六年级数学人教版上下册知识点(全).pdf

六年级数学（人教版）上下册复习资料六年级数学（上册）第一单元分数乘法（一）分数乘法意义：1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的 简便运算。2、一个数乘分数的意义：表示求这个数的几分之几是多少。（求有一个数 的几分之几是多少，用乘法计算。）（二）分数乘法计算法则：1、分数乘整数的运算法则是：用分子乘整数的积作分子，分母不变。（1）为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分）（2）约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母 相乘，计算结果必须是最简分数）。2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分 母。（分子乘分子，分母乘分母）用字母表示为2x4二型（aWO,cW a c axeO）o（1）如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。（2）分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。（3）在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。（约分后分子和分母必须不再含有公 因数，这样计算后的结果才是最简单分数）。1（4）分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。3、小数乘分数的运算法则是：（1）把小数化成分数再计算；（2）分数能 化成有限小数的，也可以把分数化成小数再计算；（3）小数和分母能约分的，先约分，再计算，这样比较简便。（三）积与因数的关系：一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。aXb=c,当b 1时，ca。一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。aXb=c,当b1时，cl时，ca(a#0)除以小于1的数，商大于被除数：a4-b=c当ba(aWO bWO)除以等于1的数，商等于被除数：a4-b=c当b=l时，c=a三、分数除法混合运算1、混合运算用梯等式计算，等号写在第一个数字的左下角。2、运算顺序：连除：同级运算，按照从左往右的顺序进行计算；或者先把所有除法转化 成乘法再计算；或者依据“除以几个数，等于乘上这几个数的积”的简便方法计 算。力口、减法为一级运算，乘、除法为二级运算。混合运算：没有括号的先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面，再算 括号外面。(a+b)4-c=a4-cb4-c四、分数除法应用题一一用分数除法解决问题1、“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题的解题方法：(1)方程法找出单位“1”(未知)一找出题中的等量关系一设单位“1”为X,列 出方程并解答。(2)算术法找出单位“1”(未知)一用“已知量+已知量占单位”的几分之 几计算。2、“已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少，求这个数”的实际问 题的解题方法：根据题中的等量关系“单位的量X(1 几分之几)二已 5知量”或单位1，的量土单位1，的量X几分之几=已知量”，设单位“1”的量为X,列方程解答。（解题关键：找准单位“1”的量）3、“已知两个数的和（或差）及这两个数的倍数关系，求这两个数”的实 际问题的解法：（1）设其中一个数为X,根据两个数的倍数关系用含有X的式子表示另一 个数。（2）根据“两个数的和（或差）等于已知量”列方程。（3）解方程求出x的值，根据两个数的关系求出另一个数。4、用分数解决工程问题的解题方法与用整数解决工程问题的方法相同，所 用的数量关系也相同，即：工作总量二工作效率X工作时间工作效率=工作总量+工作时间工作时间二工作总量+工作效率（用分数解决工程问题时，把工作总量假设成1,用单位时间内完成工作总 量的几分之一来表示工作效率。）第四单元比一、比的基本概念1.比的定义两个数相除叫做两个数的比,表示两个数的关系，可以写成比或分数的形式。比号 仁）前面的数叫前项，后面的数叫后项，比号相当于除号，前项除以后项 的商叫比值。62.比的读法例如，12口20读作:12比20；连比如3口4口5读作：3比4比5。3.比和比值的区别比是一个式子，比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数或小数。二、比的基本性质比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。三、化简比化简后的结果还是一个比，不是一个数。1.用前项和后项同时除以它们的最大公约数。2.两个分数的比，用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比 的方法来化简，也可以求出比值再写成比的形式。3,两个小数的比，向右移动小数点的位置，先化成整数比。四、求比值把比号写成除号再计算，结果是一个数（或分数），相当于商，不是比。五、比和除法、分数的联系与区别联系1.比与除法：比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。例如，aDb=a-bo2.比与分数：比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。例如，aDb=a/bo73.除法与分数：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相当于分母，商相当于分数值。例如，a-b=a/bo区别项目比除法分数意义表示两个数相除的一种运算一个数关系组成部分前项、比号、后项被除数、除号、除数分子、分数线、分母基本性质比的前项和后项同被除数和除数同时分子和分母同时乘或时乘或除以相同的乘或除以相同的数除以相同的数（0除数（0除外），比值（0除外），商不变外），分数值不变不变结果比值（可以是整数、商（可以是整数、小分数值（可以是整数小数或分数）数或分数）或分数）六、比的应用分数应用题基本数量关系（把分数看成比）1.甲是乙的几分之几？甲=乙X几分之几，乙=甲+几分之几，几分之几=甲乙。2.甲比乙多（少）几分之几？按比例分配把一个量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。8解题方法1.把比的各项之和看作平均分的份数，先求出每份是多少，再解答。解题步骤：求出总份数T求出每份数是多少T求出各部分量。2.转化成分数乘法来解答。解题步骤：求出总份数一求出各部分量占总量的几分之几一求出各 部分量。画线段图1.找出单位“1”的量，先画出单位“1”，标出已知和未知。2.分析数量关系。3,找等量关系。4.列方程。两个量的关系画两条线段图。部分和整体的关系画一条线段图。9第五单元圆一、圆的特征1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形。2、圆的特征：外形美观，易滚动。3、圆心0：圆中心的点叫做圆心.圆心一般用字母0表示。圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。半径广连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆里，有无数 条半径，且所有的半径都相等。半径确定圆的大小。直径d：通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆里，有无数 条直径，且所有的直径都相等。直径是圆内最长的线段。同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r或r=d-24、等圆：半径相等的圆叫做同心圆，等圆通过平移可以完全重合。同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。5、圆是轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完 全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角。有二条对称轴的图形：长方形有三条对称轴的图形：等边三角形有四条对称轴的图形：正方形有无条对称轴的图形：圆，圆环6、画圆(1)圆规两脚间的距离是圆的半径。(2)画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。g二、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。1、圆的周长总是直径的三倍多一些。2、圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母兀 表不O即：圆周率几二周长小直径73.14所以，圆的周长（c）二直径（d）X圆周率（兀）周长公式：c=rd,c=2 n r圆周率兀是一个无限不循环小数，3.14是近似值。3、周长的变化的规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周长扩大的倍 数与半径、直径扩大的倍数相同。4、半圆周长二圆周长一半+直径二 五r+d三、圆的面积s1、圆面积公式的推导如图把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像 越接近长方形。圆的半径二长方形的宽圆的周长的一半二长方形的长长方形面积二长X宽所以：圆的面积二圆的周长的一半（几r）X圆的半径（r）S 圆=n r X r=n T2112、几种图形，在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长方形的周长最长；反 之，在周长相等的情况下，圆的面积则最大，而长方形的面积则最小。周长相同时，圆面积最大，利用这一特点，篮子、盘子做成圆形。3、圆面积的变化的规律：半径扩大多少倍,直径、周长也同时扩大多少倍，圆面 积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。4、两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环，也叫做环形。环形面积S二大圆-小圆二n R2-r=2或 S=n(R2-r2)四、扇形：1、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。在同圆或等圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形就越大。由两条半径组成，顶点在圆心的角叫做圆心角。扇形的大小与圆心角有关，也与所在圆的半径有关。2、画扇形的方法：(1)先画一个指定半径的圆，再在圆中任意画一条半径；(2)以圆心为顶点，以画好的半径为边，画一个指定度数的角，使角的另 一条边与圆相交于一点。这两条半径与指定度数的圆心角所对应的弧围成的图形 就是要画的扇形。3、扇形的弧长二扇形所在圆的周长+360。X扇形圆心角的度数，字母 公式为L二妈X n=JLnr(n为扇形圆心角的度数)弧 360 18012扇形的周长二扇形的弧长+半径X 2,字母公式为C=2Lnr+2r。扇 180（n为扇形圆心角的度数）扇形面积二兀肾*n+360。（n表示扇形圆心角的度数）4、跑道：每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道 的和。因为两条直跑道长度相等，所以，起跑线不同，相邻两条跑道起跑线也不 同，间隔的距离是：2 X n X跑道宽度。5、圆的周长变化规律：一个圆的半径增加a厘米，周长就增加2兀a厘米。一个圆的直径增加b厘米，周长就增加兀b厘米。6、任意一个正方形的内切圆即最大圆的直径是正方形的边长，它们的面积 比是4：几o第六单元百分数（一）一、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数又叫百分比或百 分率，百分数不能带单位。注意：百分数是专门用来表示一种特殊的倍比关系的，表示两个数的比。1、百分数和分数的区别和联系：（1）联系：都可以用来表示两个量的倍比关系。（2）区别：意义不同：百分数只表示倍比关系，不表示具体数量，所以不 能带单位。分数不仅表示倍比关系，还能带单位表示具体数量。百分数的分子可 以是小数，分数的分子只可以是整数。百分数不可以约分，分数一般能通过约分 化成最简分数。注意：百分数在生活中应用广泛，所涉及问题基本和分数问题相同，分母是 100的分数并不是百分数，必须把分母写成“”才是百分数，所以“分母是100 的分数就是百分数”这句话是错误的。“”的两个0要小写，不要与百分数前 面的数混淆。一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米 率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%O 一般出粉 率在70%、80%,出油率在30%、40%O2、小数、分数、百分数之间的互化（1）百分数化小数：小数点向左移动两位，去掉。（2）小数化百分数：小数点向右移动两位，添上。（3）百分数化分数：先把百分数写成分母是100的分数，然后再化简成最 简分数。（4）分数化百分数：分子除以分母得到小数，（除不尽的保留三位小数）然后化成百分数。（5）小数化分数：把小数写成分母是10、100、1000等的分数再化简。（6）分数化小数：分子除以分母二、百分数应用题1、求常见的百分率，如：达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百 分率就是求一个数是另一个数的百分之几。2、求一个数比另一个数多（或少）百分之几，实际生活中，人们常用增加 了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。求甲比乙多百分之几：（甲-乙）小乙求乙比甲少百分之几：（甲-乙）小甲3、求一个数的百分之几是多少。一个数（单位“1”）X百分率4、已知一个数的百分之几是多少，求这个数。部分量小百分率二一个数（单位“1”）5、百分数应用题型分类（1）求甲是乙的百分之几一一（甲小乙）X100%二百分之几（2）求甲比乙多百分之几（甲-乙）小乙X100%（3求甲比乙少百分之几（乙-甲）小乙X100%6、在解答“已知一个数的两次增减变化幅度，即先减少（或增加）百分之 几，再增加（或减少）百分之几，求最后变化幅度”的问题时，可以用假设法,把单位“1”设为一个具体数或1来解答。按1解答时，最后的变化幅度为1与“1 X（1-减少幅度）X（1+增加幅度）”或“1 X（1+增加幅度）X（1-减少幅度）”的差除以1所得的百分数。7、“已知比一个数多（或少）百分之几的数是多少，求这个数”的解题方 法可以根据单位1的量土单位1 X增减幅度二比较量”列方程解答；也可以根据“比较量小（1 土增减幅度）”列式解答。第七单元扇形统计图1、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数 之间关系，也就是各部分数量占总数的百分比，因此也叫百分比图。2、常用统计图的优点：（1）条形统计图直观显示每个数量的多少。15(2)折线统计图不仅直观显示数量的增减变化，还可清晰看出各个数量的多少。(3)扇形统计图不仅可以直观地比较出各部分数量的相对大小，而且能直 观、清楚地表示出各部分数量和总数之间的关系。第八单元数学广角-数与形2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=(110)规律：从2开始的n个连续偶数的和等于nX(n+l)。10X(10+1)=10X11=1101=1=11+3=22=(4)1+3+5=31+3+5+7=4216)1+3+5+7+9=5=(25)1+3+5+7+9+11=62=(36)1+3 45 47+9+11+13=7=(49)1+3+5+7+9+11+13+15=82=(64)1+3+5 斗 7+9+11+13 4 15+17=92=)1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102=(100)从1开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。石六年级数学（下册）第一单元负数1、负数的由来：为了表示相反意义的两个量（如盈利亏损、收入支出），光有学过 的0、1、3.4、2/5是远远不够的,所以出现了负数。以盈利为正、亏损为负；以收入为正、支出为负。2、负数:小于0的数叫负数（不包括0）数轴上0左边的数叫做负数。若一个数小于0,则称它是一个负数。负数有无数个，其中有（负整数，负分数和负小数）负数的写法：写负数时，一定要写出“一”号。读负数时，也一定要读出“负”字。例如：-2,-5.33,-45,-2/53、正数:大于0的数叫正数（不包括0）,数轴上0右边的数叫做正数。若一个数大于0,则称它是一个正数。正数有无数个，其中有（正整数，正 分数和正小数）。正数的写法：写正数时，带“+”或省略“+”两种形式都可以，但是读正数 时，带“+”的，一定要读出“正”字；省略“+”的，这个“正”字就不读出来。例如：+2,5.33,+45,2/54、0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界点。根据正、负数和0的意义，可以把数分为正数、0和负数三类。负数都小于0,正数都大于0,负数都比正数小，正数都比负数大。5、在直线上表示正数、0和负数：（1）用直线上的点表示数时，要先确定好0的位置，并规定哪个方向为正。（2）正数、0和负数都可以用直线上的点表示出来。（3）用有正数和负数的直线可以表示距离和相反的方向。6、比较两数的大小：利用数轴：负数0正数或左边右边利用正负数含义：正数之间比较大小，数字大的就大，数字小的就小。负 数之间比较大小，数字大的反而小，数字小的反而大。第二单元百分数（二）（一）折扣和成数1、折扣：商店有时降价出售商品，叫做打折扣销售，俗称“打折”。几折就是十分之几也就是百分之几十；几几折表示百分之几十几。例如：打“九折”就是按原价的90%出售，打“六五折”就是按原价的65%出售。解决打折的问题，关键是先将打的折数转化为百分数或分数，然后按照求比 一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答。商品现在打八折：现在的售价是原价的80%商品现在打六折五：现在的售价是原价的65%与折扣有关的实际问题的解题方法：（1）已知原价和折扣，求现价：现价二原价X折扣（2）已知原价和折扣，求便宜的钱数：便宜的钱数二原价一原价X折扣便宜的钱数二原价X（1 折扣）（3）已知现价和折扣，求原价：根据原价X折扣二现价”列方程解答；原价二现价+折扣（4）已知原价和现价求折扣：用现价除以原价，结果用百分数表示，同 时在答语中要体现出来。2、成数：几成就是十分之几，也就是百分之几十。例如：一成二 1/1010%八成五二8.5/10=85/100=85%解决成数的问题，关键是先将成数转化为百分数或分数，然后按照求比一个 数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答。这次衣服的进价增加一成：这次衣服的进价比原来的进价增加10%今年小麦的收成是去年的八成五：今年小麦的收成是去年的85%（二）税率和利率1、税率（1）纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个 人收入的一部分缴纳给国家。（2）纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税 款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。（3）应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。（4）税率：应纳税额与各种收入中应纳税部分的比率叫做税率。税率也是 百分率的一种，通常用百分数表示。（5）应纳税额的计算方法:应纳税额二营业额中的应纳税部分X税率收入中应纳税部分的金额二应纳税额+税率2、利率（1）存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。（2）储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一 些收入。（3）本金：存入银行的钱叫做本金。（4）利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。（5）利率：单位时间（如1年、1月、1日等）内的利息与本金的比率叫做 利率。利率按年计算的，称为年利率；按月计算的，称为月利率。（6）利息的计算公式：利息=本金X利率X时间利率=利息:时间+本金X 100%（7）注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），贝卜税后利息二利息一利息的应纳税额二利息一利息X利息税率二利息X（1利息税 率）税后利息二本金X利率X时间X（1-利息税率）购物策略：估计费用：根据实际的问题，选择合理的估算策略，进行估算。购物策略：根据实际需要，对常见的几种优惠策略加以分析和比较，并能够 最终选择最为优惠的方案学后反思：做事情运用策略的好处2)第三单元圆柱和圆锥一、圆柱：圆柱体简称圆柱，圆柱是生活中一种比较常见的立体图形。1、圆柱的形成：圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得的。圆柱也可以由长方形卷曲而得到。两种方式：(1)以长方形的长为底面周长，宽为高；(2)以长方形的宽为底面周长，长为高。其中，第一种方式得到的圆柱体体积较大。2、圆柱的各部分名称及其特征：圆柱是由两个底面和一个侧面围成的。(1)圆柱的上、下两个面叫做底面。底面的特征：圆柱的底面是大小相同 的两个圆。(2)圆柱周围的面(上、下底面除外)叫做侧面。侧面的特征：圆柱的侧 面是曲面。(3)圆柱的两个底面之间的距离叫做高。高的特征：一个圆柱有无数条高。3、圆柱的切割：横切：切面是圆，表面积增加2倍底面积，即S增二2兀口竖切(过直径)：切面是长方形(如果h=2R,切面为正方形)，该长方 形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即S 增二 4rh4、圆柱的侧面展开图：沿着高展开，展开图形是长方形，如果h=2几r,则展开图形为正方形。不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形。2L无论怎么展开都得不到梯形。5、圆柱的表面积：圆柱的表面积指的是圆柱的侧面积和两个底的面积之和。圆柱表面积的计算公式：圆柱的表面积二圆柱的侧面积+底面积X 2,用字母表示为：S表=S侧+2S底圆柱侧面积的计算公式：圆柱的侧面积二圆柱的底面周长X高，用字母 表示为：S=Cho6、圆柱的体积二底面积X高，用字母表示为：V=Sh7、圆柱的相关计算公式：底面积：S底二万口底面周长：C底=rd二2rr侧面积：S=Ch S=n dh S=2 n rh表面积：S=2 Ji rh+2 n rD 表S=兀 dh+2 H(d/2)2=几 dh+1/2 n d2 表S=Ch+兀(C/2 兀)2=Ch+C2/2 兀 表体积：V=nr印 V 二 n(d/2)2h V=几(C/2 n)2h 柱考试常见题型：已知圆柱的底面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面周长已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面积已知圆柱的底面周长和体积，求圆柱的侧面积，表面积，高，底面积已知圆柱的底面面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积已知圆柱的侧面积和高，求圆柱的底面半径，表面积，体积，底面积以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆柱的底面半径和高，再根据圆 柱的相关计算公式进行计算22无盖水桶的表面积二侧面积十一个底面积油桶的表面积二侧面积十两个底面烟囱通风管的表面积二侧面积只求侧面积：灯罩、排水管、漆柱、通风管、压路机、卫生纸中轴、薯片盒 包装侧面积+一个底面积：玻璃杯、水桶、笔筒、帽子、游泳池侧面积+两个底面积：油桶、米桶、罐桶类二、圆锥：圆锥是由一个底面和一个侧面两部分围成的。圆锥的底面是一个 圆，侧面是一个曲面。1、圆锥的形成：圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的。圆锥 也可以由扇形卷曲而得到。2、圆锥的高：从顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，圆锥的高用h表示。圆锥只有一条高。3、圆锥的体积计算公式：圆锥的体积二底面积X高X 1/3,用字母表 示为：V=l/3Sh.4、圆锥的切割：横切：切面是圆竖切(过顶点和直径直径)：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆 锥的高，底是圆锥的底面直径，面积增加两个等腰三角形的面积，即 S=2rh增5、圆锥的相关计算公式：底面积：S底二几底面周长：C底=几d二2rr体积：V=1/3 nrffl V=1/3 n(d/2)2h V=1/3 兀(C/2 n)2h锥23考试常见题型：已知圆锥的底面积和高，求体积，底面周长已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积，底面积已知圆锥的底面周长和体积，求圆锥的高，底面积以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆锥的底面半径和高，再根据圆 柱的相关计算公式进行计算三、圆柱和圆锥的关系1、等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积比圆锥的体积多2倍；圆锥的体积 比圆柱的体积少2/3o2、等底等体积的圆柱和圆锥：圆锥的高是圆柱的高的3倍，或者说圆锥的 高比圆柱的高多2倍；圆柱的高是圆锥的高的1/3,或者说圆柱的高比圆锥的高 矮 2/3 o3、等高等体积的圆柱和圆锥，圆锥的底面积是圆柱的底面积的3倍，或者 说圆锥的底面积比圆柱的底面积多2倍；圆柱的底面积是圆锥的底面积的1/3,或者说圆柱的底面积比圆锥的底面积少2/3。题型总结直接利用公式：分析清楚求的的是表面积，侧面积、底面积、体积分析清楚半径变化导致底面周长、侧面积、底面积、体积的变化分析清楚两个圆柱（或两个圆锥）半径、底面积、底面周长、侧面积、表面积、体积之比圆柱与圆锥关系的转换：包括削成最大体积的问题（正方体，长方体与圆 柱圆锥之间）横截面的问题浸水体积问题：（水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积，等于盛 水容积的底面积乘以上升的高度）容积是圆柱或长方体，正方体4等体积转换问题：一个圆柱融化后做成圆锥，或圆柱中的溶液倒入圆锥,都是体积不变的问题，注意不要乘以1/3第四单元比例一、比1、比的意义(1)两个数相除又叫做两个数的比。(2)“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面 的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。(3)同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于 商。(4)比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。(5)比的后项不能是零。(6)根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。(7)比和比值的关系：二者在写法上可能相同，但比值表示两个数量之间 的相除关系，比值表示一个具体的数。a：b=a 4-b=a/b(b#0)2、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或者除以相同的数(0除外)，比值不变，这叫做比的基本性质。3、求比值和化简比：求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也 可以是小数或分数。根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简 比，即前、后项是互质的数。4、按比例分配:5在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。二、比例5、比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。在比例中，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。6.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫 做比例的基本性质。用字母表示：如果a：b=c：d(b,d均不为0),那么ad二be。7、比和比例的区别8、应用比例的基本性质判断两个比是否可以组成比例的方法：先假设这两比比例意义两个数相除又叫做这两个数 的比。比表示两个数相除的关系。表示两个比相等的式子叫做比例。比 例表示两个比相等的关系，是一个等式。组成由两项组成，分别叫做比的 前项和后项。由四项组成，两端的两项叫做比例的 外项，中间的两项叫做比例的内项。基本性质比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。在比例里，两个外项的积等于两个内 项的积。个比可以组成比例，再看两个内项的积与两个外项的积是否相等。若相等，则假 设成立，两个比可以组成比例，否则不可以组成比例。9、解比例：(1)求比例中的未知项，叫做解比例。(2)解比例的方法：根据比例的基本性质解比例，先把比例转化成两个外 项的积与两个内项的积相等的形式，再通过解方程求出未知项的值。石三、正比例和反比例10、成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正 比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示x/y=k（一定）n、成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们 的关系叫做反比例关系。用字母表示xy二k（一定）12、判断两种量成正比例还是成反比例的方法：先找变量（找两种相关联的量），再看定量，看两种相关联的量中相对应的 两个数的比值一定还是积一定，如果比值一定，就成正比例；如果积一定，就成 反比例。13、正比例关系与反比例关系的异同点：相同点：（1）两个相关联的量：两者都涉及两个变量，一个量变化时，另一个量也 会随之变化。（2）数学公式表达：都可以用公式表示关系，正比例为y=kx（k为常数），反比例为xy=ko不同点：（1）关系本质：正比例：两个量的比值一定（xy=k）o例如，单价固定时，总价与数量成正 比。反比例：两个量的乘积一定（xXy=k）o例如，路程固定时，速度与时间成 反比。（2）变化方向:正比例：同向变化。当一个量增加到原来的n倍，另一个量也增加到n倍（如时间增加，路程随之增加）。27反比例：反向变化。当一个量增加到n倍，另一个量会减少到原来的nl（如速度加快，时间减少）。（3）实际例子：正比例：汽车匀速行驶时,路程与时间；购买苹果的数量与总价（单价固定）。反比例：工人人数与完成工程所需时间（工作量固定）；汽车油箱容量一定 时，每公里油耗与可行驶里程。总结口诀：正比例：同变比不变，直线过原点。反比例：一增一减积不变，双曲线中藏关联。通过比较具体例子和公式，学生可以更直观地理解两者的核心区别：比值恒 定与乘积恒定，以及变化方向的异同。四、比例尺14、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。15、图上距离：实际距离二比例尺或图上距离/实际距离二比例尺16、比例尺的分类（1）按表现形式分为：数值比例尺和线段比例尺（2）按将实际距离缩小还是放的分为：缩小比例尺和放大比例尺用分数或带比号的形式表示的比例尺，就是数值比例尺。在图上附有一条标有数据的线段，用它来表示相对应的实际距离，这样的比 例尺叫做线段比例尺。在绘图时，有时需要把实际距离按一定的比例缩小后画在图纸上，用这种方 法得到的比例尺就是缩小比例尺。在绘制精细的零件图时，由于零件比较小，因此经常需要把零件的尺寸按一 定的比例放大后画在图纸上，用这种方法得到的比例尺就是放大比例尺。17、已知图上距离和实际距离，求比例尺的方法：用图上距离比实际距离就 可以求出比例尺，但要注意统一单位。18、应用比例尺画图的步骤：（1）根据实际距离和纸张大小确定平面图的比例尺，并标注。（2）根据比例尺和实际距离求出图上距离。（3）根据方向和图上距离画出平面图，并标明平面图的各位置名称。19、图形的放大与缩小：形状相同，大小不同。20、用比例解决问题：根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并正确判断这两种相关联的量成 什么比例关系，并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。21、常见的数量关系式：（成正比例或成反比例）单价X数量=总价单产量X数量二总产量速度X时间二路程工效X工作时间二工作总量第五单元 数学广角一鸽巢问题1、鸽巢原理（一）：把m个物体任意分放进n个鸽巢中（m和n是非0 自然数，且mn）,那么一定有一个鸽巢里至少放进了 2个物体。关键词理解：“总有”是一定有的意思；“至少”是指最小的限度，最少。2、鸽巢原理（二）：把多于kn个的物体任意分放进n个鸽巢中（k和n是 非0自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k+1）个物体。293、在解决“抽屉问题”时，可以借助除法知识，把被分物体尽量地平均分 给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少，剩下的不管放进哪个抽屉，总有一个抽屉 比平均分得的个数多一。利用公式进行解题：物体个数小鸽巢个数工商余数至少个数工商+11、应用“鸽巢原理”（二）解决问题的一般步骤：（1）分析题意，把实际 问题转化成“鸽巢问题”，即弄清楚鸽巢（鸽巢时什么，有几个鸽巢）和分放的 物体及它们的个数。（2）设计鸽巢的具体形式。（3）运用原理得出在某个鸽巢 里至少分放的物体个数，最终解决问题。根据“鸽巢原理”（二），把多于kn个的物体任意分放进n个空鸽巢（k 是正整数），那么一定有一个鸽巢中放进了至少（k+1）个物体；反之，求物体 的最少个数时，应是（至少放物体的个数一1）X鸽巢个数+1。数学考试应注意：1、用手指着认真读题至少两遍；2、遇到不会的题不要停留太长时间，可在题目的前面做记号。（如：“？”）3、画图、连线时必须用尺子；4、检查时，要注意是否有漏写、少写的情况。33