2024-2025学年广东省深圳市高级中学高一数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

2024-2025学年广东省深圳市高级中学高一数学第二学期期末达标检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，（，，分别为角、、的对边），则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
2．在中，，设向量与的夹角为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人,为调查身体健康状况,需要从中抽取一个容量为的样本，用分层抽样方法抽取进行调查，样本中的中年人为6人,则和的值不可以是下列四个选项中的哪组（ ）
A． B．
C． D．
4．等比数列中，，则等于( )
A．16 B．±4 C．-4 D．4
5．已知点、、在圆上运动，且，若点的坐标为，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是，则( )

A． B． C． D．
7．如图所示，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是60m，则河流的宽度等于（ ）

A．m B．m C．m D．m
8．用数学归纳法证明的过程中，设，从递推到时，不等式左边为（）
A． B．
C． D．
9．已知直线与直线垂直，则（ ）
A． B． C．或 D．或
10．设正项等比数列的前项和为，若，，则公比（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设满足约束条件，则目标函数 的最大值为______．
12．过点作圆的两条切线，切点分别为，则= .
13．已知向量，，则向量与夹角的余弦值为__________.
14．若函数图象各点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位，得到的函数图象离原点最近的的对称中心是______．
15．记为等差数列的前项和，若，则___________.
16．若（），则_______（结果用反三角函数值表示）．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． 已知四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点．

(Ⅰ)求证：PC∥平面EBD；
(Ⅱ)求证：平面PBC⊥平面PCD．
18．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，且，，三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
19．解答下列问题：
（1）求平行于直线3x+4y- 2=0,且与它的距离是1的直线方程；
（2）求垂直于直线x+3y -5=0且与点P( -1,0)的距离是的直线方程.
20．己知函数．
（1）若，，求；
（2）当为何值时，取得最大值，并求出最大值．
21．如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
利用二倍角公式，正弦定理，结合和差公式化简等式得到，得到答案.
【详解】

故答案选B
本题考查了正弦定理，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.
2、A
【解析】
根据向量与的夹角的余弦值，得到，然后利用正弦定理，表示出，根据的范围，得到的范围.
【详解】
因为向量与的夹角为，且，
所以，
在中，由正弦定理，
得，所以，
因为，所以，
所以.
故选：A.
本题考查向量的夹角，正弦定理解三角形，求正弦函数的值域，属于简单题.
3、B
【解析】
根据分层抽样的规律，计算和的关系为： ，将选项代入判断不符合的得到答案.
【详解】
某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人,
样本中的中年人为6人，则老年人为： 青年人为：

代入选项计算，B不符合
故答案为B
本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力.
4、D
【解析】
分析：利用等比中项求解．
详解：，因为为正，解得．
点睛：等比数列的性质：若，则．
5、C
【解析】
由题意可知为圆的一条直径，由平面向量加法的平行四边形法则可得（为坐标原点），然后利用平面向量模的三角不等式以及圆的几何性质可得出的最大值.
【详解】
如下图所示：

，为圆的一条直径，
由平面向量加法的平行四边形法则可得（为坐标原点），
由平面向量模的三角不等式可得，
当且仅当点的坐标为时，等号成立，
因此，的最大值为.
故选：C.
本题考查向量模的最值问题，涉及平面向量模的三角不等式以及圆的几何性质的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
6、C
【解析】
根据题意即可算出每个直角三角形的面积，再根据勾股定理和面积关系即可算出三角形的两条直角边．从而算出
【详解】
由题意得直角三角形的面积,设三角形的边长分别为，则有
，所以，所以
，选C.
本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中，正弦、余弦的计算，属于基础题．
7、A
【解析】
在直角三角形中，利用锐角三角函数求出的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数求出的长，最后利用进行求解即可.
【详解】
在直角三角形中，.
在直角三角形中，
.
所以有.
故选：A

本题考查了锐角三角函数的应用，考查了数学运算能力.
8、C
【解析】
比较与时不等式左边的项，即可得到结果
【详解】

因此不等式左边为，选C.
本题考查数学归纳法，考查基本分析判断能力，属基础题
9、D
【解析】
由垂直，可得，即可求出的值.
【详解】
直线与直线垂直，，解得或.
故选D.
对于直线：和直线：，
① ；
② .
10、D
【解析】
根据题意，求得结合，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，正项等比数列满足，，
即，，所以，
又由，因为，所以.
故选：D.
本题主要考查了的等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、7
【解析】
首先画出可行域，然后判断目标函数的最优解，从而求出目标函数的最大值.
【详解】
如图，画出可行域，

作出初始目标函数，平移目标函数，当目标函数过点时，目标函数取得最大值，
，解得,

.
故填：7.
本题考查了线性规划问题，属于基础题型.
12、
【解析】
如图，连接，在直角三角形中，所以，，，故.

考点：1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积.
13、
【解析】
先求出，再求，最后代入向量的夹角公式即得解.
【详解】
由题得
所以向量与夹角的余弦值为.
故答案为
(1)本题主要考查向量的夹角的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：,方法二：设=,=，为向量与的夹角，则.
14、
【解析】
由二倍角公式化简函数式，然后由三角函数图象变换得新解析式，结合正弦函数性质得对称中心．
【详解】
由题意，经过图象变换后新函数解析式为，由，，，绝对值最小的是，因此所求对称中心为．
故答案为：．
本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数的性质，考查二倍角公式，掌握正弦函数性质是解题关键．
15、100
【解析】
根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.
【详解】
得

本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键．
16、
【解析】
根据反三角函数以及的取值范围，求得的值.
【详解】
由于，所以，所以.
故答案为：
本小题主要考查已知三角函数值求角，考查反三角函数，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ)见解析 (Ⅱ)见解析
【解析】
试题分析：（1）连，与交于，利用三角形的中位线，可得线线平行，从而可得线面平行；
（2）证明，即可证得平面平面．
试题解析：(Ⅰ)连接AC交BD与O，连接EO,
∵E、O分别为PA、AC的中点，
∴EO∥PC，
∵PC⊄平面EBD，EO⊂平面EBD
∴PC∥平面EBD
(Ⅱ)∵PD⊥平面ABCD, BC⊂平面ABCD，
∴PD⊥BC，∵ABCD为正方形，∴BC⊥CD，
∵PD∩CD＝D, PD、CD⊂平面PCD
∴BC⊥平面PCD，又∵BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PCD.
【点睛】本题考查线面平行，考查面面平行，掌握线面平行，面面平行的判定方法是关键．
18、（1）；（2）；（3）．
【解析】
（1）根据，，三点共线，列出向量与共线的表达式，然后根据坐标求解即可；
（2）根据，列坐标即可求解；
（3）根据平行四边形可以推出对边的向量相等，根据向量相等代入坐标求解即可求出点的坐标.
【详解】
（1），
∵，，三点共线，
∴存在实数，使得，即，
得，
∵，是平面内两个不共线的非零向量，
∴，解得，；
（2）；
（3）∵，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，
∴，
设，则，
∵，∴，解得，
即点的坐标为．
本题主要考查了平面向量共线，平面向量的线性运算，平面向量的相等，属于一般题.
19、（1）3x+4y+3=1或3x+4y-7=1 (2) 3x-y+9=1或3x-y-3=1
【解析】
试题分析：（1）将平行线的距离转化为点到线的距离，用点到直线的距离公式求解；（2）由相互垂直设出所求直线方程，然后由点到直线的距离求解.
试题解析：解：（1）设所求直线上任意一点P（x，y），由题意可得点P到直线的距离等于1，即，∴3x+4y-2=±5，即3x+4y+3=1或3x+4y-7=1．
（2）所求直线方程为，由题意可得点P到直线的距离等于，即，∴或，即3x-y+9=1或3x-y-3=1．
考点：1.两条平行直线间的距离公式；2.两直线的平行与垂直关系
20、（1）；（1），1.
【解析】
（1）由题得，再求出x的值；（1）先化简得到，再利用三角函数的性质求函数的最大值及此时x的值.
【详解】
（1）令，则，
因为，所以．
（1），
当，即时，的最大值为1．
本题主要考查解简单的三角方程，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
21、（1）24；（2）8
【解析】
（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长．
（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．
【详解】
(1) 在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°
由正弦定理得

(2) 在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°，解得CD=．
所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile．
点睛：解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.