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数列基本概念
数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：
依定义域分为：有穷数列、无穷数列；
依值域分为：有界数列和无界数列；
依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；
数列通项：
2、等差数列
1、定义 当,且 时，总有 ，d叫公差。
2、通项公式
3、前n项和公式
由 ，
相加得 ， 还可表示为，是n的二次函数。
特别的，由 可得 。
4、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．
5、等差数列的性质：
（1）（、、、），则；
特别地，若（、、），则．
（2），，成等比数列．
（3）若项数为，则，．
（4）若项数为，则，
3、等比数列
1、 定义 当,且 时，总有 , q叫公比。
2、 通项公式： , 在等比数列中，若 , 则.
3、 、在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．
4、 等比数列的前项和的性质：
（1）（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则．
（2），，成等比数列。
5、 前n项和公式:
由 ， 两式相减，
当 时， ；当时 ， 。
关于此公式可以从以下几方面认识：
① 不能忽视 成立的条件：。特别是公比用字母表示时，要分类讨论。
② 公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形。
如，公差为d 的等差数列， ，则，
相减得 ，
当 时，，
当时 ，；
第一节 等差数列的概念、性质及前n项和
题根一 等差数列{an}中， ，求S20
[思路]等差数列前n项和公式：
1、 由已知直接求a1 ，公差d.
2、 利用性质
[请你试试 1——1]
1、 等差数列{an} 满足 ，则有 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求 。
第1变 求和方法——倒序相加法
[变题1] 等差数列{an}共10项， ，，求Sn.
[思路] 已知数列前四项和与后四项和，结合通项性质，联想Sn公式推导方法。
[请你试试 1——2]
1、 等差数列{an}前n项和为18 ，若 , , 求项数n .
2、 求和 。
第2变 已知前n项和及前m项和，如何求前n+m项和
[变题2] 在等差数列{an}中，Sn=a,Sm=b,(m>n)，求Sn+m的值。
[思路] 下标存在关系：m+n=m+n, 这与通项性质 是否有关？
[请你试试 1——3]
1、 在等差数列{an}中，，，求 。
2、在等差数列{an}中，，，求 。
第3变 已知已知前n项和及前2n项和，如何求前3n项和
[变题3] 在等差数列{an}中，，，求
[思路] 由寻找之间的关系。
[请你试试 1——4]
1、在等差数列{an}中，，，求
第二节 等比数列的概念、性质及前n项和
题根二 等比数列{an} ， , 求。
[思路] 1、由已知条件联立，求，从而得
2、由等比数列性质，知成等比数列。
[ 请你试试2 ——1]
等比数列{an} ， ，若 ，则_______。
第1变 连续若干项之和构成的数列仍成等比数列
[变题2] 等比数列{an} ，，求 。
[思路] 等比数列中，连续若干项的和成等比数列。
[请你试试2——2]
1、等比数列{an} ， 时，，求。
2、等比数列{an} ， 时，，求。
第三节 常见数列的通项求法
一、公式法
例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。
二、累加法
例2 已知数列满足，求数列的通项公式。
例3 已知数列满足，求数列的通项公式。
三、累乘法
例4 已知数列满足，求数列的通项公式。
四、作差法
例5 （数列{}的前n项和为，且满足，. 求{}的通项公式
五，构造法
例6 数列中，若，，求数列的通项公式。
例7 数列
第四节 常见数列求和方法
1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（1）等差数列的求和公式：
（2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）
2．公式法：
3．错位相减法：比如
4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式： ；
5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
6．合并求和法：如求的和。
7．倒序相加法：
8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等
（二）主要方法：
1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；
2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；
3．转化思想的运用；
（三）例题分析：
例1．
2．错位相减法求和
例2．已知 ，求数列｛an｝的前n项和Sn.
3.裂项相消法求和
例3.求和
4.倒序相加法求和
例4求证：
求值：
5．其它求和方法
还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。
例5．已知数列。
第四节 递推数列的通项公式及前n项和综合
例1．数列{}的前n项和为，且满足，.
（1）求{}的通项公式； （2）求和Tn =.
例2 ．已知数列，a1=1，点在直线上.
（1）求数列的通项公式；
（2）函数，求函数最小值.
例3 ．设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.
（1）求证: 为等比数列；
（2）设数列的公比，数列满足，试写出 的通项公式，并求的结果.
例4．已知数列的前项的和为，且，.
（1）求证：为等差数列；
（2）求数列的通项公式．
例5．已知数列是首项为，公比的等比数列，设，数列满足.
（Ⅰ）求证：数列成等差数列；
（Ⅱ）求数列的前n项和；