的点（x，y），必有x＝0，∴＝0．
6．D
解析：∵≤0，∴＜0或＝0．
当＜0时，则有或，点（x，y）在二、四象限，
当＝0时，则有x＝0或y＝0，点（x，y）在坐标轴上，故选D．
7．D
解析：首先A，B都不对，将x＝5，y＝－4代入检验知是方程组的解．∴选D．
8．D
解析：由集合元素的互异性知，a、b、c两两不等．

9．C
解析：∵{1，a＋b，a}＝{0，，b}，
∴a≠0，∴a＋b＝0，∴a＝－b，∴＝－1，
∴a＝－1，b＝1，∴b－a＝2．故选C．
10．D
解析：解法一：x∈A，对于x的每一个值，y都有3个值及之对应，但由于x≠y，∴x＝1，y＝1，不合题意，
故共有3×3－1＝8个．
解法二：可用列举法一一列出：
P＝{（0，－1），（0，1），（0，3），（1，－1），（1，3），（2，－1），（2，1），（2，3）}．
11．C
解析：∵A⊆B，A⊆C，∴集合A中的元素只能由a或b构成．∴这样的集合共有22＝4个．
即：A＝，或A＝{a}，或A＝{b}或A＝{a，b}．
12．B
解析：解法一：用列举法，令k＝－2，－1，0，1，2…可得
M＝{…－，－，，，…}，N＝{…0，，，，1…}，
∴，故选B．
解法二：集合M的元素为：x＝＋＝（k∈Z），集合N的元素为：x＝＋＝（k∈Z），而2k＋1为奇
数，k＋2为整数，∴，故选B．
13．C
解析：因为0≤x<3，x∈N，∴x＝0，1，2，即A＝{0，1，2}，所以A的真子集个数为23－1＝7．
14．B
解析：由N＝{2＋x＝0}＝{－1，0}得，，选B．
15．C
解析：集合A里必含有元素0和2，且至少含有－1和1中的一个元素，
故A＝{0，2，1}，{0，2，－1}或{0，2，1，－1}．
16． 17． 18．2或4 19．2 20．3 21．
22．
解析：P＝{＝a2－4a＋5，a∈N*}＝{＝（a－2）2＋1，a∈N*}
∵a∈N*，∴a－2≥－1，且a－2∈Z，即a－2∈{－1，0，1，2，…}，而M＝{＝a2＋1，a∈N*}，∴．
23．，，，，
24．＝C
解析：由－＝＋，得b＝c＋1，∴对任意c∈Z有b＝c＋1∈Z．
对任意b∈Z，有c＝b－1∈Z，∴B＝C．
又当c＝2a时，有＋＝a＋，a∈Z．∴．也可以用列举法观察它们之间的关系．
25．6
解析：由题意，要使k为非“孤立元”，则对k∈A有k－1∈A．∴k最小取2．
k－1∈A，k∈A，又A中共有三个元素，要使另一元素非“孤立元”，则其必为k＋1．所以这三个元素为相邻的三个数．∴共有6个这样的集合．
26．解：（1）{－4，4}　（2）{5}　（3）{－2，2}　（4）{1，2，3，4}．
27．解：（1）因{21，k∈Z}，{21，m∈Z}，故A、B都是由奇数构成的，即．
（2）因{2m，m∈Z}，{4n，n∈Z}，又42·2n，
在2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在4n中，2n只能是偶数．
28．解：由{x∈2-34=0}=，{x∈（1）（x234）=0}={-1，1，-4}，
由知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为{1}或{-1}或{-4}或{-1，1}或{-1，-4}
或{1，-4}或{-1，1，-4}．
29．解：因{0，1}，{}，故x为，{0}，{1}，{0，1}，即{0，1}是B中一元素．故A∈B．
30．解：由题设条件知C⊆{0，2，4，6，7}，C⊆{3，4，5，7，10}，∴C⊆{4，7}，
∵，∴C＝{4}，{7}或{4，7}．
八、家庭作业
1．C
解析：“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素．不成立的含义是A中至少有一个元素不属于
B，故选C．
2．C
解析：由>0知x及y同号，又x＋y<0,
∴x及y同为负数．∴等价于∴M＝P．
3．C
解析：A＝{－1，1}，B＝{0，1，2，3}，∵A⊆C，B⊆C，
∴集合C中必含有A及B的所有元素－1，0，1，2，3，故C中至少有5个元素．
4．C
解析：∵B⊆A，∴x2∈A，又x2≠1，
∴x2＝3或x2＝x，∴x＝±或x＝0．故选C．
5．D
解析：由于两集合代表元素不同，因此M及P互不包含，故选D．
6．D7．B8．B9．B 10．D11．B12．C
13．{（2，4），（5，2），（8，0）}
解析：∵3y＝16－2x＝2（8－x），且x∈N，y∈N，
∴y为偶数且y≤5，
∴当x＝2时，y＝4，当x＝5时y＝2，当x＝8时，y＝0．
解析：当x＝1时，y＝1；x＝0时，y＝0；x＝－1时，y＝1；x＝2时，y＝2，∴B＝{1，0，2}．
14．{1，0，2}
15．2或4
解析：∵a∈A，∴a＝2或a＝4或a＝6，而当a＝2和a＝4时，6－a∈A，∴a＝2或a＝4．
16． 17． 18．
19．解：因-121即m<2时，满足．
当1≤21即m≥2时，要使成立，
需可得2≤m≤3．综上所得实数m的取值范围m≤3．
（2）当x∈Z时，{-2，-1，0，1，2，3，4，5}，
所以，A的非空真子集个数为2上标8-2=254．
（3）∵x∈R，且{2≤x≤5}，{1≤x≤21}，又没有元素x使x∈A及x∈B同时成立．
则①若B≠即1>21，得m<2时满足条件；
②若B≠，则要满足条件有：或解之，得m>4．
综上有m<2或m>4．

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