江西抚州七校联考2024-2025学年高一数学第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

江西抚州七校联考2024-2025学年高一数学第二学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知点，，则直线的斜率是（ ）
A． B． C．5 D．1
2．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第五天走的路程为（ ）
A．48里 B．24里 C．12里 D．6里
3．已知正四棱锥的顶点均在球上，且该正四棱锥的各个棱长均为，则球的表面积为(　　)
A． B． C． D．
4．已知函数，则不等式的解集为(　　)
A． B． C． D．
5．的内角，，的对边分别为，，．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知两条平行直线和之间的距离等于，则实数的值为( )
A． B． C．或 D．
7．若，则（）
A．-1 B． C．-1或 D．或
8．已知函数，且实数，满足，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．袋中共有完全相同的4只小球，编号为1，2，3，4，现从中任取2只小球，则取出的2只球编号之和是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．己知，，若轴上方的点满足对任意，恒有成立，则点纵坐标的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知一组样本数据，且，平均数，则该组数据的标准差为__________.
12．已知圆锥的母线长为1，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积是______.
13．在中，若，则____________.
14．如图1，动点在以为圆心，半径为1米的圆周上运动，从最低点开始计时，用时4分钟逆时针匀速旋转一圈后停止.设点的纵坐标（米）关于时间（分）的函数为，则该函数的图像大致为________.（请注明关键点）

15．若,则________.
16．已知，则的值为_____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量，，且．
（1）求向量的夹角；
（2）求的值．
18．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设年内(本年度为第一年)总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
19．已知为锐角，且．
（I）求的值；
（II）求的值．
20．已知数列中，．.
（1）写出、、；
（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
21．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为， 边上 的高，所在直线方程为.
（1）求顶点 的坐标；
（2）求直线的方程.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据直线的斜率公式，准确计算，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，根据直线的斜率公式，可得直线的斜率，故选D.
本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
2、C
【解析】
根据等比数列前项和公式列方程，求得首项的值，进而求得的值.
【详解】
设第一天走，公比，所以，解得，所以.故选C.
本小题主要考查等比数列前项和的基本量计算，考查等比数列的通项公式，考查中国古典数学文化，属于基础题.
3、C
【解析】
设点在底面的投影点为，则，，平面，故，而底面所在截面圆的半径，故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径，故球的表面积，故选C.
点睛：本题考查球的内接体的判断与应用，球的表面积的求法，考查计算能力；研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系； （2）球的半径与多面体的棱长的关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做出轴截面.
4、B
【解析】
先判断函数的单调性，把转化为自变量的不等式求解.
【详解】
可知函数为减函数，由，可得，
整理得，解得，所以不等式的解集为．
故选B.
本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.
5、A
【解析】
由正弦定理，整理得到，即可求解，得到答案.
【详解】
在中，因为，
由正弦定理可得，
因为，则，所以，即，
又因为，则，故选A.
本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化，以及特殊角的三角函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6C
【解析】
利用两条平行线之间的距离公式可求的值.
【详解】
两条平行线之间的距离为，
故或，
故选C.
一般地，平行线和之间的距离为，应用该公式时注意前面的系数要相等.
7、C
【解析】
将已知等式平方，可根据二倍角公式、诱导公式和同角三角函数平方关系将等式化为，解方程可求得结果.
【详解】
由得：
即，解得：或
本题正确选项：
本题考查三角函数值的求解问题，关键是能够通过平方运算，将等式化简为关于的方程，涉及到二倍角公式、诱导公式和同角三角函数平方关系的应用.
8、D
【解析】
由函数的单调性可得：当时，函数的单调性可得：（a），（b），（c），即不满足（a）（b）（c），得解．
【详解】
因为函数，
则函数在为增函数，
又实数，满足（a）（b）（c），
则（a），（b），（c）为负数的个数为奇数，
对于选项，，选项可能成立，
对于选项，
当时，
函数的单调性可得：（a），（b），（c），
即不满足（a）（b）（c），
故选项不可能成立，
故选：．
本题考查了函数的单调性，属于中档题．
9、C
【解析】
先求出在编号为1，2，3，4的小球中任取2只小球的不同取法，再求出取出的2只球编号之和是偶数的不同取法，然后求概率即可得解.
【详解】
解：在编号为1，2，3，4的小球中任取2只小球，则有共6种取法，则取出的2只球编号之和是偶数的有共2种取法，
即取出的2只球编号之和是偶数的概率为，
故选：C.
本题考查了古典型概率公式，属基础题.
10、D
【解析】
由题意首先利用平面向量的坐标运算法则确定纵坐标的解析式，然后结合二次函数的性质确定点P纵坐标的最小值即可.
【详解】
设，则，，
故，
恒成立，即恒成立，
据此可得：，故，
当且仅当时等号成立.
据此可得的最小值为，则的最小值为.
即点纵坐标的最小值为2.
故选D.
本题主要考查平面向量的坐标运算，二次函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、11
【解析】
根据题意，利用方差公式计算可得数据的方差，进而利用标准差公式可得答案．
【详解】
根据题意，一组样本数据，且，
平均数，
则其方差
，
则其标准差，
故答案为：11.
本题主要考查平均数、方差与标准差，属于基础题. 样本方差，标准差.
12、
【解析】
根据题意得，解得，求得圆锥的高，利用体积公式，即可求解．
【详解】
设圆锥底面的半径为，根据题意得，解得，
所以圆锥的高，
所以圆锥的体积.
本题主要考查了圆锥的体积的计算，以及圆锥的侧面展开图的应用，其中解答中根据圆锥的侧面展开图，求得圆锥的底面圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
13、2
【解析】
根据正弦定理角化边可得答案.
【详解】
由正弦定理可得.
故答案为：2
本题考查了正弦定理角化边，属于基础题.
14、
【解析】
根据题意先得出，再画图．
【详解】
解：设，，
，，，
则
当时，处于最低点，则，
，
可画图为：
故答案为：
本题考查了三角模型的实际应用，关键是根据题意建立函数模型，属中档题．
15、
【解析】
先求，再代入求值得解.
【详解】
由题得
所以.
故答案为
本题主要考查共轭复数和复数的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
16、
【解析】
利用和差化积公式将两式化简，然后两式相除得到的值，再利用二倍角公式即可求出．
【详解】
由得，
，，
两式相除得，，则
．
本题主要考查和差化积公式以及二倍角公式的应用．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）求出向量的模，对等式两边平方，最后可求出向量的夹角；
（2）直接运用向量运算的公式进行运算即可.
【详解】
（1）向量，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴向量的夹角；
（2）由（1），，，
∴.
本题考查了平面向量的数量积定义，考查了平面向量的运算，考查了平面向量模公式，考查了数学运算能力.
18、 (1) ，； (2) 至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.
【解析】
(1)利用等比数列求和公式可求出n年内的旅游业总收入与n年内的总投入；（2）设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得－＞0，结合（1）可得
，解得，进而可得结果.
【详解】
(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…第n年投入为800×(1－)n－1万元，所以，n年内的总投入为
=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1==4000×［1－()n］
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+)，…，第n年旅游业收入400×(1+)n－1万元.所以，n年内的旅游业总收入为
=400+400×(1+)+…+400×(1+)n－1==1600×［()n－1］
(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此－＞0，即：
1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.
∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.
本题主要考查阅读能力及建模能力、等比数列的求和公式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
19、（I）;（II）
【解析】
试题分析：（1）根据两角和差的正切公式，将式子展开，根据题干中的条件代入即可；（2）这是其次式的考查，上下同除以，得到正切的一个式子，根据题干中的正切值代入即可．
（I）
（II）因为，所以

20、（1），，；（2）猜想，证明见解析.
【解析】
（1）利用递推公式可计算出、、的值；
（2）根据数列的前四项可猜想出，然后利用数学归纳法即可证明出猜想成立.
【详解】
（1），，则，
，；
（2）猜想，下面利用数学归纳法证明.
假设当时成立，即，
那么当时，，
这说明当时，猜想也成立.
由归纳原理可知，.
本题考查利用数列递推公式写出数列中的项，同时也考查了利用数学归纳法证明数列通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）根据边上的高所在直线方程求出的斜率，由点斜式可得的方程，与所在直线方程联立即可得结果；（2）设 则， 代入中，可求得点坐标，利用两点式可得结果.
【详解】
（1）由边上的高所在直线方程为得，
所以直线AB所在的直线方程为，即
联立 解得
所以顶点的坐标为（4,3）
（2）因为在直线上，所以设
则，
代入中，得
所以
则直线的方程为，即
本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.