平面问题1.pptx

应力、应变和位移是弹性力学的,3,类基本未知函数，当这,3,类基本未知函数与第,3,个坐标方向（一般取,z,方向）无关时，则将该类问题称为平面问题。,5-1,两类平面问题,平面问题是在一个平面域内的求解问题，但并非数学上的二维问题。,弹性力学平面问题分为平面应变与平面应力问题两类。,1.,平面应力问题,(1),几何特征,x,y,y,z,t,b,a,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。,等厚薄平板,如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等,(2),受力特征,外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿,z,方向不变化。,x,y,y,z,t,b,a,(3),应力特征,如图选取坐标系，以板的中面为,xy,平面，垂直于中面的任一直线为,z,轴。,由于板面上不受力，有,因板很薄，且外力沿,z,轴方向不变。,可认为,整个薄板的各点,都有：,由剪应力互等定理，有,结论：,平面应力问题只有三个应力分量：,x,y,应变分量、位移分量也仅为,x,、,y,的函数，与,z,无关。,2.,平面应变问题,(1),几何特征,水坝,滚柱,厚壁圆筒,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸,大得多,，且,沿长度方向几何形状和尺寸不变化,。,近似认为无限长,(2),外力特征,外力,（体力、面力）,平行于横截面,作用，且沿长度,z,方向不变化。,约束,沿长度,z,方向不变化。,(3),变形特征,如图建立坐标系：以任一横截面为,xy,面，任一纵线为,z,轴。,设,z,方向为无限长，则,沿,z,方向都不变化，,仅为,x,，,y,的函数。,任一横截面均可视为对称面,水坝,因为任一横截面均可视为对称面，则有,所有各点的位移矢量都平行于,x y,平面。,平面位移问题,平面应变问题,注：,(1),平面应变问题中,但是，,(2),平面应变问题中应力分量：,仅为,x y,的函数。,可近似为平面应变问题的例子：,煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。,如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？,平面应力问题,平面应变问题,非平面问题,3.,平面问题的求解,问题：,已知：外力（体力、面力）、边界条件，,求：,仅为,x y,的函数,建立平面应力（或应变）条件下的基本方程：,（,1,）静力学关系：,（,2,）几何学关系：,（,3,）物理学关系：,形变,与,应力,间的关系。,应力,与,体力、面力,间的关系；,形变,与,位移,间的关系；,建立边界条件：,平衡微分方程,几何方程,物理方程,（,1,）应力边界条件；,（,2,）位移边界条件；,空间问题的平衡微分方程,（纳维叶方程）,5-2,平面问题的基本方程和边界条件,1.,平衡微分方程,对平面应力问题,对平面应变问题,仅为,x y,的函数。,平面问题的平衡微分方程：,说明：,（,1,）两个平衡微分方程，三个未知量：,超静定问题，需找补充方程才能求解。,（,2,）对于平面应变问题，,x,、,y,方向的平衡方程相同，,z,方向自成平衡，上述方程,两类平面问题均适用,；,（,3,）平衡方程中不含,E,、,，,方程与材料性质无关,（钢、石料、混凝土等）；,（,4,）平衡方程对,整个弹性体内都满足,，包括边界。,2.,几何方程,平面应变,平面应力,注：平面应力问题的解为近似解！,平面应力问题，但,由,有,对薄板，可认为上两式近似为零，故,平面应力问题的解为近似解。,3.,物理方程,1.,各向同性弹性体的物理方程,其中：,E,为拉压弹性模量；,G,为剪切弹性模量；,为泊松比。,(,应力与应变的关系,),（,1,）平面应力问题的物理方程,由于平面应力问题,中,平面应力问题的物理方程,注：,(1),(2),物理方程的另一形式,（,2,）平面应变问题的物理方程,由于平面应变问题,中,平面应变问题的物理方程,注：,(2),平面应变问题 物理方程的另一形式：,由式（,2-13,）第三式，得,（,2-13,）,(1),平面应变问题中,，但,？,（,3,）两类平面问题物理方程的,转换：,平面应变问题的物理方程,平面应力问题的物理方程,(1),平面应力问题,平面应变问题,材料常数的转换为：,(2),平面应变问题,平面应力问题,材料常数的转换为：,4.,边界条件,1.,弹性力学平面问题的基本方程,（,1,）平衡方程：,（,2,）几何方程：,（,3,）物理方程：,未知量数：,8,个,方程数：,8,个,结论：,在适当的,边界条件,下，上述,8,个方程可解。,2.,边界条件及其分类,边界条件：,建立,边界上的物理量,与,内部物理量,间的关系。,x,y,O,q,P,是,力学计算模型,建立的重要环节。,边界分类,（,1,）位移边界,（,2,）应力边界,（,3,）混合边界,三类边界,（,1,）位移边界条件,位移分量已知的边界,位移边界,用,u,s,、,v,s,表示边界上的位移分量，表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：,平面问题的位移边界条件,说明：,称为固定位移边界。,平面问题的应力边界条件,(2),力的边界条件,(1),边界面力为合力时，面力正负号的确定,边界面力分量的矢量方向指向坐标轴的,正向为正,，,反之为负,(2),边界面力为合力矩时，力矩正负号的确定,x,y,M,s,3.,力的边界条件的具体化,x,y,M,s,（,+,）,右手法则，,母指指向,z,轴的正向为正，反之为负,x,y,M,s,（,-,）,x,y,M,s,（,+,）,M,s,（,-,）,x,y,例,1,如图所示，试写出其边界条件。,x,y,a,h,h,q,(1),(2),(3),(4),说明：,x,=0,的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：,例,2,如图所示，试写出其边界条件。,(1),A,B,C,x,y,h,p,(,x,),p,0,l,AB,段（y,=,0,）：,代入边界条件公式，有,(2),BC,段（,x,=,l,）：,(3),AC,段（,y,=,x,tan,）,:,N,例,3,图示水坝，试写出其边界条件。,左侧面：,由应力边界条件公式，有,右侧面：,例,4,图示薄板，在,y,方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点,A,处无应力存在。,解：,平面应力问题，在,AC,、,AB,边界上无面力作用。即,AB,边界：,由应力边界条件公式，有,（,1,）,AC,边界：,代入应力边界条件公式，有,（,2,）,A,点同处于,AB,和,AC,的边界，满足式（,1,）和（,2,），解得,A,点处无应力作用,例,5,图示楔形体，试写出其边界条件。,图示构件，试写出其边界条件。,例,6,例,5,图示楔形体，试写出其边界条件。,上侧：,下侧：,图示构件，试写出其应力边界条件。,例,6,上侧：,下侧：,N,（,3,）混合边界条件,(1),物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。,(2),物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：,图,(a),：,位移边界条件,应力边界条件,图,(b),：,位移边界条件,应力边界条件,5-3,平面问题求解方法,1.,弹性力学问题的求解方法,（,1,）按位移求解（位移法、刚度法）,以,u,、,v,为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用,u,、,v,表示，并求出,u,、,v,，,再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。,（,2,）按应力求解（力法，柔度法）,以,应力分量,为基本未知函数，将所有方程都用,应力分量,表示，并求出,应力分量,，,再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。,（,3,）混合求解,以部分,位移分量,和部分,应力分量,为基本未知函数，将，并求出这些未知量,，,再求出其余未知量。,2.,位移求解平面问题及基本方程,（,1,）平衡方程：,（,1,）,（,2,）边界条件：,位移边界条件：,（,2,）,应力边界条件：,（,3,）,说明：,（,1,）对平面应变问题，只需将式中的,E,、,作相替换即可。,（,2,）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。,3.,按应力求解平面问题及基本方程（相容方程）,按应力求解平面问题的未知函数：,平衡微分方程：,2,个方程方程，,3,个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，从,形变,、,形变与应力的关系,建立补充方程。,1,）,变形协调方程（相容方程）,将几何方程：,2),变形协调方程的应力表示,（,1,）平面应力情形,将,物理方程,（,a,）,代入,利用平衡方程,将两式相加：,（,b,）,将（,a,）式化简：,将,(b),代入,(a),，得：,将 上式整理得：,应力表示的相容方程,（平面应力情形）,（,2,）平面应变情形,将 上式中的泊松比,代为：，得,应力表示的相容方程,（平面应变情形）,注意当体力,X,、,Y,为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即,3),按应力求解平面问题的基本方程,（,1,）平衡方程,（,2,）相容方程（形变协调方程）,（,3,）边界条件：,（平面应力情形）,说明：,（,1,）对位移边界问题，不易按应力求解。,（,2,）对应力边界问题，且为,单连通问题,，满足上述方程的解是唯一正确解。,（,3,）对,多连通问题,，满足上述方程外，还需满足,位移单值条件,，才是唯一正确解。,例,下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。,（,1,）,（,2,）,（,a,）,（,b,）,解,（,1,）,将式（,a满足,将式（,a,）代入相容方程：,式（,a,）不是一组可能的应力场。,代入平衡方程：,（,2,）,解,将式（,b,）,式（,b,）满足相容方程，,（,b,）为可能的应变分量。,代入应变表示的相容方程：,例,图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力,P,作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力,=0,，然后说明这些表达式是否代表正确解。,解,材料力学解答：,式（,a,）满足,平衡方程,和,相容方程？,（,a,）,式（,a,）是否满足,边界条件？,代入,平衡微分方程：,显然，,平衡微分方程,满足。,式（,a,）满足,相容方程。,再验证，式（,a,）是否满足,边界条件？,满足,满足,近似满足,近似满足,结论：式（,a,）为正确解,代入,相容方程：,上、下侧边界：,右侧边界：,左侧边界：,常体力下问题的基本方程：,边界条件、位移单值条件。,(a),(b),式,(a),为非齐次方程，其解：,全解,=,齐次方程,通解,1,）,平衡微分方程解的形式,(1),特解,常体力下特解形式：,+,非齐次方程的,特解,。,(1),(2),(3),(2),通解,式,(a),的齐次方程：,(c),(d),的通解。,4.,按应力函数求解平面问题,应力函数解法,将式,(d),第一式改写为,由微分方程理论，必存在一函数,A,(,x,y,),，使得,(e),(f),同理，将式,(d),第二式改写为,(g),(h),比较式,(,f,),与,(,h,),，有,也必存在一函数,B,(,x,y,),，使得,(2),通解,式,(a),的齐次方程：,(d),的通解。,由微分方程理论，必存在一函数,(,x,y,),，使得,(i),(j),将式,(i),、,(j),代入,(e),、,(f),、,(g),、,(h),，得,通解,(k),(2),通解,式,(a),的齐次方程：,(d),的通解：,(k),对应于平衡微分方程的,齐次方程通解,。,(3),全解,取特解为：,则其全解为：,(2-26),常体力下平衡方程（,a,）的全解。,由式（,2-26,）看：不管,(,x,y,),是什么函数，都能满足平衡方程。,(,x,y,),平面问题的,应力函数,Airy,应力函数,2,）,相容方程的应力函数表示,(2-26),将式（,2-26,）代入常体力下的相容方程：,有：,注意到体力,X,、,Y,为常量，有,将上式展开，有,(2-27),应力函数表示的相容方程,给出了应力函数满足的条件。,式（,2-27,）可简记为：,或：,式中：,满足方程,(2-27),的函数,(,x,y,),称为,重调和函数（或双调和函数）,结论：,应力函数,应为一,重调和函数,按应力求解平面问题（,X,=,常量、,Y,=,常量）的归结为：,（,1,）,(2-27),（,2,）,然后将 代入式（,2-26,）求出应力分量：,先由方程（,2-27,）求出应力函数：,(2-26),（,3,）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件,（多连体问题）。,(2-28),（无体力情形）,3,）,应力函数 求解方法,（,1,）,逆解法,（,2,）,半逆解法,（,1,）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设各种满足相容方程（,2-27,）的,(,x,y,),的形式；,（,2,）,主要适用于,简单边界条件,的问题。,然后利用应力分量计算式（,2-26,），求出 （具有待定系数）；,（,3,）,再利用应力边界条件式（,2-18,），来考察这些应力函数,(,x,y,),对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数,(,x,y,),可以求解什么问题。,（,2,）,半逆解法,（,1,）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设部分应力分量 的某种函数形式；,（,2,）,根据 与应力函数,(,x,y,),的关系及 ，求出,(,x,y,),的形式；,（,3,）,最后利用式（,2-26,）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。,半逆解法的数学基础：,数理方程中分离变量法,。,5-4,几种平面问题的直角坐标解,一、多项式解答,适用性：,由一些直线边界构成的弹性体。,目的：,考察一些简单多项式函数作为应力函数,(,x,y,),，能解决什么样的力学问题。,逆解法,（,3,）,对应的应力分量：,若体力：,X,=,Y,=0,，则有：,其中：,a,、,b,、,c,为待定系数。,检验,(,x,y,),是否满足双调和方程：,显然,(,x,y,),满足双调和方程，因而可作为应力函数。,（,1,）,1.,一次多项式,（,2,）,结论,1,：,（,1,）,（,2,）,一次多项式对应于,无体力和无应力状态；,在该函数,(,x,y,),上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。,2.,二次多项式,（,1,）,其中：,a,、,b,、,c,为待定系数。,(,假定：,X,=,Y,=0;,a,0,b,0,c,0),检验,(,x,y,),是否满足双调和方程，显然有,（,2,）,(,可作为应力函数,),3,）,由式（,2-26,）计算应力分量：,x,y,2,c,2,c,2,a,2,a,结论,2,：,二次多项式对应于,均匀应力分布。,x,y,x,y,试求图示板的应力函数。,例：,x,y,3.,三次多项式,（,1,）,其中,:,a,、,b,、,c,、,d,为待定系数。,检验,(,x,y,),是否满足双调和方程，显然有,（,2,）,(,可作为应力函数,),(,假定：,X,=,Y,=0),（,3,）,由式（,2-26,）计算应力分量：,结论,3,：,三次多项式对应于,线性应力分布。,讨论：,可算得：,x,y,1,l,l,图示梁对应的边界条件：,M,M,可见：,对应于矩形截面梁的,纯弯曲问题,应力分布。,(1),由梁端部的边界条件：,(2),可见：,此结果与材力中结果相同，,说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。,常数,d,与弯矩,M,的关系：,x,y,1,l,l,M,M,说明：,(1),组成梁端力偶,M,的面力,须线性分布,，且中心处为零，结果才是,精确的,。,(2),若按其它形式分布，如：,则此结果不精确，有误差；,但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。,(3),当,l,远大于,h,时，误差较小；反之误差较大。,4.,四次多项式,（,1,）,检验,(,x,y,),是否满足双调和方程,（,2,）,代入：,得,可见，对于函数：,其待定系数，须满足下述关系才能作为应力函数：,（,3,）,应力分量：,应力分量为,x,、,y,的二次函数。,（,4,）,特例：,（须满足：,a,+,e,=0,）,总结：,（多项式应力函数 的性质）,（,1,）,多项式次数,n,4,时，则系数可以任意选取，总可满足 。,多项式次数,n,4,时，则系数,须满足,一定条件，才能满足 。,多项式次数,n,越高，则系数间需满足的条件越多。,（,2,）,一次多项式，对应于,无体力和无应力状态；,任意应力函数,(,x,y,),上加上或减去一个,一次多项式,，对应力无影响。,二次多项式,，对应,均匀应力,状态，即全部应力为常量；,三次多项式,，对应于,线性分布应力,。,（,3,）,（,4,）,用多项式构造应力函数,(,x,y,),的方法,逆解法（只能解决简单,直线应力边界,问题）。,按应力求解平面问题，其基本未知量为：，本节说明如何由 求出形变分量、位移分量？,问题：,二、位移分量的求出,以纯弯曲梁为例，说明如何由 求出形变分量、位移分量？,x,y,l,1,h,M,M,1.,形变分量与位移分量,由前节可知，其应力分量为：,平面应力情况下的物理方程：,（,1,）形变分量,(a),将式（,a,）代入得：,(b),（,2,）位移分量,将式（,b,）代入几何方程得：,(c),（,2,）位移分量,(c),将式（,c,）前两式积分，得：,(d),将式,(d),代入,(c),中第三式，得：,式中：,为待定函数。,整理得：,（仅为,x,的函数）,（仅为,y,的函数）,要使上式成立，须有,(e),式中：,为常数。,积分上式，得,将上式代入式（,d,），得,(f),（,1,）,(f),讨论：,式中：,u,0,、,v,0,、,由位移边界条件确定。,当,x,=,x,0,=,常数,（,2,）位移分量,x,y,l,1,h,M,M,u,关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。,说明：,同一截面上的各铅垂线段转角相同,。,横截面保持平面,材力中“,平面保持平面,”的假设成立,。,（,2,）,将下式中的第二式对,x,求二阶导数：,说明：,在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即,材料力学中挠曲线微分方程,2位移边界条件的利用,（,1,）两端简支,(f),其边界条件：,将其代入,(f),式，有,将其代回,(f),式，有,(3-3),梁的挠曲线方程：,与材力中结果相同,（,2,）悬臂梁,(f),边界条件,h/2,h/2,由式（,f,）可知，此边界条件无法满足。,边界条件改写为：,（中点不动）,（轴线在端部不转动）,代入式（,f,），有,可求得：,(3-4),h/2,h/2,挠曲线方程：,与材料力学中结果相同,说明：,（,1,）,求位移的过程：,（,a,）将应力分量代入物理方程,（,b,）再将应变分量代入几何方程,（,c,）再利用位移边界条件，确定常数。,（,2,）,若为平面应变问题，则将材料常数E,、,作相应替换。,（,3,）,若取固定端边界条件为：,h/2,h/2,（中点不动）,（中点处竖向线段转角为零）,得到：,求得：,此结果与前面情形相同。,三、简支梁受均布载荷,要点,用,半逆解法,求解梁、长板类平面问题。,x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,1.,应力函数的确定,(1),分析：,主要由弯矩引起；,主要由剪力引起；,由,q,引起（挤压应力）。,又,q,=,常数，图示坐标系和几何对称，不随,x,变化。,推得：,(2),由应力分量表达式确定应力函数 的形式：,积分得：,(a),(b),任意的待定函数,x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h/2,q,(a),(b),任意的待定函数,(3),由 确定：,代入相容方程：,x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,方程的特点：,关于,x,的二次方程，且要求,l,x,l,内方程均成立。,由“高等代数”理论，须有,x,的一、二次的系数、自由项同时为零。即：,对前两个方程积分：,(c),此处略去了,f,1,(,y,),中的常数项,对第三个方程得：,积分得：,(d),(c),(d),x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,(a),(b),将,(c)(d),代入,(b),，有,(e),此处略去了,f,2,(,y,),中的一次项和常数项,式中含有,9个待定常数。,(e),2.,应力分量的确定,(f),(g),(h),3.,对称条件与边界条件的应用,(f),(g),(h),3.,对称条件与边界条件的应用,（,1,）对称条件的应用：,x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,由,q,对称、几何对称：,x,的偶函数,x,的奇函数,由此得：,要使上式对任意的,y,成立，须有：,x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,（,2,）边界条件的应用：,(a),上下边界（主要边界）：,由此解得：,代入应力公式,x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,(i),(j),(k),(b),左右边界（次要边界）：,（由于对称，只考虑右边界即可。）,难以满足，需借助于圣维南原理。,静力等效条件：,轴力,N,=0,；,弯矩,M,=0,；,剪力,Q,=,ql,；,(i),(j),(k),可见，这一条件自动满足。,x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,(,p,),截面上的应力分布：,三次抛物线,4.,与材料力学结果比较,x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,(,p,),4.,与材料力学结果比较,材力中几个参数,：,截面宽：,b,=1,截面惯矩：,静矩：,弯矩：,剪力：,将其代入式,(,p,),，有,（,3-6,）,x,y,l,l,ql,ql1,y,z,h,/2,h,/2,q,（,3-6,）,比较，得：,（,1,）,第一项与材力结果相同，为主要项。,第二项为修正项。当,h,/,l,1,，该项误差很小，可略；当,h,/,l,较大时，须修正。,（,2,）,为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。,（,3,）,与材力中相同。,注意：,按式（,3-6,），梁的左右边界存在水平面力：,说明式（,3-6,）在两端不适用。,解题步骤小结：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计,某个应力分量,（）的变化形式。,由 与应力函数 的关系式（,2-26,），求得应力函数 的具体形式（具有待定函数）。,（,4,）,（,5,）,将具有待定函数的应力函数 代入相容方程：确定 中的待定函数形式。,由 与应力函数 的关系式（,2-26,），求得应力分量 。,由边界条件确定 中的待定常数。,用半逆解法求解,梁、矩形长板,类弹性力学平面问题的,基本步骤,：,应力函数法求解平面问题的基本步骤：,（,1,）,(2-27),（,2,）,然后将 代入式（,2-26,）求出应力分量：,先由方程（,2-27,）求出应力函数：,(2-26),（,3,）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,求解方法：,逆解法,（,1,）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设各种满足相容方程（,2-27,）的,(,x,y,),的形式；,（,2,）,然后利用应力分量计算式（,2-26,），求出 （具有待定系数）；,（,3,）,再利用应力边界条件式（,2-18,），来考察这些应力函数,(,x,y,),对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数,(,x,y,),可以求解什么问题。,半逆解法的数学基础：,数理方程中分离变量法,。,（,1,）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设部分应力分量 的某种函数形式；,（,2,）,根据 与应力函数,(,x,y,),的关系及 ，求出,(,x,y,),的形式；,（,3,）,最后利用式（,2-26,）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。,半逆解法,位移分量求解：,（,1,）,将已求得的应力分量,（,2,）,（,3,）,代入物理方程，求得应变分量,将应变分量,代入几何方程，并积分求得位移分量,表达式；,由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。,附：,应力函数确定的“材料力学方法”,要点：,利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个应力分量的函数形式。,适用性：,直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。,应力函数常可表示为：,设法由边界面力先确定 其中之一，然后将其代入 确定另外一个函数。,材力中，应力分量与梁内力的关系为：,式中：,M,(,x,),弯矩方程；,Q,(,x,),剪力方程。,当有横向分布力,q,(,x,),作用时，纵向纤维间存在挤压应力 ，,同时，横向分布力,q,(,x,),的挤压作用时，对轴向应力 也产生影响。,应力分量与梁内力的关系可表示为：,考虑挤压应力影响导致,然后由：,确定应力函数 的具体形式。,例：,悬臂梁，厚度为单位,1,，,=,常数。求：应力函数 及梁内应力。,x,y,O,b,l,解：,(1),应力函数的确定,x,Q,M,取任意截面，其内力如图：,取 作为分析对象，可假设：,（,a,）,f,(,y,),为待定函数,由 与应力函数 的关系，有：,（,b,）,对,x,积分一次，有：,对,y,再积分一次，有：,其中：,（,c,）,x,y,O,b,l,x,Q,M,（,c,）,由 确定待定函数：,（,d,）,要使上式对任意的,x,，,y,成立，有,（,e,）,（,f,）,由式（,e,）求得,（,g,）,由式（,f,）得,（,h,）,（,i,）,积分式（,h,）和（,i,）得,（,j,）,（,k,）,x,y,O,b,l,x,Q,M,(,l,),包含,9,个待定常数，由边界条件确定。,(2),应力分量的确定,(,m,),(3),利用边界条件确定常数,x,y,O,b,l,x,Q,M,(3),利用边界条件确定常数,(,o,),代入可确定常数为：,代入式（,m,）得,x,y,O,b,l,x,Q,M,注：,也可利用,M,（,x,）,=,0,，考虑,进行分析。此时有：,为待定函数，由相容方程确定。,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,剪力：,可假设剪应力：,四、楔形体受重力和液体压力,要点,半逆解法,（因次或量纲分析法）,x,y,O,问题的提法：,楔形体，下部可无限延伸。,侧面受水压作用：,（水的容重）；,自重作用：,（楔形体的容重）；,求：楔形体应力分布规律 。,1.,应力函数及应力分量,(1),分析：,(a),的量纲为：,的形式应为：,的线性组合。,的量纲为：,(b),由 推理得：,应为,x,、,y,的三次函数。,应力函数可假设为：,x,y,O,(2),应力分量,考虑到：,X,=0,，,Y,=,（常体力）,(a),显然，上述应力函数满足相容方程。,2.,边界条件的利用,(1),x,=0,（应力边界）：,代入式（,a,），则应力分量为：,x,y,O,N,(b),(2),（应力边界）：,其中：,将,(b),代入，有,代入，可求得：,x,y,O,(b),代入式（,b,），有：,(3-7),李维（,Levy,）解答,沿水平方向的应力分布,与材力结果比较：,沿水平方向不变，在材力中无法求得。,沿水平方向线性分布，与材力中,偏心受压公式,算得结果相同。,沿水平方向,线性分布,，材力中为,抛物线分布,。,(3-7),李维（,Levy,）解答,x,y,O,沿水平方向的应力分布,结果的适用性：,（,1,）,当坝的横截面变化时，不再为,平面应变问题,，其结果误差较大。,（,2,）,假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际,坝高有限,，底部与基础相连，有,地基约束,，故,底部处结果误差较大,。,（,3,）,实际坝顶,非尖顶,，坝顶处有其它载荷，故,坝顶处结果误差较大,。,三角形重力坝的精确分析，常借助于,有限元数值方法,求解。,工程应用：,求使坝稳定时的角度 ，称为,安息角,。,因次分析法（量纲分析法）：,x,y,O,楔形体，下部可无限延伸。,侧面受水压作用：,（水的溶重）；,自重作用：,（楔形体的溶重）；,求：楔形体应力分布规律 。,分析思路：,(a),的量纲为：,的形式应为：,的线性组合。,的量纲为：,(b),由 推理得：,应为,x,、,y,的三次函数。,应力函数可假设为：,例：,图示矩形板，长为,l,，高为,h,，体力不计，试证以下函数是应力函数，并指出能解决什么问题。式中,k,、,q,为常数。,x,y,O,l,h,解：,(1),应力分量：,边界条件：,显然，上下边界无面力作用。,上下边界,(2),x,y,O,l,h,左边界,k,右边界,k,kl,结论：,可解决悬臂梁左端受集中力问题。,例：,图示矩形截面简支梁，长为,l,，高为,h,，受有三角形分布载荷作用，体力不计。试求其应力分布。,解：,（,1,）应力函数形式的确定,梁截面上弯矩和剪力为：,由材料力学方法可确定应力分量的,分离变量,形式取应力分量 分析，,取应力分量 与应力函数的关系：,对此式积分：,对此式积分：,为待定函数,（,2,）由相容方程确定待定函数,代入,要使上述方程对任意的,x,成立，有,(a),(b),(c),积分式（,a,），得,将上式代入（,b,）积分，得,积分式（,c,），得,(d),(e),(f),将求得的,代入应力函数，有,（,3,）计算应力分量,(g),(h),（,3,）利用边界条件确定待定常数,上边界,：,(i),(j),(k),下边界,：,(l),(m),(n),左边界,：,左边界,：,(o),(p),(q),(r),(s),(t),联立求解式（,i,）,（,t,）,可得具体的应力分量,。,注：,位移边界条件转化为应力边界条件。,（,1,）,（,2,）,试按材料力学中确定应力的方法，写出图示两梁所有应力分量形式。（含有待定函数）,课堂练习：,