信阳市重点中学2025年数学高一下期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

信阳市重点中学2025年数学高一下期末学业质量监测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在的二面角内，放置一个半径为3的球，该球切二面角的两个半平面于A，B两点，那么这两个切点在球面上的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域是（ ）．
A． B． C． D．
3．三边，满足，则三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
4．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的（ ）

A．0 B．2 C．4 D．14
5．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，,则的值为( )
A． B． C． D．
6．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A． B． C． D．
7．在中，若，则的面积为( ).
A．8 B．2 C． D．4
8．以下现象是随机现象的是
A．标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾
B．长和宽分别为a，b的矩形，其面积为
C．走到十字路口，遇到红灯
D．三角形内角和为180°
9．已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则
A． B．
C．− D．
10．已知函数，下列结论不正确的是（   ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间内单调递减
C．函数的图象关于轴对称
D．把函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌粒种子中抽取粒进行检测，现将这粒种子编号如下，，，，若从随机数表第行第列的数开始向右读，则所抽取的第粒种子的编号是 ．（下表是随机数表第行至第行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
12．已知等差数列的前项和为，若，则_______．
13．已知角的终边经过点，则的值为__________．
14．在等差数列中，，，则 ．
15．已知向量满足，则与的夹角的余弦值为__________．
16．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知等差数列的前n项和为，关于x的不等式的解集为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和.
18．一扇形的周长为20，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
19．如图所示，已知三棱锥的侧棱长都为1，底面ABC是边长为的正三角形．

（1）求三棱锥的表面积；
（2）求三棱锥的体积．
20．已知数列满足：
（1）设数列满足，求的前项和：
（2）证明数列是等差数列，并求其通项公式；
21．已知等差数列满足．
（1） 求的通项公式；
（2） 设等比数列满足,求的前项和．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据题意，作出截面图，计算弧长即可.
【详解】
根据题意，作出该球过球心且经过A、B的截面图如下所示：

由题可知：
则，
故满足题意的最短距离为弧长BA，
在该弧所在的扇形中，弧长.
故选：A.
本题考查弧长的计算公式，二面角的定义，属综合基础题.
2、C
【解析】
函数的定义域即让原函数有意义即可；原式中有对数，则
故得到定义域为 .
故选C.
3、C
【解析】
由基本不等式得出，将三个不等式相加得出，由等号成立的条件可判断出的形状．
【详解】
为三边，，由基本不等式可得，
将上述三个不等式相加得，当且仅当时取等号，
所以，是等边三角形，故选C．
本题考查三角形形状的判断，考查基本不等式的应用，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”条件的应用，考查推理能力，属于中等题．
4、B
【解析】
由a=14，b=18，a＜b，
则b变为18﹣14=4，
由a＞b，则a变为14﹣4=10，
由a＞b，则a变为10﹣4=6，
由a＞b，则a变为6﹣4=1，
由a＜b，则b变为4﹣1=1，
由a=b=1，
则输出的a=1．
故选B．
5、B
【解析】
先利用面积公式得到，再利用余弦定理得到
【详解】

余弦定理：

故选B
本题考查了面积公式和余弦定理，意在考查学生的计算能力.
6、B
【解析】
首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.
【详解】
由三点共线，从而得到，
因为，
解得，即，
所以，故选B.
该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.
7、C
【解析】
由正弦定理结合已知，可以得到的关系，再根据余弦定理结合
，可以求出的值，再利用三角形面积公式求出三角形的面积即可.
【详解】
由正弦定理可知：，而所以有，由余弦定理可知：，所以，
因此的面积为，故本题选C.
本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力.
8、C
【解析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
A. 标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾,是必然事件；
B. 长和宽分别为a，b的矩形，其面积为，是必然事件；
C. 走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；
D. 三角形内角和为180°，是必然事件.
故选C
本题主要考查必然事件、随机事件的定义与判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
9、A
【解析】
由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．
【详解】
直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，
∴，
故选A．
本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．
10、D
【解析】
利用余弦函数的性质对A、B、C三个选项逐一判断，再利用平移“左加右减”及诱导公式得出，进而得出答案．
【详解】
由题意，函数其最小正周期为，故选项A正确；
函数在上为减函数，故选项B正确；
函数为偶函数，关于轴对称，故选项C正确
把函数的图象向左平移个单位长度可得，所以选项D不正确．
故答案为D
本题主要考查了余弦函数的性质，以及诱导公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】
试题分析：依据随机数表，抽取的编号依次为785,567,199，1．第四粒编号为1．
考点：随机数表．
12、
【解析】
先由题意，得到，求出，再由等差数列的性质，即可得出结果.
【详解】
因为等差数列的前项和为，若，
则，所以，
因此.
故答案为：
本题主要考查等差数列的性质的应用，熟记等差数列的求和公式，以及等差数列的性质即可，属于常考题型.
13、
【解析】
按三角函数的定义，有.
14、8
【解析】
设等差数列的公差为，
则，
所以，故答案为8.
15、
【解析】
由得，结合条件，即可求出，的值，代入求夹角公式，即可求解．
【详解】
由得
与的夹角的余弦值为.
本题考查数量积的定义，公式的应用，求夹角公式的应用，计算量较大，属基础题．
16、0＜a≤或a．
【解析】
运用偶函数的性质，作出函数f（x）的图象，由5[f（x）]2﹣（5a+4）f（x）+4a＝0，解得f（x）＝a或f（x），结合图象，分析有且仅有6个不同实数根的a的情况，即可得到a的范围．
【详解】
函数是定义域为的偶函数，作出函数f（x）的图象如图：
关于x的方程5[f（x）]2﹣（5a+4）f（x）+4a＝0，
解得f（x）＝a或f（x），
当0≤x≤2时，f（x∈[0，]，x＞2时，f（x）∈（，）．
由，则f（x）有4个实根，
由题意，只要f（x）＝a有2个实根，
则由图象可得当0＜a≤时，f（x）＝a有2个实根，
当a时，f（x）＝a有2个实根．
综上可得：0＜a≤或a．
故答案为0＜a≤或a．．

本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查方程和函数的转化思想，运用数形结合的思想方法是解决的常用方法．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据不等式的解集，得到和，从而得到等差数列的公差，得到的通项公式；
（2）由（1）得到的的通项，得到的通项，利用等比数列的求和公式，得到答案.
【详解】
（1）因为关于x的不等式的解集为，
所以得到，，
所以，，
为等差数列，设其公差为，
所以，所以，
所以
（2）因为，所以
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
本题考查一元二次不等式解集与系数的关系，求等差数列的通项，等比数列求和，属于简单题.
18、；；
【解析】
设扇形的半径为，弧长为，利用周长关系，表示出扇形的面积，利用二次函数求出面积的最大值，以及圆心角的大小.
【详解】
设扇形的半径为，弧长为，则，即，
扇形的面积，将上式代入得
，
所以当且仅当时，有最大值，
此时，
可得，
所以当时，扇形的面积取最大值，最大值为
本题考查了扇形的弧长公式、面积公式以及二次函数的性质，需熟记扇形的弧长、面积公式，属于基础题.
19、（1）（2）
【解析】
（1）分析得到侧面均为等腰直角三角形，再求每一个面的面积即得解；（2）先证明平面SAB，再求几何体体积.
【详解】
（1）如图三棱锥的侧棱长为都为1，底面为正三角形且边长为，
所以侧面均为等腰直角三角形．
又，所以，
又，．

（2）因为侧棱SB，SA，SC互相垂直，平面SAB，
所以平面SAB，
．
本题主要考查线面位置关系的证明，考查面积和体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20、（1）（2）证明见解析,
【解析】
（1）令n=1，即可求出，计算出，利用错位相减求出。
（2）利用公式 化简即可得证。再利用，求出公差，即可写出通项公式。
【详解】
解：在中，令，得，所以
，①
，②
①②得
化简得
由得：，两式相减整理得：

从而有，相减得：
即
故数列为等差数列，又，故公差
本题主要考查利用错位相减法求等差乘等比数列的前n项的和，属于基础题。
21、（1）（2）
【解析】
（1）根据基本元的思想，将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组可求得的值.并由此求得数列的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，根据基本元的思想，，将其转化为的形式，由此求得的值，根据等比数列前项和公式求得数列的前项和.
【详解】
解：（1）设的公差为，则由得,
故的通项公式，即．
（2）由（1）得．
设的公比为，则，从而，
故的前项和．
本小题主要考查利用基本元的思想解有关等差数列和等比数列的问题，属于基础题.