广东汕头潮阳区2025届数学高一下期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

广东汕头潮阳区2025届数学高一下期末学业质量监测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布每天织布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．直线xy+1=0的倾斜角是（　　）
A．30° B．60°
C．120° D．150°
3．在三棱柱中，已知,，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）.
A． B． C． D．
4．某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第1组至第3组抽出的号码依次是（ ）
A．3，8，13 B．2，7，12 C．3，9，15 D．2，6，12
5．如图，平面ABCD⊥平面EDCF，且四边形ABCD和四边形EDCF都是正方形，则异面直线BD与CE所成的角为（　 　）

A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，则点在直线上的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．某学校从编号依次为01，02，…，72的72个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为12，21，则该样本中来自第四组的学生的编号为（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
10．圆被轴所截得的弦长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，则__________．
12．定义为数列的均值,已知数列的均值,记数列的前项和是,若对于任意的正整数恒成立,则实数k的取值范围是________．
13．设，，，则，，从小到大排列为______
14．如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，给出下列结论：

①；
②直线平面；
③平面平面；
④异面直线与所成角为；
⑤直线与平面所成角的余弦值为.
其中正确的有_______（把所有正确的序号都填上）
15．若等比数列的各项均为正数，且，则等于__________．
16．已知数列满足且，则____________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知长方体中, ，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）写出点的坐标；
（2）求线段的长度；
（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．
18．已知，，其中，，且函数在处取得最大值.
（1）求的最小值，并求出此时函数的解析式和最小正周期；
（2）在(1)的条件下，先将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，得到函数的图像.若在区间上，方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（3）在(1)的条件下，已知点P是函数图像上的任意一点，点Q为函数图像上的一点，点，且满足，求的解集.
19．某高中为了选拔学生参加“全国高中数学联赛”，先在本校进行初赛（满分150分），随机抽取100名学生的成绩作为样本，并根据他们的初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这次初赛成绩的平均数、中位数、众数.
20．在等差数列{an}中，2a9＝a12+13，a3＝7，其前n项和为Sn．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和Tn，并证明Tn＜．
21．假设关于某设备的使用年限x和支出的维修费y(万元)有如下表的统计资料

(1)画出数据的散点图，并判断y与x是否呈线性相关关系
(2)若y与x呈线性相关关系，求线性回归方程的回归系数，
(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少?
参考公式及相关数据:

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
试题分析：设该女子第一天织布尺，则，解得，所以前天织布的尺数为，由，得，解得的最小值为，故选B．
考点：等比数列的应用．
2、D
【解析】
首先求出直线的斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】
直线xy+1=0的斜率，
设其倾斜角为θ（0°≤θ<180°），
则tan，
∴θ=150°
故选：D
本题考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题.
3、A
【解析】
试题分析：直三棱柱的各项点都在同一个球面上，如图所示，所以中，，所以下底面的外心为的中点，同理，可得上底面的外心为的中点，连接，则与侧棱平行，所以平面，再取的中点，可得点到的距离相等，
所以点是三棱柱的为接球的球心，因为直角中，，所以，即外接球的半径，因此三棱柱外接球的体积为，故选A.

考点：组合体的结构特征；球的体积公式.
【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
4、B
【解析】
根据系统抽样原理求出抽样间距，再根据第5组抽出的号码求出第1组抽出的号码，即可得出第2组、第3组抽取的号码．
【详解】
根据系统抽样原理知，抽样间距为200÷405，
当第5组抽出的号码为22时，即22=4×5+2，
所以第1组至第3组抽出的号码依次是2，7，1．
故选：B．
本题考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题．
5、C
【解析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD与CE所成的角．
【详解】
∵平面ABCD⊥平面EDCF，且四边形ABCD和四边形EDCF都是正方形，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝1，则B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，0），E（0，0，1），
（﹣1，﹣1，0），（0，﹣1，1）
设异面直线BD与CE所成的角为θ，
则cosθ，
∴θ．
∴异面直线BD与CE所成的角为．
故选：C．

【点评】
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6、A
【解析】
分析：利用余弦的二倍角公式可得，进而利用同角三角基本关系，使其除以，转化成正切，然后把的值代入即可．
详解：由题意得.
∵
∴
故选A.
点睛：本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式．解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化．
7、C
【解析】
由及即可得解.
【详解】
由，可得.
故选C.
本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式，属于基础题.
8、B
【解析】
先求出点)的个数，然后求出点在直线上的个数，最后根据古典概型求出概率.
【详解】
点的个数为，其中点三点在直线上，所以点在直线上的概率为，故本题选B.
本题考查了古典概型概率的计算公式，考查了数学运算能力.
9、A
【解析】
根据相邻的两个组的编号确定组矩，即可得解.
【详解】
由题：样本中相邻的两个组的编号分别为12，21，所以组矩为9，
则第一组所取学生的编号为3，第四组所取学生的编号为30.
故选：A
此题考查系统抽样，关键在于根据系统抽样方法确定组矩，依次求得每组选取的编号.
10、C
【解析】
先计算圆心到轴的距离，再利用勾股定理得到弦长.
【详解】
，圆心为
圆心到轴的距离
弦长
故答案选C
本题考查了圆的弦长公式，意在考查学生的计算能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ；
【解析】
把分子的1换成，然后弦化切，代入计算．
【详解】
．
故答案为－1．
本题考查三角函数的化简求值．解题关键是“1”的代换，即，然后弦化切．
12、
【解析】
因为,,从而求出,可得数列为等差数列,记数列为,从而将对任意的恒成立化为,,即可求得答案.
【详解】
,
,
故,

,
则,对也成立,
,
则,
数列为等差数列,
记数列为.
故对任意的恒成立,可化为:,；
即,解得,,
故答案为:．
本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
13、
【解析】
首先利用辅助角公式，半角公式，诱导公式分别求出，，的值，然后结合正弦函数的单调性对，，排序即可.
【详解】
由题知，
，

，
因为正弦函数在上单调递增，
所以.
故答案为：.
本题考查了辅助角公式，半角公式，诱导公式，正弦函数的单调区间，属于基础题.
14、①③④⑤
【解析】
设出几何体的边长，根据正六边形的性质，线面垂直的判定定理，线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，异面直线所成角，线面角有关知识，对五个结论逐一分析，由此得出正确结论的序号.
【详解】
设正六边形长为，则.根据正六边形的几何性质可知，由平面得，所以平面，所以，故①正确.由于，而，所以直线平面不正确，故②错误.易证得,所以平面，所以平面平面，故③正确.由于,所以是异面直线与所成角，在中，，故，也即异面直线与所成角为，故④正确.连接，则，由①证明过程可知平面，所以平面，所以是所求线面角，在三角形中，，由余弦定理得，故⑤正确.综上所述，正确的序号为①③④⑤.

本小题主要考查线面垂直的判定，面面垂直的判定，考查线线角、线面角的求法，属于中档题.
15、50
【解析】
由题意可得，=，填50.
16、
【解析】
由题得为等差数列，得，则可求
【详解】
由题：为等差数列且首项为2，则，所以．
故答案为：2550
本题考查等差数列的定义，准确计算是关键，是基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），，；（2）线段的长度分别为；
（3）不垂直，理由见解析
【解析】
（1）由已知条件，利用长方体的结构特征，能求出点的坐标．
（2）直接利用两点间距离公式公式求解．
（3）求出，，计算数量积即可判断是否垂直.
【详解】
解：（1）两直线垂直，证明：由于为坐标原点，所以，
由得：
，
因为点N是AB的中点，点M是的中点，
，；
（2）由两点距离公式得：
，
；
（3）直线与直线不垂直，
理由：由（1）中各点坐标得：
，
，
与不垂直，
所以直线与直线不垂直.
本题考查空间中点的坐标的求法，考查线段长的求法，以及利用向量的坐标运算判断垂直，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
18、（1）的最小值为1，，，（2）（3）原不等式的解集为
【解析】
（1）先将化成正弦型，然后利用在处取得最大值求出，然后即可得到的解析式和周期
（2）先根据图象的变换得到，然后画出在区间上的图象，条件转化为的图象与直线有两个交点即可
（3）利用坐标的对应关系式，求出的函数的关系式，进一步利用三角不等式的应用求出结果．
【详解】
（1）因为，
所以

因为在处取得最大值.
所以，即
当时的最小值为1
此时，
（2）将的图像上的所有的点向右平移个单位得到的函数为，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的函数为，然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，得到函数
在区间上的图象为：

方程有两个不相等的实数根等价于的图象
与直线有两个交点
所以，解得
（3）设，
因为点，且满足
所以，所以
因为点为函数图像上的一点
所以
即
因为，所以
所以
所以
所以原不等式的解集为
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，平面向量的数量积的应用，三角不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．
19、（1）（2）平均数、中位数、众数依次为80，81，80
【解析】
（1）利用频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；
（2）由频率分布直方图，结合平均数、中位数、众数的计算方法，即可求解.
【详解】
（1）由频率分布直方图的性质，可得，解得.
（2）由频率分布直方图，结合平均数、中位数、众数的计算方法，
可得平均数为：
中位数为x，则，解得.
根据众数的概念，可得此频率分布直方图的众数为：80，
因此估计这次初赛成绩的平均数、中位数、众数依次为80，81，80.
本题主要考查了频率分布直方图的性质，平均数、中位数和众数的求解，其中解答中熟记频率分布直方图的相关知识是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20、（1）（2）见解析
【解析】
（1）等差数列{an}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）运用等差数列的求和公式，求得（），再由数列的裂项相消求和可得Tn，再由不等式的性质即可得证．
【详解】
（1）等差数列{an}的公差设为d，2a9＝a12+13，a3＝7，
可得2（a1+8d）＝a1+11d+13，a1+2d＝7，
解得a1＝3，d＝2，
则an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
（2）Snn（3+2n+1）＝n（n+2），
（），
前n项和Tn（1）
（1）（）．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21、（1）见解析；（2），；（3）12.38万元
【解析】
（1）在坐标系中画出5个离散的点；
（2）利用最小二乘法求出，再利用回归直线过散点图的中心，求出；
（3）将代入（2）中的回归直线方程，求得.
【详解】
（1）散点图如下：

所以从散点图年，它们具有线性相关关系.
（2），，
于是有，
.
（3）回归直线方程是
当时，（万元），
即估计使用年限为10年时，维修费用是万元.
本题考查散点图的作法、最小二乘法求回归直线方程及利用回归直线预报当时，的值，考查数据处理能力.