2025年四川省自贡市富顺县第二中学数学高一下期末达标测试试题含解析.doc

2025年四川省自贡市富顺县第二中学数学高一下期末达标测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知在角终边上，若，则（ ）
A． B．-2 C．2 D．
2．在学习等差数列时，我们由，，，，得到等差数列的通项公式是，象这样由特殊到一般的推理方法叫做（）
A．不完全归纳法 B．数学归纳法 C．综合法 D．分析法
3．等差数列{}中，＝2，＝7，则＝( )
A．10 B．20 C．16 D．12
4．下列极限为1的是（ ）
A．（个9） B．
C． D．
5．一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为( )
A． B． C． D．
6．函数y=2的最大值、最小值分别是(　　)
A．2，－2 B．1，－3 C．1，－1 D．2，－1
7．为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作之一，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦矢矢），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为（ ）

A．12平方米 B．16平方米 C．20平方米 D．24平方米
9．两条平行直线与间的距离等于（ ）
A． B．2 C． D．4
10．已知,是两个不同的平面,是两条不同的直线,下列命题中错误的是（ ）
A．若∥，， ，则
B．若∥ ， ， ，则
C．若，，,则⊥
D．若⊥，， ,,则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图中，，，，M为AB边上的动点，，D为垂足，则 的最小值为______；

12．设为虚数单位，复数的模为______．
13．对于数列，若存在，使得，则删去，依此操作，直到所得到的数列没有相同项，将最后得到的数列称为原数列的“基数列”.若，则数列的“基数列”的项数为__________________．
14．已知等差数列{an}的公差为d，且d≠0，其前n项和为Sn，若满足a1，a2，a5成等比数列，且S3＝9，则d＝_____，Sn＝_____.
15．已知直线l过定点,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l的方程为______.
16．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．的内角的对边为，
（1）求；
（2）若求．
18．已知，，当为何值时：
（1）与垂直；
（2）与平行.
19．在中，角，，的对边分别为，，.且满足.
（Ⅰ)求角；
（Ⅱ)若的面积为，，求边.
20．已知为锐角，且．
（I）求的值；
（II）求的值．
21．已知向量垂直于向量，向量垂直于向量.
（1）求向量与的夹角；
（2）设，且向量满足，求的最小值；
（3）在（2）的条件下，随机选取一个向量，求的概率.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
由正弦函数的定义求解．
【详解】
，显然，∴．
故选C．
本题考查正弦函数的定义，属于基础题．解题时注意的符号．
2、A
【解析】
根据题干中的推理由特殊到一般的推理属于归纳推理，但又不是数学归纳法，从而可得出结果.
【详解】
本题由前三项的规律猜想出一般项的特点属于归纳法，但本题并不是数学归纳法，因此，本题中的推理方法是不完全归纳法，故选：A.
本题考查归纳法的特点，判断时要区别数学归纳法与不完全归纳法，考查对概念的理解，属于基础题.
3D
【解析】
根据等差数列的性质可知第五项减去第三项等于公差的2倍，由=+5得到2d等于5，然后再根据等差数列的性质得到第七项等于第五项加上公差的2倍，把的值和2d的值代入即可求出的值,即可知=,故选D.
4、A
【解析】
利用极限的运算逐项求解判断即可
【详解】
对于A项，极限为1，对于B项，极限不存在，对于C项，极限为1．对于D项，，
故选：A．
本题考查的极限的运算及性质，准确计算是关键，是基础题
5、C
【解析】
过球心作垂直圆面于.连接与圆面上一点构造出直角三角形再计算球的半径即可.
【详解】
如图, 过球心作垂直圆面于,连接与圆面上一点.

则.故球的体积为.
故选：C
本题主要考查了球中构造直角三角形求解半径的方法等.属于基础题.
6、B
【解析】
根据余弦函数有界性确定最值.
【详解】
因为，所以，即最大值、最小值分别是1，－3，选B.
本题考查余弦函数有界性以及函数最值，考查基本求解能力，属基本题.
7、A
【解析】
由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【详解】
∵，故要得到的图象，
只需将函数y=sin2x，x∈R的图象向左平移个单位长度即可，
故选:A．
本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
8、C
【解析】
在中，由题意OA＝4，∠DAO＝，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．
【详解】
如图，由题意可得：∠AOB＝，OA＝6，
在中，可得：∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×6＝3，
可得：矢＝6﹣3＝3，
由AD＝AO＝6×＝3，
可得：弦＝2AD＝2×3＝6，
所以：弧田面积＝（弦×矢+矢2）＝（6×3+32）＝9+4.5≈20平方米．
故选：C

本题考查扇形的面积公式，考查数学阅读能力和数学运算能力，属于中档题．
9、C
【解析】
先把直线方程中未知数的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．
【详解】
解：两条平行直线与间，
即两条平行直线与，
故它们之间的距离为，
故选：．
本题主要考查两条平行直线间的距离公式应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．
10、A
【解析】
根据平面和直线关系，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 若，， ，则

如图所示情况，两直线为异面直线，错误
其它选项正确.
故答案选A
本题考查了直线平面的关系，找出反例是解题的关键.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
以为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出的值，然后利用换元法求解出对应的最小值即可.
【详解】
如图所示，设，所以，
根据条件可知：，所以，
设，，，
所以，所以，
所以，

所以当时，有最小值，最小值为.
故答案为：.

本题考查利用坐标法以及换元法求解最值，着重考查逻辑推理和运算求解的能力，属于较难题
(1)利用换元法求解最值时注意，换元后新元的取值范围；
(2)三角函数中的一组“万能公式”：，.
12、5
【解析】
利用复数代数形式的乘法运算化简，然后代入复数模的公式，即可求得答案．
【详解】
由题意，复数，则复数的模为．
故答案为5
本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数模的计算，其中熟记复数的运算法则，和复数模的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
13、10
【解析】
由题意可得,只需计算所有可能取值的个数即可.
【详解】
因为求的可能取值个数,由周期性,故只需考虑的情况即可.
此时.一共19个取值,故只需分析
,
又由,故,
,即不同的取值个数一共为个.即“基数列”分别为和共10项.
故答案为10
本题主要考查余弦函数的周期性.注意到随着的增大的值周期变化,故只需考虑一个周期内的情况.
14、2 n2.
【解析】
由已知列关于首项与公差的方程组，求解可得首项与公差，再由等差数列的前项和求解.
【详解】
由题意，有，即，解得，
所以.
故答案为：，.
本题考查等差数列的通项公式与前项和，考查等比数列的性质，属于基础题.
15、或.
【解析】
设直线的方程为，利用已知列出方程，①和②，解方程即可求出直线方程
【详解】
设直线的方程为.
因为点在直线上，
所以①.
因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,
所以②.
由①②可知或
解得或
故直线的方程为或，
即或.
本题考查截距式方程和直线与坐标轴形成的三角形面积问题，属于基础题
16、分层抽样.
【解析】
分析：由题可知满足分层抽样特点
详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样
故答案为分层抽样．
点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）； （2）.
【解析】
（1）由题目中告诉的，利用正弦定理则可得到，再结合余弦定理公式求出角的值．
（2）根据第一问求得的的值和题目中告诉的角的值可求得角的值，再利用正弦定理可求得边和的值．
【详解】
(1)由正弦定理，得，
由余弦定理，得，又
所以．
(2) 由（1）知：,又
所以，又，
根据正弦定理，得，
，
所以
本题考查利用正余弦定理求解边与角．
18、（1）；（2）
【解析】
根据向量坐标运算计算得到与的坐标
（1）由垂直关系得到数量积为，可构造方程求得；
（2）由向量平行的坐标表示可构造方程求得
【详解】
，
（1）由与垂直得：，解得：
（2）由与平行得：，解得：
本题考查平面向量平行和垂直的坐标表示；关键是能够明确两向量垂直可得；两向量平行可得.
19、（Ⅰ)；（Ⅱ)
【解析】
（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，结合范围，可得．（Ⅱ）由已知利用三角形的面积公式可得：，进而根据余弦定理可得的值．
【详解】
（Ⅰ)由得：
∴
∴ 又
∴，即.又，∴
（Ⅱ)∵的面积为，∴∴
又，
∴，即
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想．
20、（I）;（II）
【解析】
试题分析：（1）根据两角和差的正切公式，将式子展开，根据题干中的条件代入即可；（2）这是其次式的考查，上下同除以，得到正切的一个式子，根据题干中的正切值代入即可．
（I）
（II）因为，所以

21、（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）根据向量的垂直，转化出方程组，求解方程组即可；
（2）将向量赋予坐标，求得向量对应点的轨迹方程，将问题转化为圆外一点，到圆上一点的距离的最值问题，即可求解；
（3）根据余弦定理，解得，以及的临界状态时，对应的圆心角的大小，利用几何概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
（1）因为
故可得，
解得 ①
②
由①-②可得
，解得，
将其代入①可得，即
将其代入②可得
解得，又向量夹角的范围为，
故向量与的夹角为.
（2）不妨设，
由
可得.
不妨设的起始点为坐标原点，终点为C.
因此，点C落在以)为圆心，1为半径的圆上（如图）.

因为，即
由圆的特点可知的最小值为，
即：.
（3）当时，因为，，满足勾股定理，
故容易得.
当时，假设此时点落在如图所示的F点处.如图所示.
因为，由余弦定理容易得
，故.

所以，本题化为，在半圆上任取一点C，点C落在弧CF上的概率.
由几何概型的概率计算可知：
的概率即为圆心角的弧度除以，
即.
本题考查向量垂直时数量积的表示，以及利用解析的手段解决向量问题的能力，还有几何概型的概率计算，涉及圆方程的求解，以及余弦定理.本题属于综合题，值得总结.