1、
第2讲 综合大题部分
1．(2018·高考全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．
解析：(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.
如图，连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，
且OB⊥AC，OB＝AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC知，PO⊥平面ABC.
(2)如图，作CH⊥OM，垂足为H，
又由(1)
2、可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°，
所以OM＝，CH＝＝.
所以点C到平面POM的距离为.
2．(2018·高考全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC.
(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
解析：(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.
因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，
故BC⊥DM.
因为M为上异于C，D的点，且DC为
3、直径，
所以DM⊥CM.
又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.
而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.
证明如下：连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．
连接OP，因为P为AM中点，
所以MC∥OP.
又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，
所以MC∥平面PBD.
3．(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段
4、BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥QABP的体积．
解析：(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.
又BA⊥AD，
所以AB⊥平面ACD.
又AB⊂平面ABC，
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，
DA＝3.
又BP＝DQ＝DA，
所以BP＝2.
如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，
则QE綊DC.
由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，
所以QE⊥平面ABC，QE＝1.
因此，三棱锥QABP的体积为
VQABP＝×S△ABP×QE＝××3×2sin 45°×1＝1.
4．如图，在多面体AB
5、CPE中，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥BC,2PE＝BC，M是线段AE的中点，N是线段PA上一点，且满足AN＝λAP(0<λ<1)．
(1)若λ＝，求证：MN⊥PC；
(2)是否存在λ，使得三棱锥M ACN与三棱锥B ACP的体积比为1∶12？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解析：(1)证明：若λ＝，则N是线段PA的中点．
因为平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，AC⊥BC，
BC⊂平面ABC，
所以BC⊥平面PAC.
因为M是线段AE的中点，N是线段PA的中点，
所以MN∥PE，
又PE∥BC，所以MN∥BC，
所以
6、MN⊥平面PAC.
因为PC⊂平面PAC，所以MN⊥PC.
(2)存在λ＝，使得三棱锥M ACN与三棱锥B ACP的体积比为1∶12.
理由如下：
由(1)知，BC⊥平面PAC，
所以三棱锥B ACP的体积VB ACP＝S△ACP·BC，
因为M是线段AE的中点，
所以点M到平面ACP的距离等于点E到平面ACP的距离的一半，因为AN＝λAP(0<λ<1)，所以S△ACN＝λS△ACP，
又2PE＝BC，所以三棱锥M ACN的体积
VM ACN＝S△ACN·(PE)＝λS△ACP·(BC)＝λS△ACP·BC.
因为三棱锥M ACN与三棱锥B ACP的体积比为1∶12，
所以＝，解得λ＝.
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