初三中考模拟河北数学课题21等腰三角形可编辑.pptx

2019/12/16,#,总纲目录,河北考情探究基础知识梳理中考题型突破易混易错突破随堂巩固检测,栏目索引,课题21等腰三角形,基础,知识梳理,考点一 等腰三角形,考点,二 等,边三角形,考点,三 线段,的垂直平分线,考点四 角平分线,中考题型突破,题型一 考查等腰三角形的性质,题型二 考查等腰三角形的判定,题型三 考查线段的垂直平分线,题型四 考查角平分线的性质定理及其逆定理,易错在等腰三角形中求角时未进行分类讨论导致丢解,易混易错突破,考点,年份,题号,分值,考查方式,1.等腰三角形的性质,2018,23,9,以解答题的形式,与全等三角形相结合,考查等腰三角形的性质,2017,9,3,以选择题的形式,与菱形相结合,考查等腰三角形的性质与判定,2017,10,3,以选择题的形式,以轮船航行为问题情境,考查等腰三角形的性质与判定,2016,16,2,以选择题的形式,考查等边三角形的性质与判定,2.线段的垂直平分线,2018,8,3,以选择题的形式,与全等三角形相结合,考查线段垂直平分线与角平分线的知识,2017,18,3,以填空题的形式,与尺规作图相结合,考查线段垂直平分线的知识,2016,10,3,以选择题的形式,以尺规作图为问题情境,考查线段垂直平分线的知识,备考策略:本课题的内容作为一些基本知识点,考查学生对等腰三角形的掌握和理解情况.预计2019年中考试题可能与四边形或圆的知识相结合,考查等腰三角形的性质和判定.,河北考情探究,考点一等腰三角形,1.定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.,基础知识梳理,2.性质:,(1)等腰三角形的两,底,角相等.(简称“等边对等角”),(2)等腰三角形顶角的角平分线,底边上的中线,和,底边上的高,互,相重合.(简称“三线合一”),(3)等腰三角形是轴对称图形,顶角的角平分线或底边上的中线、底边上,的高,所在的直线是等腰三角形的对称轴.,3.判定:(1)定义判定.,(2)有两个角相等的三角形是,等腰,三角形.(简称“等角对等边”),考点二等边三角形,1.定义:三条边都相等的三角形叫做等边三角形.,2.性质:因为等边三角形是特殊的等腰三角形,所以等边三角形具有等腰三角,形的所有性质,其特殊性质如下:,(1)等边三角形的三条边相等.,(2)三个角相等,且都是,60,度.,(3)内、外心重合.,(4)等边三角形是轴对称图形,有,三,条对称轴.,3.判定:(1)三边都相等的三角形是等边三角形.,(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.,(3)有一个角是,60,度的,等腰,三角形是等边三角形.,考点三线段的垂直平分线,1.定义:垂直且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,2.线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离,相等,.,3.,线段垂直平分线的性质定理的逆定理,:,到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,.,2.角平分线的性质定理的逆定理:在角的内部到角两边的,距离,相等的,点在这个角的,平分线,上.,考点四角平分线,1.角平分线的性质定理:角平分线上的点到角,两边,的距离相等.,题型一考查等腰三角形的性质,该题型主要考查等腰三角形(包括等边三角形)的性质,主要内容包括:利用等,腰三角形的性质进行线段或角的计算,利用等腰三角形的性质进行推理等.,中考题型突破,典例1,(2018石家庄模拟)在,ABC,中,AB,=,AC,.,(1)如图,如果,BAD,=30,AD,是,BC,边上的高,AD,=,AE,则,EDC,=,15,;,(2)如图,如果,BAD,=40,AD,是,BC,边上的高,AD,=,AE,则,EDC,=,20,;,(3)思考:通过以上两题,你发现,BAD,与,EDC,之间有什么关系?请用式子表,示:,BAD,=2,EDC,.,(4)如图,如果,AD,不是,BC,边上的高,AD,=,AE,上述式子是否仍成立?如果是,请,你说明理由.,答案,(1)在,ABC,中,AB,=,AC,AD,是,BC,边上的高,CAD,=,BAD,=30,ADC,=90,.,AD,=,AE,ADE,=,AED,=,(180,-,CAD,)=,(180,-30,)=75,EDC,=,ADC,-,ADE,=90,-75,=15,.,故答案为15,.,(2)在,ABC,中,AB,AC,AD,是,BC,边上的高,CAD,=,BAD,=40,ADC,=90,.,AD,=,AE,ADE,=,AED,=,(180,-,CAD,)=,(180,-40,)=70,EDC,=,ADC,-,ADE,=90,-70,=20,.,故答案为20,.,(3),BAD,=2,EDC,(4)是,理由如下:,AD,=,AE,ADE,=,AED,BAD,+,B,=,ADC,=,ADE,+,EDC,=,AED,+,EDC,=(,EDC,+,C,)+,EDC,=2,EDC,+,C,.,又,AB,=,AC,B,=,C,BAD,=2,EDC,.,名师点拨,等腰三角形有两个重要的性质,这两个性质有着不同的适用范围,一般情况下,如果等腰三角形中出现了相等的边,那么可以利用等腰三角形的,性质得到相等的边所对的角相等,如果等腰三角形中出现了底边的中线、高,或顶角的平分线,那么可以利用“三线合一”的性质.,变式训练1,(2017邯郸丛台模拟)如图,已知,BD,平分,ABC,AB,=,AD,DE,AB,垂足为,E,.,(1)求证:,AD,BC,;,(2)若,DE,=6 cm,求点,D,到,BC,的距离;,当,ABD,=35,DAC,=2,ABD,时,求,BAC,的度数.,答案,(1)证明:,BD,平分,ABC,ABD,=,DBC,.,又,AB,=,AD,ADB,=,ABD,.,ADB,=,DBC,AD,BC,.,(2)过点,D,作,DF,BC,交,BC,的延长线于点,F,如图所示.,BD,平分,ABC,DE,AB,DF,BC,DF,=,DE,=6 cm.,BD,平分,ABC,ABC,=2,ABD,=70,.,DAC,=2,ABD,DAC,=70,AD,BC,ACB,=,DAC,=70,BAC,=180,-,ABC,-,ACB,=180,-70,-70,=40,.,题型二考查等腰三角形的判定,该题型主要考查利用等腰三角形(包括等边三角形)的定义与判定定理判定,等腰三角形.,典例2,(2018保定模拟)如图,AB,=,AC,BD,CD,分别平分,ABC,和,ACB,.问:,(1)图中有几个等腰三角形?,(2)在图的基础上,过点,D,作,EF,BC,交,AB,于点,E,交,AC,于点,F,如图,图中现,在增加了几个等腰三角形?,(3)如图,若将题中的,ABC,改为不等边三角形,其他条件不变,则图中有几,个等腰三角形?线段,EF,与,BE,CF,之间有什么关系,请加以证明.,答案,(1),AB,=,AC,ABC,=,ACB,且,ABC,是等腰三角形.,BD,CD,分别平分,ABC,和,ACB,DBC,=,ABC,=,ACB,=,DCB,BD,=,CD,BDC,是等腰三角形.,在图中共有2个等腰三角形.,(2)由(1)得,ABC,BDC,是等腰三角形.,EF,BC,EDB,=,DBC,.,BD,平分,ABC,DBE,=,DBC,.,DBE,=,EDB,BE,=,DE,BDE,为等腰三角形.,同理可得,CDF,为等腰三角形.,ABC,是等腰三角形,ABC,=,ACB,.,EF,BC,AEF,=,ABC,AFE,=,ACB,AEF,=,AFE,.,AEF,是等腰三角形,图中共有5个等腰三角形,比图增加了3个等腰三角形.,(3)同(2)可得,BDE,CDF,是等腰三角形.,ABC,不是等腰三角形,BDC,AEF,都不是等腰三角形,即图中有2个等腰三角形.,BDE,为等腰三角形,BE,=,DE,.,CDF,为等腰三角形,CF,=,DF,.,EF,=,DE,+,DF,=,BE,+,CF,名师点拨,本题的求解过程实际上验证了一个重要的结论:平行线遇上角平,分线,等腰三角形就出现,根据这个结论,就能非常轻松地得到,BDE,CDF,是等腰三角形,为解题提供了极大的便利.,变式训练2,(2016河北中考)如图,AOB,=120,OP,平分,AOB,且,OP,=2.若点,M,N,分别在,OA,OB,上,且,PMN,为等边三角形,则满足上述条件的,PMN,有,(D ),A.1个B.2个,C.3个D.3个以上,答案,D如图所示,过点,P,分别作,OA,OB,的垂线,垂足分别为,C,D,连接,CD,易,知,PCD,为等边三角形.在,OC,DB,上分别取点,M,N,使,CM,=,DN,则,PCM,PDN,(SAS),CPM,=,DPN,PM,=,PN,MPN,=60,则,PMN,为等边三角形,满足,CM,=,DN,的,M,N,有无数个,满足题意的三角形有无数个.,题型三考查线段的垂直平分线,该题型主要考查线段垂直平分线的知识,主要内容包括:根据线段垂直平分线,的性质定理及其逆定理进行线段或角的计算,根据线段垂直平分线的性质定,理及其逆定理进行推理等.,典例3,(2017唐山乐亭模拟)如图,在,ABC,中,C,=90,AB,的垂直平分线,DE,交,AC,于点,D,垂足为,E,若,A,=30,CD,=3.,(1)求,BDC,的度数;,(2)求,AC,的长度.,答案,(1),AB,的垂直平分线,DE,交,AC,于点,D,垂足为,E,AD,=,BD,ABD,=,A,=30,BDC,=,ABD,+,A,=2,A,=60,.,(2),C,=90,BDC,=60,CBD,=90,-,BDC,=90,-60,=30,BD,=2,CD,=2,3=6,AD,=,BD,=6,AC,=,AD,+,CD,=6+3=9.,名师点拨,利用线段的垂直平分线的性质可以得到两条相等的线段,进而利,用等腰三角形的性质可以推出它们所对的角也相等.,变式训练3,(2016河北中考)如图,已知钝角三角形,ABC,依下列步骤尺规作,图,并保留作图痕迹.,步骤1:以点,C,为圆心,CA,的长为半径画弧;,步骤2:以点,B,为圆心,BA,的长为半径画弧,交弧于点,D,;,步骤3:连接,AD,交,BC,的延长线于点,H,.,下列叙述正确的是,(A ),A.,BH,垂直平分线段,AD,B.,AC,平分,BAD,C.,S,ABC,=,BC,AH,D.,AB,=,AD,答案,A由作图可知点,B,C,到线段,AD,的两个端点的距离分别相等,点,B,C,都在线段,AD,的垂直平分线上,即,BC,所在的直线垂直平分线段,AD,.故选A.,题型四考查角平分线的性质定理及其逆定理,该题型主要考查角平分线的性质定理及其逆定理,主要内容包括:根据角平分,线的性质定理及其逆定理进行线段或角的计算,根据角平分线的性质定理及,其逆定理进行推理等.,典例4,(2018衡水模拟)如图,在,ABC,中,ABC,的平分线与,ACB,的外角的,平分线相交于点,P,连接,AP,.,(1)求证:,AP,平分,BAC,的外角,CAM,;,(2)过点,C,作,CE,AP,E,是垂足,并延长,CE,交,BM,于点,D,.求证:,CE,=,ED,.,答案,(1)过点,P,作,PT,BC,于点,T,PS,AC,于点,S,PQ,BA,于点,Q,如图,在,ABC,中,ABC,的平分线与,ACB,的外角的平分线相交于点,P,PQ,=,PT,PS,=,PT,PQ,=,PS,AP,平分,DAC,即,AP,平分,BAC,的外角,CAM,.,(2),AP,平分,BAC,的外角,CAM,DAE,=,CAE,.,CE,AP,AED,=,AEC,=90,.,在,AED,和,AEC,中,AED,AEC,CE,=,ED,.,名师点拨,本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质及判定的应用,解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步证明出,PQ,=,PS,和,AED,AEC,注意:角平分线上的点到角两边的距离相等.,变式训练4,(2018沧州模拟)如图,在Rt,ABC,中,C,=90,AC,=3,BC,=4,ABC,的平分线交边,AC,于点,D,延长,BD,至点,E,且,BD,=2,DE,连接,AE,.,(1)求线段,CD,的长;,(2)求,ADE,的面积.,答案,(1)过点,D,作,DH,AB,垂足为,H,如图.,BD,平分,ABC,C,=90,设,DH,=,CD,=,x,则,AD,=3-,x,.,C,=90,AC,=3,BC,=4,根据勾股定理,得,AB,=5.,sin,BAC,=,=,=,解得,x,=,即,CD,=,.,(2),S,ABD,=,AB,DH,=,5,=,.,BD,=2,DE,=,=2,S,ADE,=,S,ABD,=,.,易错在等腰三角形中求角时未进行分类讨论导致丢解,典例,已知等腰三角形的一个角是70,则这个等腰三角形另外两个角的度,数分别是,.,易混易错突破,易错警示,已知等腰三角形的一个角为,求其他两个角的度数时,首先应分,析是否需要分类讨论,一般分为三种情况:(1)如果题目中已经指明角,是等腰,三角形的顶角或底角,则不需分类讨论;(2)当角,是直角或钝角时,角,一定是,等腰三角形的顶角,则不需分类讨论;(3)当角,是锐角且未指明其是等腰三角,形的顶角还是底角时,则必须分类讨论,否则将会出现丢解的错误.,解析当这个70,的角是底角时,该等腰三角形的顶角为180,-70,2=40,故另,外两个角的度数分别是70,40,;,当这个70,的角是顶角时,该等腰三角形的底角为,(180,-70,)=55,故另外两,个角的度数分别是55,55,.,综上所述,这个等腰三角形另外两个角的度数分别是70,40,或55,55,.,答案,70,40,或55,55,1.已知某等腰三角形的一个外角等于100,则这个等腰三角形底角的度数为,(C ),A.45,B.50,C.80,或50,D.45,或50,随堂巩固检测,2.如图,在,ABC,中,AB,=,AC,D,为,BC,的中点,BAD,=35,则,C,的度数为,(C ),A.35,B.45,C.55,D.60,3.如图,ABC,是等边三角形,D,E,F,分别是,AB,AC,BC,的中点,则图中等边三角,形共有,(C ),A.3个B.4个C.5个D.6个,4.如图,在,ABC,中,已知,AB,=,AC,DE,垂直平分,AC,且,AC,=8,BC,=6,则,BDC,的周,长为,(D ),A.20B.22C.10D.14,5.如图,在,ABC,中,A,=36,B,=72,AC,的垂直平分线分别交,AC,AB,于,点,D,E,则图中等腰三角形的个数为(B ),A.2B.3C.4D.5,6.如图,点,O,在,ABC,内,且到三边的距离相等,若,A,=60,则,BOC,=,120,.,7.在,ABC,中,A,=100,当,B,=,40,时,ABC,是等腰三角形.,8.如图,ABC,的边,BC,的垂直平分线,MN,交,AC,于,D,若,ADB,的周长是10 cm,AB,=4 cm,则,AC,=,6,cm.,9.如图,在,ABC,中,BC,=,AC,ACB,=90,D,是,AC,上一点,AE,BD,交,BD,的延长,线于点,E,且,AE,=,BD,求证:,BD,平分,ABC,.,答案,延长,AE,BC,交于点,F,如图所示.,AE,BE,BEF,=90,.,又,ACF,=,ACB,=90,ADE,=,BDC,DBC,=,FAC,.,在,ACF,和,BCD,中,ACF,BCD,AF,=,BD,.,又,AE,=,BD,AE,=,AF,AE,=,EF,即,E,是,AF,的中点.,又,AE,BD,直线,BE,是线段,AF,的垂直平分线,BD,平分,ABC,.,