一无失真信源与信息熵PPT课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,第,2,章 信源与信息熵,信源描述与分类,离散信源的信息熵和互信息,离散序列信源的熵,连续信源的熵与互信息,冗余度,2,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.1,信源的描述与分类,信源是产生消息（符号）、消息序列和连续消息的来源。从数学上，由于消息的不确定性，因此，信源是产生随机变量、随机序列和随机过程的源,信源的基本特性是,具有随机不确定性,3,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.1,信源特性与分类,分类,时间 离散 连续,幅度 离散 连续,记忆 有 无,三大类：,单符号离散信源,符号序列信源（有记忆和无记忆）,连续信源,4,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.1,信源描述与分类,描述：通过,概率空间,描述,单符号离散信源,例如：对二进制数字与数据信源,5,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.1,信源描述与分类,连续信源,6,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.1,信源描述与分类,离散序列信源,以,3,位,PCM,信源为例,7,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.1,信源描述与分类,当,p=1/2,8,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,信息量,自信息量,联合自信息量,条件自信息量,单符号离散信源熵,符号熵,条件熵,联合熵,9,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,信息,不确定性的消除,信息的度量,随机性、概率,相互独立符合事件概率相乘、信息相加,熵,事件集的平均不确定性,10,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,直观推导信息测度,信息,I,应该是消息概率,p,的递降函数,由两个不同的消息（相互统计独立）所提供的信息等于它们分别提供信息之和（可加性）,11,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,定义：对于给定的离散概率空间表示的信源，,x=a,i,事件所对应的（自）信息为,以,2,为底，,单位,为比特（,bit),以,e,为底，单位为奈特（,nat)1nat=1.433bit,以,10,为底，单位为笛特（,det)1det=3.322bit,12,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,定义：联合概率空间中任一联合事件的联合（自）信息量为：,定义：联合概率空间中，事件,x,在事件,y,给定条件下的条件自）信息量为,：,13,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,联合自信息、条件自信息与自信息间的关系,14,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,例,1,设在一正方形棋盘上共有,64,个方格，如果甲将一粒棋子随意地放在棋盘中的某方格内，让乙猜测棋子所在的位置：,（,1,）将方格按顺序编号，令乙猜测棋子所在方格的顺序号,（,2,）将方格按行和列编号，甲将棋子所在的方格的行（或列）编号告诉乙，再令乙猜测棋子所在列（或行）所在的位置,。,15,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,解：由于甲将一粒棋子随意地放在棋盘中的某方格内，因此棋子在棋盘中所处位置为二维等概率分布,（,1,）联合（自）信息量为,（,2,）条件（自）信息量为,16,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,例,2.,一个布袋内放,100,个球，其中,80,个球为红色，,20,球为白色。若随机摸取一个球，猜测其颜色，求平均摸取一次所获得的（自）信息量。,解：随机事件的概率空间为,17,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,18,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,单符号离散信源熵,定义：对于给定离散概率空间表示的信源所定义的随机变量,I,的数学期望为,信源的信息熵，,单位为,比特,/,符号,19,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,离散信源条件熵,定义：对于给定离散概率空间表示的信源所定义的随机变量,I,（,x/y),在集合,X,上的数学期望为给定,y,条件下,信源的条件熵，,单位为,比特,/,序列,20,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,离散信源联合熵,定义：对于给定离散概率空间表示的信源所定义的随机变量,I,（,x,，,y),的数学期望为集合,X,和集合,Y,的,信源联合熵，,单位为,比特,/,序列,21,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,联合熵、条件熵与熵的关系,22,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,单符号离散信源互信息,定义：对于给定离散概率空间表示的信源，在出现,y,事件后所提供有关事件,x,的信息量定义互信息,，,单位为,比特,23,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,单符号离散信源互信息,24,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,条件互信息量与联合互信息量,定义：对于给定离散概率空间表示的信源，在事件,z,给定条件下，事件,x,与事件,y,之间的条件互信息量为：,25,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,条件互信息量与联合互信息量,定义：对于给定离散概率空间表示的信源，在事件,x,与联合事件,yz,之间的联合互信息量为：,26,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,Eg1(p23),设信源发出,8,种消息符号，各消息等概发送，各符号分别用,3,位二进码元表示，并输出事件。通过对输出事件的观察来推测信源的输出。假设信源发出的消息,x,4,，,用二进码,011,表示，接收到每个二进制码元后得到有关,x,4,信息。,27,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,28,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,平均互信息量,其中,29,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,熵的性质,对称性,非负性,确定性,香农辅助定理,最大熵定理,条件熵小于无条件熵,30,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,非负性,31,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,对称性,32,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,确定性,香农辅助定理,33,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,最大熵定理,条件熵小于无条件熵,34,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,平均互信息的性质,非负性,互易性,与熵和条件熵及联合熵关系,极值性,凸性函数性质,信息不增性原理,35,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,非负性,36,普通高等教育十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,互易性,37,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,平均互信息与熵的关系,38,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,互信息量与熵的关系,THANK YOU,SUCCESS,2025/7/29 周二,39,可编辑,40,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,极值性,41,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,凸性函数,当条件概率分布给定时，平均互信息量是输入概率分布的上凸函数,当集合,X,的概率分布保持不变时，平均互信息量是条件概率分布的下凸函数,42,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.2,离散信源熵与互信息,信息不增性,43,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,离散无记忆序列信源,离散有记忆序列信源,马尔可夫信源,离散无记忆信源的序列熵,离散有记忆信源的序列熵,44,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,离散无记忆序列信源,布袋摸球实验，若每次取出两个球，由两个球的颜色组成的消息就是符号序列。若先取出一个球，记下颜色放回布袋，再取另一个球。,45,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,离散有记忆序列信源,布袋摸球实验，每次取出两个球，由两个球的颜色组成的消息就是符号序列。若先取出一个球，记下颜色,不放回布袋,，再取另一个球。,46,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,马尔可夫信源,当信源的记忆长度为,m+1,时，该时该发出的符号与前,m,个符号有关联性，而与更前面的符号无关。,47,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,马尔可夫信源,由于高阶马尔可夫信源需要引入矢量进行分析，现方法将矢量转化为,状态,变量。定义状态：,信源在某一时刻出现符号概率,x,j,与信源此时所处状态,s,i,有关，用条件概率表示,p(x,j,/s,i,),状态转移概率表示为,p(s,j,/s,i,),48,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,马尔可夫信源,更一般，经过,n-m,步后转移至,s,j,的概率,49,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,马尔可夫信源,特别关心,n-m=1,情况，,p,ij,(m,m+1),50,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,马尔可夫信源,系统在任一时刻可处于状态空间的任意一状态，状态转移时，转移概率是一个矩阵，一步转移转移矩阵为,51,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,马尔可夫信源,k,步转移概率,p,ij,(k),与,l,步和,k-l,步转移概率之间满足切普曼,-,柯尔莫郭洛夫方程。,定义,：如果从状态,I,转移到状态,j,的概率与,m,无关，则称这类,MovKov,链为齐次,对于齐次马尔可夫链，一步转移概率完全决定了,k,步转移概率。,52,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,马尔可夫信源,定义：若齐次马尔可夫链对一切,I,j,存在不依赖于,I,的极限，则称其具有遍历性，,p,j,称为平稳分布,53,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,马尔可夫信源,定理：设有一齐次马尔可夫链，其状态转移矩阵为,P,，其稳态分布为,w,j,54,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,不可约性，对于任意一对,I,和,j,，都存在至少一个,k,，使,p,ij,(k),0.,非周期性，所有,p,ij,(n),0,的,n,中没有比1,大的公因子。,定理：设,P,是某一马尔可夫链的状态转移矩阵，则该稳态分布存在的充要条件是存在一个正整数,N使矩阵,P,N,中的所有元素均大于零。,55,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,Eg.,一个相对编码器，,求平稳分布,56,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,Eg.,二阶马氏链，,X,0,1,求平稳分布,起始状态,00,01,10,11,1/2,0,1/4,0,1/2,0,3/4,0,0,1/3,0,1/5,0,2/3,0,4/5,S,1,(00),S,2,(01),S,3,(10),S,4,(11),57,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,离散无记忆信源的序列熵,58,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,离散无记忆信源的序列熵,平均每个符号熵（消息熵）,59,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,离散有记忆信源的序列熵和消息熵,60,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,Eg,求信源的序列熵和平均符号熵,a,1,a,2,a,3,a,1,a,2,a,3,9/11,1/8,0,2/11,3/4,2/9,0,1/8,7/9,61,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵离散有记忆信源的序列熵和消息熵,结论,1,是,L,的单调非增函数,结论,2,结论,3,是,L,的单调非增函数,结论,4,62,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,马氏链极限熵,63,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,64,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.3,离散序列信源的熵,Eg,求马氏链平均符号熵（三个状态）,65,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.4,连续信源的熵与互信息,幅度连续的单个符号信源熵,66,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.4,连续信源的熵与互信息,幅度连续的单个符号信源熵,67,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.4,连续信源的熵与互信息,波形信源熵,68,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.4,连续信源的熵与互信息,最大熵定理,69,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.4,连续信源的熵与互信息,最大熵定理,限平均功率最大熵定理：对于相关矩阵一定随机变量,X,，当它是正态分布时具有最大熵,70,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.5,冗余度,冗余度，表示给定信源在实际发出消息时所包含的多余信息。它来自两个方面，一是,信源符号间的相关性,；二是,信源符号分布的不均匀性,71,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,2.5,冗余度,Eg.,计算英文字母冗余度,72,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,第,2,章复习 概念,(1),信息是可以定量描述的，可以比较大小。由概率决定；,对应特定信源，可以求出所含不确定度，也就是消除不确定度所需的信息量；,可通过对信源的观察、测量获得信息，以减少对信源的不确定度；,73,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,概念,(2),考虑信源符号概率分布和符号之间的相关性，信源不确定度会下降：,H(X),就是信源无失真时必需输出的最小信息量；,74,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,概念,(3),通过传输，信宿可以得到信息,I(X;Y),，从而减小对信源的不确定度：,H(X/Y)=H(X)-I(X;Y),信息通过系统传输，只会丢失信息，不会增加。丢失部分,H(X/Y),是由噪声引起的。,75,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材信息论与编码,定义、计算公式、相互关系,自信息量、信源熵、相对熵,互信息、条件熵、联合熵,序列熵、平均符号熵、极限熵,冗余度,THANK YOU,SUCCESS,2025/7/29 周二,76,可编辑,