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——中考数学经典题整理（带详细解析答案）

折叠类探究题
例1．如图，在矩形ABCD纸片中，AB＝10 cm，BC＝12 cm.点P在BC边上，将△PAB沿AP折叠得△PAE，连接CE，DE.
(1)当点E落在AD边上时，CE＝________；
(2)当△CDE分别满足下列条件时，求PB的长．
①DE＝CD；
②DE＝CE.

第1题图
解：(1)2 cm；
【解法提示】如解图①，
∵将△PAB沿AP折叠，得△PAE，E落在AD边上，
∴四边形ABPE是正方形，
∴PB＝PE＝AB＝10 cm，
∴PC＝2 cm，
∴CE＝＝2 cm.

第1题解图①
(2)①如解图②，过E作MN⊥AD于M，交BC于N，则MN⊥BC，

第1题解图②
∵DE＝CD，AE＝AB＝CD＝DE，
∴AE＝10 cm，
∴AM＝AD＝BN＝6 cm，
∴ME＝＝8 cm，
∴EN＝MN－ME＝2 cm，
易知△AME∽△ENP，
∴＝，
∴＝，
∴PE＝ cm，
∴PB＝PE＝ cm；
②如解图③，过E作MN⊥AD于M，交BC于N，过E作EQ⊥CD于Q，

第1题解图③
∵DE＝CE，
∴DQ＝CD＝5 cm，∴ME＝5 cm，
∴EN＝MN－ME＝5 cm，
∴AM＝＝5 cm，
∴BN＝5 cm，
同理得＝，
∴＝，
∴PE＝ cm，
∴PB＝PE＝ cm.
例2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝9，AD＝13，tanA＝，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得到△A′PB.

第2题图
(1)当∠DPA′＝10°时，∠APB＝________；
(2)当PA′⊥BC时，求线段PA的长度；
(3)当点A′落在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，求线段PA的长度．
解：(1)85°或5°或95°；
【解法提示】当点P在线段AD上，且∠APB<90°时，点A′在平行四边形ABCD的内部，
∵∠DPA′＝10°，∴∠APA′＝180°－∠DPA′＝170°，
∴∠APB＝∠APA′＝85°；
如解图①，当点P在线段AD上，且∠APB>90°时，点A′在平行四边形ABCD的外部，
∵∠DPA′＝10°，
∴∠APA′＝180°－∠DPA′＝170°，
∴∠APB＝(360°－∠APA′)＝95°；
如解图②，当点P在AD的延长线上，则∠APB＝
∠DPA′＝5°；

第2题解图
(2)∵四边形ABCD是平形四边形，∴AD∥BC，
若PA′⊥BC，则PA′⊥AD，
∴∠APB＝∠A′PB＝45°，
如解图③，作BH⊥AD于点H，

第2题解图③
∵tanA＝，
∴设AH＝5x，BH＝12x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得AB＝＝13x＝
9， 解得x＝，
∴AH＝，BH＝，
∵在Rt△BHP中，∠BPH＝45°，
∴BH＝PH＝，
∴AP＝AH＋PH＝；
(3)①如解图④，当点A′在AD上时，

第2题解图④
∵AB＝A′B，
∴∠1＝∠2，
∴BP⊥AD，且A′P＝AP，
∵tanA＝，
∴AP＝·AB＝；
②如解图⑤，当点A′在BC上时，

第2题解图⑤
由折叠可知，A′B＝AB，AP＝A′P，∠3＝∠4，
又∵AD∥BC，
∴∠5＝∠4，
∴∠3＝∠5，
∴AB＝PA，
∴四边形ABA′P为菱形，
∴AP＝9；
③如解图⑥，当点A′在AB的延长线上时，∠ABP＝
∠ABA′＝90°，
∴AP＝×AB＝.

第2题解图⑥
综上，线段PA的长度为或9或.
例3．如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.
(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；
(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
②求EF的长；
(3)如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN＝1，CE＝，求的值．

第3题图
解：(1)如解图①，

第3题解图①
∵折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF.
∴S△AEF＝S△DEF.
∵S四边形ECBF＝3S△EDF，
∴S四边形ECBF＝3S△AEF.
∵S△ACB＝S△AEF＋S四边形ECBF，
∴S△ACB＝S△AEF＋3S△AEF＝4S△AEF.
∴＝.
∵∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠ACB＝90°，
∴△AEF∽△ABC.
∴＝()2.
∴()2＝
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2＋BC2.即AB＝＝5.
∴()2＝，∴AE＝；
(2)①四边形AEMF是菱形．
证明：∵折叠后点A落在BC边上的点M处，
∴∠CAB＝∠EMF，AE＝ME，
又∵MF∥CA，
∴∠CEM＝∠EMF.
∴∠CAB＝∠CEM.
∴EM∥AF.
∴四边形AEMF是平形四边形．
又∵AE＝ME，
∴四边形AEMF是菱形．
②连接AM、AM与EF交于点O，如解图②，

第3题解图②
设AE＝x，则AE＝ME＝x，EC＝4－x.
∵∠CEM＝∠CAB，∠ECM＝∠ACB＝90°，
∴Rt△ECM∽Rt△ACB.
∴＝，
∵AB＝5，
∴＝，解得x＝.
∴AE＝ME＝，EC＝.
在Rt△ECM中，
∵∠ECM＝90°，
∴CM2＝EM2－EC2.
即CM＝＝＝.
∵四边形AEMF是菱形，
∴OE＝OF，OA＝OM，AM⊥EF.
∴S菱形AEMF＝4SAOE＝2OE·AO.
在Rt△AOE和Rt△ACM中，
∵tan∠EAO＝tan∠CAM，
∴＝.
∵CM＝，AC＝4，
∴AO＝3OE，
∴S菱形AEMF＝6OE2.
又∵S菱形AEMF＝AE·CM，
∴6OE2＝×.
∴OE＝.
∴EF＝.
(3)如解图③，过点F作FH⊥CB于点H，

第3题解图③
在Rt△NCE和Rt△NHF中，
∵tan∠ENC＝tan∠FNH，
∴＝，
∵NC＝1，EC＝，
∴＝，设FH＝x，则NH＝x，
∴CH＝x－1.
∵BC＝3，
∴BH＝BC－CH＝3－(x－1)＝4－x.
在Rt△BHF和Rt△BCA中，
∵tan∠FBH＝tan∠ABC，
∴＝，解得x＝.
∴HF＝.
∵∠B＝∠B，∠BHF＝∠BCA＝90°，
∴△BHF∽△BCA.
∴＝，即HF·BA＝CA·BF.
∴×5＝4BF.∴BF＝2.
∵AF＝3.
∴＝.
例4．如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB＝3，BC＝2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止．△ADP以直线AP为轴翻折，点D落到点D1的位置．设DP＝x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y.
(1)当x为何值时，直线AD1过点C?
(2)当x为何值时，直线AD1过点BC的中点E?
(3)求出y与x的函数表达式．

第4题图
解：(1)由题意得，△ADP≌△AD1P，
∴AD1＝AD＝2，PD＝PD1＝x，∠PD1A＝∠PDA＝90°，
∵直线AD1过点C，
∴PD1⊥AC，
在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝2，
∴AC＝＝，
CD1＝－2，
在Rt△PCD1中，PC2＝PD＋CD，
即(3－x)2＝x2＋(－2)2，
解得x＝，
∴当x＝时，直线AD1过点C；
(2)如解图①，连接PE，

第4题解图①
∵E为BC中点，
∴BE＝CE＝1，
在Rt△ABE中，
AE＝＝，
又∵AD1＝AD＝2，PD＝PD1＝x，
∴D1E＝－2，PC＝3－x，
在Rt△PD1E和Rt△PCE中，
有x2＋(－2)2＝(3－x)2＋12，
解得x＝，
∴当x＝时，直线AD1过BC的中点E；
(3)如解图②，当0＜x≤2时，点D1在矩形内部，y＝x；

图② 图③
第4题解图
如解图③，当2＜x≤3时，点D1在矩形外部，PD1与AB交于点F，
∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴FP＝FA，
作PG⊥AB，垂足为点G，
设FP＝FA＝a，
由题意得，AG＝DP＝x，FG＝x－a，
在Rt△PFG中，由勾股定理，得
(x－a)2＋22＝a2，
解得a＝，
∴y＝×2×＝，
综上所述，当0＜x≤2时，y＝x；当2＜x≤3时，y＝.
例5．阅读下列材料：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点，DA＝DB，E为BD延长线上一点，∠AEB＝120°.
(1)猜想AC、BE、AE的数量关系，并证明．小明的思路是：根据等腰△ADB的轴对称性，将整个图形沿着AB边的垂直平分线翻折，得到点C的对称点F，如图②过点A作AF⊥BE，交BE的延长线于F，请补充完成此问题；
(2)参考小明思考问题的方法，解答下列问题：如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、F在直线BC上，DE＝BF，连接AD，过点E作EG∥AC交FH的延长线于点G，∠DFG＋∠D＝∠BAC.
①探究∠BAD与∠CHG的数量关系；
②请在图中找出一条和线段AD相等的线段，并证明．

第5题图
解：猜想：AC＝BE＋AE.
理由如下：如题图②，
∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA，
∵AF⊥BF，
∴∠F＝∠C＝90°，
在△ABF和△BAC中，
，
∴△ABF≌△BAC(AAS)，
∴AC＝BF，
∵∠AEB＝120°＝∠F＋∠FAE，
∴∠FAE＝30°，
∴EF＝AE，
∴AC＝BF＝BE＋EF＝BE＋AE，
∴AC＝BE＋AE；
问题：(1)如题图③中，
∵∠ACF＝∠D＋∠CAD，∠D＋∠DFG＝∠BAC，
∴∠CHG＝∠CFH＋∠FCH＝∠CFH＋∠D＋∠CAD＝∠BAC＋∠CAD＝∠BAD，
∴∠CHG＝∠BAD；
(2)结论：AD＝FG.
理由如下：
如解图③中，反向延长BD到R，使得BR＝CD，连接AR，作AJ∥CD交EG的延长线于点J，连接FJ，

第5题解图③
∵AJ∥CE，AC∥JE，
∴四边形ACEJ是平行四边形，
∴AJ＝CE，AC＝JE，
∵AB＝AC，
∴JE＝AB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABR＝∠ACD，
在△ABR和△ACD中，
，
∴△ABR≌△ACD(SAS)，
∴AR＝AD，
∵BR＝CD，BF＝DE，
∴FR＝CE＝AJ，EF＝BD，
又∵AJ∥RF，
∴四边形ARFJ是平行四边形，
∴JF＝AR＝AD，
在△ABD和△JEF中，，
∴△ABD≌△JEF(SSS)，
∴∠EJF＝∠BAD，
又∵∠JGH＝∠GHC，
∵∠BAD＝∠CHG＝∠FGJ，
∴∠EJF＝∠FGJ，
∴FG＝FJ，
∴AD＝FG.
例6．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．
(1)如图①，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长；
(2)如图②，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时，
①求证：EF＝EG；
②求AF的长；
(3)如图③，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E在长方形内部，E到AD的距离为2，且BG＝10时，求AF的长．

第6题图
(1)解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴BF＝EF，
∵AB＝8，∴EF＝8－AF，
在Rt△AEF中，AE2＋AF2＝EF2，
即42＋AF2＝(8－AF)2，解得AF＝3；
(2)①证明：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴∠BGF＝∠EGF，
∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，
∴∠BGF＝∠EFG，∴∠EGF＝∠EFG，∴EF＝EG；
②解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴EG＝BG＝10，HE＝AB＝8，FH＝AF，
∴EF＝EG＝10，
在Rt△EFH中，由勾股定理得FH＝＝＝6，∴AF＝FH＝6；
(3)解：如解图，设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于点M、N，

第6题解图
∵E到AD的距离为2，
∴EM＝2，EN＝8－2＝6，
在Rt△ENG中，GN＝＝＝8，
∵∠GEN＋∠KEM＝180°－∠GEH＝180°－90°＝90°，
∠GEN＋∠NGE＝180°－90°＝90°，
∴∠KEM＝∠NGE，
又∵∠ENG＝∠KME＝90°，∴△GEN∽△EKM，
∴＝＝，即＝＝，
解得EK＝，KM＝，
∴KH＝EH－EK＝8－＝，
∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，
∴△FKH∽△EKM，∴＝，即＝，
解得FH＝，
∴AF＝FH＝.
例7．在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，连接AD.
(1)如图①，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当AD＝时，求AE′的值；
(2)如图②，在AC上取一点E，使得CE＝AC，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，且AE′交BC于点F，求证：DF＝CF.

第7题图
(1)解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，
∴∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，
在Rt△ADC中，AC＝＝2，
∵E是AC的中点，
∴CE＝AC＝1，
∵将△CDE沿CD翻折到△CDE′，
∴CE′＝CE＝1，∠ACE′＝90°，
由勾股定理得：
AE′＝＝；
(2)证明：如解图，过B作AE′的垂线交AD于点G，交AC于点H，

第7题解图
∵∠ABH＋∠BAF＝90°，∠CAF＋∠BAF＝90°，
∴∠ABH＝∠CAF，
又∵AB＝AC，∠BAH＝∠ACE′＝90°，
∴△ABH≌△CAE′，
∴AH＝CE′＝CE，
∵CE＝AC，
∴AH＝HE＝CE，
∵D是BC中点，
∴DE∥BH，
∴G是AD中点，
在△ABG和△CAF中
，
∴△ABG≌△CAF(ASA)，∴AG＝CF，
∵AG＝AD，∴CF＝AD＝CD，∴DF＝CF.
例8．【问题情境】
在数学综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠为主题开展活动”，如图①，四边形ABCD是正方形，AB＝5，点E是CD边上的一动点，连接AE.
【操作发现】
(1)将△ADE沿AE折叠得△AD′E，如图②，当点D′到BC的距离等于1时，求点E到BC的距离．
【继续探究】
(2)在(1)的条件下，创新小组在图②中，连接BE，如图③，发现∠AEB＝2∠EBC，请你证明这个结论．
【深入探究】
(3)创新小组将图②沿MN向下折叠，使点A与点E，连接DD′并延长交BC于点F，如图④，求四边形MNFD的面积．

第8题图
解：(1)如解图①，过点D′作XY∥BC，与AB、CD分别交于点X、Y，
∵四边形ABCD是正方形，

第8题解图①
∴∠B＝∠C＝90°，AB∥CD，
∴四边形BCYX是矩形，
∵点D′到BC的距离为1，
∴BX＝CY＝1，
∴AX＝AB－BX＝5－1＝4，
由折叠知：AD′＝AD＝5，
在Rt△AXD′中，由勾股定理得XD′＝＝3，
∴D′Y＝XY－XD′＝5－3＝2，
由题易证△AXD′∽△D′YE，
∴＝，
∴＝，
∴YE＝，
∴CE＝YE＋YC＝＋1＝，
∴点E到BC的距离等于；
(2)证明：由(1)知，CE＝，
∴DE＝DC－CE＝5－＝，
∴DE＝CE，
又∵AD＝BC，∠C＝∠ADE，
∴△ADE≌△BCE，
∴AE＝BE，
如解图②，过点E作EZ⊥AB于点Z，

第8题解图②
∴EZ平分∠AEB，
∴∠AEB＝2∠BEZ，
∵EZ⊥AB，BC⊥AB，
∴EZ∥BC.
∴∠BEZ＝∠EBC，
∴∠AEB＝2∠EBC；
(3)∵点A、点E关于MN对称，
∴MN垂直平分AE，
同理：AE垂直平分DD′，
∴MN∥DF，
又∵MD∥NF，
∴四边形MNFD是平行四边形，
如解图③，设AE与MN，DD′分别相交于点G、H，

第8题解图③
在Rt△ADE中，由勾股定理得
AE＝
＝
＝，
∴GE＝AE＝×＝.
在Rt△ADE中，DH·AE＝AD·DE，
∴DH＝＝＝，
在Rt△DEH中，由勾股定理得
EH＝＝＝，
∴GH ＝GE－EH＝－＝，
∵△ADE ≌△DCF，∴AE＝DF，∴DF＝，
∴S四边形MNFD＝DF·GH＝×＝.
例9．【问题情境】
(1)数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝AB，求证：∠B＝30°，请你完成证明过程；
【继续探究】
(2)如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用(1)中的结论求∠ADG的度数和AG的长；
【拓展应用】
(3)若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O(如图④)，当AB＝6时，求EF的长．

第9题图
(1)证明：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝AB，
∵sinB＝＝，
∴∠B＝30°；
(2)解：∵正方形边长为2，E、F分别为AB、CD的中点，
∴EA＝FD＝×CD＝1，
∵沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，
∴A′D＝AD＝2，
∴＝，
∴∠FA′D＝30°，
可得∠FDA′＝90°－30°＝60°，
由折叠性质可得∠ADG＝∠A′DG，AG＝A′G，
∴∠ADG＝＝＝15°，
∵A′D＝2，FD＝1，
∴A′F＝＝，
∴EA′＝EF－A′F＝2－，
∵∠EA′G＋∠DA′F＝180°－∠GA′D＝90°，
∴∠EA′G＝90°－∠DA′F＝90°－30°＝60°，
∴∠EGA′＝90°－∠EA′G＝90°－60°＝30°，
则AG＝AG′＝2EA′＝2(2－)；
(3)解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，
∴AO＝AD＝CB＝CO，
∴DA＝，
∵∠D＝90°，
∴∠DCA＝30°，
∵AB＝CD＝6，
在Rt△ACD中，＝tan30°，
则AD＝DC·tan30°＝6×＝2，
∵∠DAF＝∠FAO＝∠DAO＝＝30°，
∴＝tan30°＝，∴DF＝AD＝2，∴DF＝FO＝2，
同理EO＝2，
∴EF＝EO＋FO＝4.
例10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC沿AD翻折，点B恰好与点C重合，点E在AC边上，连接BE.
(1)如图①，若点F是BE的中点，连接DF，且AF＝5，AE＝6，求DF的长；
(2)如图②，若AF⊥BE于点F，并延长AF交BC于点G，当点E是AC的中点时，连接EG，求证：AG＋EG＝BE；
(3)在(2)的条件下，连接DF，请直接写出∠DFG的度数．

第10题图
解：(1)由折叠的性质得：AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，
在Rt△ABE中，∵点F是BE的中点，
∴AF是Rt△ABE斜边上的中线，∴AF＝BE，
∵AF＝5，∴BE＝10，
在Rt△ABE中，AE＝6，BE＝10，∴AB＝8，
又∵AB＝AC，∴AC＝8，
∴CE＝AC－AE＝2，∴DF＝CE＝1；
(2)证明：如解图①，过点C作CM⊥AC，交AG的延长线于点M，则∠ACM＝90°，

第10题解图①
又∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ACM，
∵AF是△ABE的高，
∴∠AFB＝90°，∴∠1＋∠BAF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠2＋∠BAF＝90°，∴∠1＝∠2，
在△ABE和△CAM中，
，
∴△ABE≌△CAM(ASA)，
∴AE＝CM，BE＝AM，
又∵点E是AC边的中点，
∴CE＝AE＝CM，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
又∵∠ACM＝90°，
∴∠MCG＝∠ACB＝45°，
在△CEG和△CMG中，
，
∴△CEG≌△CMG(SAS)，∴EG＝GM，
又∵BE＝AM，
∴AG＋EG＝AG＋GM＝AM＝BE；
(3)∠DFG＝45°.
【解法提示】如解图②，过点D作DN⊥DF，交AG的延长线于点N，则∠NDF＝90°，

第10题解图②
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°＝∠NDF，∴∠ADB＋∠ADF＝∠NDF＋∠ADF，即∠BDF＝∠ADN，
∵∠ADB＝∠AFB＝90°，∠5＝∠6，
∴∠3＝∠4，
在Rt△ABC中，BD＝DC，
∴AD＝BC＝BD，
在△BDF和△ADN中，，
∴△BDF≌△ADN(ASA)，
∴DF＝DN，
又∵∠NDF＝90°，
∴∠DFN＝∠DNF＝45°，即∠DFG＝45°.