新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师中学2024-2025学年数学高一第二学期期末监测模拟试题含解析.doc

新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师中学2024-2025学年数学高一第二学期期末监测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知等差数列的前项和为，若，，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．182
2．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，为的面积，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．若集合, 则集合( )
A． B． C． D．
4．已知正项数列，若点在函数的图像上，则（ ）
A．12 B．13 C．14 D．16
5．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．计算( )
A． B． C． D．
8．等差数列前项和为，满足，则下列结论中正确的是 ）
A．是中的最大值 B．是中的最小值
C． D．
9．已知两点，，若点是圆上的动点，则△面积的最小值是
A． B．6 C．8 D．
10．已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β
②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
③若m∥α，n∥β，且α∥β，且m∥n
④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n
其中正确的命题是（　　　　）
A．②③ B．①③ C．①④ D．③④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数．利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得的值为_____．
12．方程组的增广矩阵是________.
13．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则______________．

14．若点，关于直线l对称，那么直线l的方程为________.
15．等比数列中，若，，则______.
16．已知函数的部分图象如图所示，则_______.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，，分别为三个内角，，的对边，.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求边，.
18．已知数列满足.
（1）若，证明：数列是等比数列，求的通项公式；
（2）求的前项和．
19．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价为3元，根据以往的经验售价为4元时，可卖出280桶；若销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，则这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最大利润是多少？
20．为了评估A，B两家快递公司的服务质量，从两家公司的客户中各随机抽取100名客户作为样本，进行服务质量满意度调查，将A，B两公司的调查得分分别绘制成频率分布表和频率分布直方图．规定分以下为对该公司服务质量不满意．
分组
频数
频率

04

合计

（Ⅰ）求样本中对B公司的服务质量不满意的客户人数；
（Ⅱ）现从样本对A，B两个公司服务质量不满意的客户中，随机抽取2名进行走访，求这两名客户都来自于B公司的概率；
（Ⅲ）根据样本数据，试对两个公司的服务质量进行评价，并阐述理由．
21．某校为创建“绿色校园”，在校园内种植树木，有A、B、C三种树木可供选择，已知这三种树木6年内的生长规律如下：
A树木：种植前树木高0.84米，第一年能长高0.1米，以后每年比上一年多长高0.2米；
B树木：种植前树木高0.84米，第一年能长高0.04米，以后每年生长的高度是上一年生长高度的2倍；

C树木：树木的高度（单位：米）与生长年限（单位：年，）满足如下函数：（表示种植前树木的高度，取）．
（1）若要求6年内树木的高度超过5米，你会选择哪种树木？为什么？
（2）若选C树木，从种植起的6年内，第几年内生长最快？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由，可得，可得的值.
【详解】
解：已知等差数列中，
可得，
即：，，
故选B
本题主要考查等差数列的性质，从数列自身的特点入手是解决问题的关键.
2、C
【解析】
先由正弦定理，将化为，结合余弦定理，求出，再结合正弦定理与三角形面积公式，可得，化简整理，即可得出结果.
【详解】
因为，所以可化为
，即，
可得，所以.
又由正弦定理得，，
所以，
当且仅当时，取得最大值.
故选C
本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.
3、D
【解析】
试题分析：作数轴观察易得.
考点：集合的基本运算.
4、A
【解析】
由已知点在函数图象上求出通项公式，得，由对数的定义计算．
【详解】
由题意，，
∴，
∴．
故选：A.
本题考查数列的通项公式，考查对数的运算．属于基础题．
5、D
【解析】
圆的圆心为O，求出圆心坐标，利用垂径定理，可以得到
，求出直线的斜率，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程.
【详解】
设圆的圆心为O，坐标为（1，0），根据圆的垂径定理可知：
，因为，所以，
因此直线的方程为，故本题选D.
本题考查了圆的垂径定理、两直线垂直斜率的关系，考查了斜率公式.
6、C
【解析】
去掉绝对值将函数化为分段函数的形式后可得其图象的大体形状．
【详解】
由题意得，
所以其图象的大体形状如选项C所示．
故选C．
解答本题的关键是去掉函数中的绝对值，将函数化为基本函数后再求解，属于基础题．
7、A
【解析】
根据对数运算,即可求得答案.
【详解

故选:A.
本题主要考查了对数运算,解题关键是掌握对数运算基础知识,考查了计算能力,属于基础题.
8、D
【解析】
本题考查等差数列的前n项和公式，等差数列的性质，二次函数的性质.
设公差为则由等差数列前n项和公式知：是的二次函数；又知对应二次函数图像的对称轴为于是对应二次函数为无法确定所以根据条件无法确定有没有最值；但是根据二次函数图像的对称性，必有即故选D
9、A
【解析】
求得圆的方程和直线方程以及，利用三角换元假设，利用点到直线距离公式和三角函数知识可求得，代入三角形面积公式可求得结果.
【详解】
由题意知，圆的方程为：，
直线方程为：，即
设
点到直线的距离：，其中
当时，
本题正确选项：
本题考查点到直线距离的最值的求解问题，关键是能够利用三角换元的方式将问题转化为三角函数的最值的求解问题.
10、C
【解析】
根据线线、线面和面面有关定理，对选项逐一分析，由此得出正确选项.
【详解】
对于①，两个平面的垂线垂直，那么这两个平面垂直.所以①正确.
对于②，与可能相交，此时并且与两个平面的交线平行.所以②错误.
对于③，直线可能为异面直线，所以③错误.
对于④，两个平面垂直，那么这两个平面的垂线垂直.所以④正确.
综上所述，正确命题的序号为①④.
故选：C
本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1．
【解析】
由题意可知：可以计算出的值，
最后求出的值.
【详解】
设,，
所以有，因为,因此
本题考查了数学阅读能力、知识迁移能力，考查了倒序相加法.
12、
【解析】
理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵.
【详解】
由题意，方程组的增广矩阵为其系数以及常数项构成的矩阵，
故方程组的增广矩阵是.
故答案为：
本题考查了二元一次方程组与增广矩阵的关系，需理解增广矩阵的涵义，属于基础题.
13、1028
【解析】
图乙中第行有个数，第行最后的一个数为，前行共有个数，由知出现在第45行，第45行第一个数为1937，第个数为2011，所以．[来
14、
【解析】
利用直线垂直求出对称轴斜率，利用中点坐标公式求出中点，再由点斜式可得结果.
【详解】
求得，
∵点，关于直线l对称，
∴直线l的斜率1，
直线l过AB的中点，
∴直线l的方程为，
即.
故答案为：.
本题主要考查直线垂直的性质，考查了直线点斜式方程的应用，属于基础题.
15、
【解析】
设的首项为，公比为，根据，列出方程组，求出和即可得解.
【详解】
设的首项为，公比为，则：，解之得，
所以：.
故答案为：.
本题考查等比数列中某项的求法，解题关键是根据题意列出方程组，需要注意的是为了简化运算不用直接求解，解出即可，属于基础题.
16、
【解析】
由图可得，即可求得：，再由图可得：当时，取得最大值，即可列方程，整理得：，解得：（），结合即可得解.
【详解】
由图可得：，所以，解得：
由图可得：当时，取得最大值，即：
整理得：，所以 （）
又，所以
本题主要考查了三角函数图象的性质及观察能力，还考查了转化思想及计算能力，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用正弦定理化边为角，再依据两角和的正弦公式以及诱导公式即可求出，进而求得角A的大小：（2）依第一问结果，先由三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，联立即可求解出，的值．
【详解】
（1）由及正弦定理得
，
整理得，，
，
因为，且，
所以，，
又，所以，.
（2）因为的面积，
所以， ①
由余弦定理得，，

所以， ②
联立①②解得，.
本题主要考查利用正余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用，涉及利用两角和的正弦公式、诱导公式对三角函数式的恒等变换．
18、（1）证明见解析，；（2）.
【解析】
（1）由条件可得，即，运用等比数列的定义，即可得到结论；运用等比数列的通项公式可得所求通项。（2）数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，可得所求的和。
【详解】
解：（1）证明：由，得，
又，，又，
所以是首相为1，公比为2的等比数列；
，
。
（2）前项和，
，
两式相减可得：

化简可得
本题考查利用辅助数列求通项公式，以及错位相减求和，考查学生的计算能力，是一道基础题。
19、定价为每桶7元，最大利润为440元.
【解析】
若设定价在进价的基础上增加元，日销售利润为元，则，其
中，整理函数，可得取何值时，有最大值，即获得最大利润
【详解】
设定价在进价的基础上增加元，日销售利润为元，则
，
由于，且，所以，；
即，．
所以，当时取最大值．
此时售价为，此时的最大利润为440元.
本题主要考查二次函数的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
20、（Ⅰ）3人；（Ⅱ）0.3；（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）对B公司的服务质量不满意的频率为，即概率为0.03，易求解．（Ⅱ）共有5名客服不满意，将每种情况都列出来即可算出全来自于B公司的概率．
（Ⅲ）可通过频率对比，服务质量得分的众数，服务质量得70分（或80分）以上的频率几个方面进行对比．
【详解】
（Ⅰ）样本中对B公司的服务质量不满意的频率为，
所以样本中对B公司的服务质量不满意的客户有人．
（Ⅱ）设“这两名客户都来自于B公司”为事件M．
对A公司的服务质量不满意的客户有2人，分别记为，；
对B公司的服务质量不满意的客户有3人，分别记为，，．
现从这5名客户中随机抽取2名客户，不同的抽取的方法有，，，，
，，，，，共10个；
其中都来自于B公司的抽取方法有，，共3个，
所以． 所以这两名客户都来自于B公司的概率为．
（Ⅲ）答案一：由样本数据可以估计客户对A公司的服务质量不满意的频率比对B公司服务质量不满意的频率小，由此推断A公司的服务质量比B公司的服务质量好．
答案二：由样本数据可以估计A公司的服务质量得分的众数与B公司服务质量得分的众数相同，由此推断A公司的服务质量与B公司的服务质量相同．
答案三：由样本数据可以估计A公司的服务质量得70分（或80分）以上的频率比B公司得70分（或80分）以上的频率小，由此推断A公司的服务质量比B公司的服务质量差．
答案四：由样本数据可以估计A公司的服务质量得分的平均分比B公司服务质量得分的平均分低，由此推断A公司的服务质量比B公司的服务质量差．
此题考查概率，关键理解清楚频率分布表和频率分布直方图表示的含有，简单数据可通过列表法求概率或者可以组合数求解，属于较易题目．
21、（1）选择C；（2）第4或第5年.
【解析】
（1）根据已知求出三种树木六年末的高度，判断得解；（2）设为第年内树木生长的高度，先求出，设，则，．再利用分析函数的单调性，分析函数的图像得解.
【详解】
（1）由题意可知，A、B、C三种树木随着时间的增加，高度也在增加，
6年末：A树木的高度为（米）：
B树木的高度为（米）：
C树木的高度为（米），
所以选择C树木．
（2）设为第年内树木生长的高度，
则，
所以，，．
设，则，．
令，因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，
所以当时，取得最小值，从而取得最大值，此时，解得，
因为，，故的可能值为3或4，
又，，即．
因此，种植后第4或第5年内该树木生长最快．
本题主要考查等差数列和等比数列求和，考查函数的图像和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题.