烟台市2017年高考诊断性测试理数.docx

2017年高考诊断性测试
理科数学
注意事项：
1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．
2．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．若集合A=，B=，集合C=A∩B，则C的真子集个数为
A．3 B．4 C．7 D．8
2．若复数(i为虚数单位，a为实数)为纯虚数，则不等式的解集为
A． B． C． D．
3．“”是“函数为奇函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．用0，1，2，…，299给300名高三学生编号，并用系统抽样的方法从中抽取15名学生的数学成绩进行质量分析，若第一组抽取的学生的编号为8，则第三组抽取的学生编号为
A．20 B．28 C．40 D．48
5．若是两个不同平面，是两条不同直线，则下列结论错误的是
A．如果，，那么m与所成的角和与所成的角相等
B．如果，，，那么
C．如果，，那么
D．如果，，那么
6．一个几何体的三视图如右图所示，其中俯视图是一个正三角形及其内切圆，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
7．若变量x,y满足则的最小值为
A． B． C． D．
8．已知函数，其导函数的图象如右图所示，则的值为
A． B．2 C． D．4
9．执行右图所示的程序框图，输出的n值为
A．4 B．6 C．8 D．12
10．已知，若不等式
对一切恒成立，则实a数的最大值为
A． B．－1 C． D．1[来源:Zxxk.Com]

二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分共25分．
11．若，则展开式中的常数项为
12．已知x，y均为正实数，若，且，则的最小值是
l3.过双曲线的右支上一点P分别向圆C1：和圆C2：作切线，切点分别为A，B，则的最小值为
14．从曲线所围成的封闭图形内任取一点，则该点在单位圆中的概率为
15．已知是定义在R上的函数，是的导函数。给出如下四个结论：
①若，且，则函数有极小值0；
②若，则；
③若，则；
④若，且，则不等式的解集为．所有正确结论的序号是

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．[来源:Z+xx+k.Com]
16．(本小题满分12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)将函数的图象向右平移角A个单位可得到函数的图象，求的值；
(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积的最大值．[来源:学|科|网Z|X|X|K]

17．(本小题满分12分)
如图所示的三棱柱中，侧面为边长等于2的菱形，且为等边三角形，面．
(1)求证：；
(2)求侧面和侧面所成的二面角的余弦值．

18．(本小题满分12分)
己知各项均为正数的数列的前n项和为，满足；数列满足.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，当时，求正整数n的最小值．[来源:学.科.网Z.X.X.K]

19．(本小题满分12分)
2017年由央视举办的一档文化益智节目《中国诗词大会》深受观众喜爱，某记者调查了部分年龄在[10，70]的观众，得到如下频率分布直方图．若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．
(1)请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数；
(2)现根据观看年龄，从第四组和第六组的所有观众中任意选2人，记他们的年龄分别为，若，则称此2人为“最佳诗词搭档”，试求选出的2人为“最佳诗词搭档”的概P；
(3)以此样本的频率当作概率，现随机从这组样本中选出3名观众，求年龄不低于40岁的人数的分布列及期望．

20．(本小题满分13分)
已知函数.
(1)若曲线处的切线与函数也相切，求实数a的值；
(2)求函数上的最小值；
(3)证明：对任意的，都有成立．

21．(本小题满分14分)
如图，已知椭圆的左焦点F为抛物线的焦点，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且．
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)若M，N为椭圆上异于点A的两点，且满足，问直线MN的斜率是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

2017年高考诊断性测试理科数学参考答案
一、选择题
C D A D B A A D C B

二、填空题
11. 12. 13. 14 15. ①③

三、解答题
16. 解：（1））由及正弦定理得，
, ………………………………2分
整理得，,
即,因为，
所以, …………………………………3分
而,所以， …………………………………4分
函数的图象向右平移个单位可得，
，
由题意，对任意 恒成立，
不妨令，有
又，所以； ………………………………………6分
（2））因为，外接圆半径，
所以由正弦定理 . ………………………………………7分
又由余弦定理，
所以
当且仅当时取等号. ………………………………………10分
于是
∴△ABC面积的最大值为． ……………………12分

17. 解：（1）证明：取的中点，连接，
因为为等边三角形，为的中点，
所以, …………………2分
在中，,,
可得，.
因为，，,
所以面， ………………………4分
而面，
所以； ………………………5分
（2）因为面面，面面,
且，所以面，面，所以,
由（1）知，，，故可以为坐标原点，以方向为轴，建立空间直角坐标系， ……………………………………7分
可得,
,设为面的一个法
向量，则有，令，可得， ……………9分
,设为面的一个法
向量，则有，令，则， ……………10分
所以，
故侧面和侧面所成的二面角的余弦值为. ……………12分

18. 解: （1）∵∴，
两式相减得: ……………2分
又∵∴,
显然，
数列为等差数列，又，
， ………………………………………………………………4分
因为，所以，
两式相比可得：，当时，，满足题意，
所以； ……………………………………………………………6分
（2）由（1）可知，
所以，
，
两式相减可得，，
故. …………………………………………………10分
因为，所以随的增大而增大，
而，
所以正整数的最小值为. …………………………………………12分

19. 解：（1）设第四，五组的频率分别为，则
①，
②，
由①②解得， …………2分
从而得出直方图（如图所示）
.………4分
（2）依题意第四组人数为，
故. ………………………………………6分
（3）依题意样本总人数为，年龄不低于岁人数为
， ……………………………………8分
故在样本中任选人，其年龄不低于岁的概率为，
又由已知的可能取值为0，1，2，3.
，，
，. …………………10分
故的分布列如下：

0
1
2
3

依题意，故. ……………………………………12分

20. 解：（1），当时，，
所以在处的切线方程为 …………2分
联立，消可得，，
由题意可知，，
所以； ………………………………4分
(2)由（1）知，当，，单调递减，
当，，单调递增． …………………………6分
①，即时，；
② ，即时，；
③ ，即时，在上单调递增，；
所以． ……………………………9分
（3）设，则， ……………………………10分
当时，,单调递增；
当时，,单调递减，
可得，当且仅当时取到. …………………………11分
由（2）知的最小值是，当且仅当时取到.
因此当时，恒成立.
又两次最值不能同时取到，所以对一切，都有. ……13分

21. 解：（1）由题意可知，，所以， ………………………………1分
令，代入椭圆可得，所以，又，
两式联立解得：， ………………………………………………4分
…………………………………………………5分
（2）由（1）可知，，代入椭圆可得，所以，…………6分
的夹角为，的夹角为，因为，
所以，即,又因为轴，
所以直线的倾斜角互补，直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数；…8分
可设直线AM方程为：，代入得：
， …………………………………9分
设,,因为点在椭圆上，
所以，，，……10分
又直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数，在上式中以代替，可得
， …………………………………12分
所以直线MN的斜率，
即直线MN的斜率为定值，其值为. …………………………………14分