2025年江苏省常州市高级中学高一数学第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2025年江苏省常州市高级中学高一数学第二学期期末教学质量检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯
A．81盏 B．112盏 C．162盏 D．243盏
2．过点作圆的切线,且直线与平行，则与间的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件，则的对立事件是（ ）
A．至多有一件次品 B．两件全是正品 C．两件全是次品 D．至多有一件正品
4．已知是所在平面内一点，且满足，则为
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．2019年是新中国成立70周年，涡阳县某中学为庆祝新中国成立70周年，举办了“我和我的祖国”演讲比赛，某选手的6个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91.现场制作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则4个剩余分数的方差为（ ）

A．1 B． C．4 D．6
6．为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：

①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为：（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．已知圆锥的底面半径为，母线与底面所成的角为，则此圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
9．已知中，，，，则BC边上的中线AM的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，，则是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
二、填空题：本大题共6小题每小题5分，共30分。
11．已知扇形的圆心角，扇形的面积为，则该扇形的弧长的值是______.
12．圆的一条经过点的切线方程为______．
13．圆与圆的公共弦长为______________。
14．已知数列是等比数列，若，，则公比________.
15．如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的一个周期的图象，则f(1)=__________.

16．利用直线与圆的有关知识求函数的最小值为_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量, 的夹角为, 且, .
(1) 求 ；
(2) 求 .
18．若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”。
（1）在无穷数列中，，，求数列的通项公式；
（2）在（1）的结论下，试判断数列是否为“等比源数列”，并证明你的结论；
（3）已知无穷数列为等差数列，且，（），求证：数列为“等比源数列”.
19．自变量在什么范围取值时，函数的值等于0?大于0呢?小于0呢?
20．已知数列的首项.
（1）证明: 数列是等比数列；
（2）数列的前项和.
21．如图，在直棱柱中，，，，分别是棱，上的点，且平面.

（1）证明：//；
（2）求证：.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
从塔顶到塔底每层灯盏数可构成一个公比为3的等比数列，其和为1．由等比数列的知识可得．
【详解】
从塔顶到塔底每层灯盏数依次记为，此数列是等比数列，公比为3，5项的和为1，则，，∴．
故选D．
本题考查等比数列的应用，解题关键是根据实际意义构造一个等比数列，把问题转化为等比数列的问题．
2、D
【解析】
由题意知点在圆C上，圆心坐标为，
所以，
故切线的斜率为，
所以切线方程为，即．
因为直线l与直线平行，
所以，解得，
所以直线的方程是－4x＋3y－8＝0，即4x－3y＋8＝0.
所以直线与直线l间的距离为．选D．
3、B
【解析】
根据对立事件的概念，选出正确选项.
【详解】
从四件正品、两件次品中随机取出两件，“至少有一件次品”的对立事件为两件全是正品.
故选：B
本小题主要考查对立事件的理解，属于基础题.
4、B
【解析】
由向量的减法法则，将题中等式化简得，进而得到，由此可得以为邻边的平行四边形为矩形，得的形状是直角三角形。
【详解】

因为，，
因为，所以，
因为，所以，
由此可得以为邻边的平行四边形为矩形，所以，得的形状是直角三角形。
本题给出向量等式，判断三角形的形状，着重考查平面向量的加法、减法法则和三角形的形状判断等知识。
5、B
【解析】
由题意得x≥3，由此能求出4个剩余数据的方差．
【详解】
由题意得x≥3，
则4个剩余分数的方差为：
s2[（93﹣91）2+（90﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2]．
故选B．
本题考查了方差的计算问题，也考查了茎叶图的性质、平均数、方差等基础知识，是基础题．
6、C
【解析】
根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得．
【详解】
甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确；
甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；
从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确．
故选C．
本题考查了茎叶图，属基础题．平均数即为几个数加到一起除以数据的个数得到的结果.
7、B
【解析】
首先计算出母线长，再利用圆锥的侧面积（其中为底面圆的半径，为母线长），即可得到答案．
【详解】
由于圆锥的底面半径，母线与底面所成的角为，
所以母线长 ，故圆锥的侧面积；
故答案选B
本题考查圆锥母线和侧面积的计算，解题关键是熟练掌握圆锥的侧面积的计算公式，即（其中为底面圆的半径，为母线长），属于基础题
8、A
【解析】
本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知==，所以应选A．
9、A
【解析】
利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求的长．
【详解】

延长至，使，连接、，如图所示；

由题意知四边形是平行四边形，且满足，
即，
解得，
所以边上的中线的长度为．
故选：A．
本题考查平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．
10、D
【解析】
先由可得，然后利用与三角函数的和差公式可推出，从而得到是直角三角形
【详解】
因为，
所以
所以
因为
所以
即
所以
所以
因为，所以
因为，所以，即是直角三角形
故选：D
要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：①角化边：把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得到边的对应关系，从而判断三角形形状，②边化角：把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先结合求出，再由求解即可
【详解】
由，则
故答案为：
本题考查扇形的弧长和面积公式的使用，属于基础题
12、
【解析】
根据题意，设为，设过点圆的切线为，分析可得在圆上，求出直线的斜率，分析可得直线的斜率，由直线的点斜式方程计算可得答案．
【详解】
根据题意，设为，设过点圆的切线为，
圆的方程为，则点在圆上，
则，
则直线的斜率，则直线的方程为，变形可得，
故答案为．
本题考查圆的切线方程，注意分析点与圆的位置关系．
13、
【解析】
利用两圆一般方程求两圆公共弦方程，求其中一圆到公共弦的距离，利用直线被圆截得的弦长公式可得所求.
【详解】
由两圆方程相减得两圆公共弦方程为，即，
圆化为，圆心到直线的距离为1，所以两圆公共弦长为，故答案为.
本题考查两圆位置关系，直线与圆的位置关系，考查运算能力，属于基本题.
14、
【解析】
利用等比数列的通项公式即可得出．
【详解】
∵数列是等比数列，若，，则，解得，即.
故答案为：
本题考查了等比数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．

15、2
【解析】
由三角函数图象，利用三角函数的性质，求得函数的解析式，即可求解的值，得到答案.
【详解】
由三角函数图象，可得，
由，得，于是，
又，即，解得，所以，
则.
本题主要考查了由三角函数的部分图象求解函数的解析式及其应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16、
【解析】
令得，转化为z==，再利用圆心到直线距离求最值即可
【详解】
令，则
故转化为z== ，表示上半个圆上的点到直线的距离的最小值的5倍，即
故答案为3
本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合思想，是中档题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）1；（2）
【解析】
（1）利用向量数量积的定义求解；
（2）先求模长的平方，再进行开方可得.
【详解】
（1）•=||||cos60°=2×1×=1；
（2）|+|2=（+）2
=+2•+
=4+2×1+1
=7.
所以|+|=.
本题主要考查平面向量数量积的定义及向量模长的求解，一般地，求解向量模长时，先把模长平方，化为数量积运算进行求解.
18、（1）；（2）不是，证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
（1）由，可得出，则数列为等比数列，然后利用等比数列的通项公式可间接求出；
（2）假设数列为“等比源数列”，则此数列中存在三项成等比数列，可得出，展开后得出，然后利用数的奇偶性即可得出结论；
（3）设等差数列的公差为，假设存在三项使得，展开得出，从而可得知，当，时，原命题成立.
【详解】
（1），得，即，且.
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
因此，；
（2）数列不是“等比源数列”，下面用反证法来证明.
假设数列是“等比源数列”，则存在三项、、，设.
由于数列为单调递增的正项数列，则，所以.
得，化简得，
等式两边同时除以得，
，且、、，则，，，，
则为偶数，为奇数，等式不成立.
因此，数列中不存在任何三项，按一定的顺序排列构成“等比源数列”；
（3）不妨设等差数列的公差.
当时，等差数列为非零常数列，此时，数列为“等比源数列”；
当时，，则且，数列中必有一项，
为了使得数列为“等比源数列”，只需数列中存在第项、第项使得，
且有，即，
，
当时，即当，时，
等式成立，
所以，数列中存在、、成等比数列，因此，等差数列是“等比源数列”.
本题考查数列新定义“等比源数列”的应用，同时也考查了利用待定系数法求数列的通项，也考查“等比源数列”的证明，考查计算能力与推理能力，属于难题.
19、当或时，函数的值等于0；当时，函数的值大于0；当或时，函数的值小于0.
【解析】
将问题转化为解方程和解不等式，以及，分别求解即可.
【详解】
由题：由得：或；
由得：；
由得：或，
综上所述：当或时，函数的值等于0；当时，函数的值大于0；当或时，函数的值小于0.
此题考查解二次方程和二次不等式，关键在于熟练掌握二次方程和二次不等式的解法，准确求解.
20、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）对两边取倒数得，化简得，所以数列是等比数列；（2）由（1）是等比数列.，求得，利用错位相减法和分组求和法求得前项和.
试题解析：
（1），又
，数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，即，设， ①
则， ② 由①-②得

又.数列的前项和.
考点：配凑法求通项，错位相减法.
21、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）利用线面平行的性质定理可得，从而得到.
（2）连接，可证平面，从而得到.
【详解】
（1）因为平面，平面，平面平面，
所以.
又在直棱柱中，有，所以.
(2)连接，因为棱柱为直棱柱，所以平面，
又平面，所以.
又因为，平面，平面，，
所以平面.又平面，所以.
在直棱柱中，有四边形为平行四边形.
又因为，所以四边形为菱形，所以.
又,平面,平面，
所以平面，又平面，所以.
线线平行的证明，有如下途径：（1）利用平面几何的知识，如三角形的中位线、梯形的中位线等；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）线面垂直的性质定理（同垂直一个平面的两条直线平行）.
而线线垂直的证明，有如下途径：（1）利用平面几何的知识，如勾股定理等；（2）异面直线所成的角为 ；（3）线面垂直的性质定理；