2025届福建省上杭县第一中学等六校数学高一第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2025届福建省上杭县第一中学等六校数学高一第二学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
2．已知两条直线，，两个平面，，下面说法正确的是( )
A． B． C． D．
3．函数的简图是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，若，那么是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
5．已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知三棱锥，若平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
8．设的内角所对的边分别为，且，已知的面积等于，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．直线经过点和，则直线的倾斜角为（　）
A． B． C． D．
10．在锐角中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同种产品，数量分别为90件，60件，30件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，采用层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了2件，应从甲车间的产品中抽取______件.
12．某幼儿园对儿童记忆能力的量化评价值和识图能力的量化评价值进行统计分析，得到如下数据

4
6
8
10

3
5
6
8
由表中数据，求得回归直线方程中的，则 ．
13．已知无穷等比数列的所有项的和为，则首项的取值范围为_____________.
14．已知满足约束条件，则的最大值为__
15．______.
16．已知函数的定义域为，则实数的取值范围为_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.

（1）求图中x的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数3:2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.
18．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论.
（Ⅲ）证明：直线DF平面BEG
19．已知数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式;
（2）设，求数列的前项和.
20．为了调查家庭的月收入与月储蓄的情况，某居民区的物业工作人员随机抽取该小区20个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，计算得：，，，，.
（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；
（2）指出（1）中所求出方程的系数，并判断变量与之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为9千元，预测该家庭的月储蓄.
21．（1）若关于x的不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1恒成立，求实数m的取值范围．
（2）解关于x的不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0，其中a＜1．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据单位向量的定义即可求解.
【详解】
,
向量的方向相反的单位向量为，
故选A.
本题主要考查了向量的坐标运算，向量的单位向量的概念，属于中档题.
2、D
【解析】
满足每个选项的条件时能否找到反例推翻结论即可。
【详解】
A：当m, n中至少有一条垂直交线才满足。
B：很明显m, n还可以异面直线不平行。
C: 只有当m垂直交线时，否则不成立。
故选：D
此题考查直线和平面位置关系，一般通过反例排除法即可解决，属于较易题目。
3、D
【解析】
变形为，求出周期排除两个选项，再由函数值正负排除一个，最后一个为正确选项．
【详解】
函数的周期是，排除AB，又时，，排除C．只有D满足．
故选：D.
本题考查由函数解析式选图象，可通过研究函数的性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性等排除某些选项，还可求出特殊值，特殊点，函数值的正负，函数值的变化趋势排除一些选项，从而得出正确选项．
4、C
【解析】
由tanAtanB>1可得A，B都是锐角，故tanA和tanB都是正数，可得tan（A+B）<0，故A+B为钝角，C为锐角，可得结论.
【详解】
由△ABC中，A，B，C为三个内角，若tanAtanB>1，可得A，B都是锐角，故tanA和tanB都是正数，
∴tan（A+B）0，故A+B为钝角．由三角形内角和为180°可得，
C为锐角，故△ABC是锐角三角形，
故选C．
本题考查根据三角函数值的符号判断角所在的范围，两角和的正切公式的应用，判断A+B为钝角，是解题的关键．
5、D
【解析】
因为，所以点的轨迹为以为直径的圆，故点是两圆的交点，根据圆与圆的位置关系，即可求出．
【详解】
根据可知，点的轨迹为以为直径的圆，故点是圆和圆的交点，
因此两圆相切或相交，即，亦即．
故的最小值为．
故选：D．
本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，意在考查学生的转化能力，属于基础题．
6、B
【解析】
根据题意画出三棱锥的图形，将其放入一个长方体中，容易知道三棱锥的外接球半径，利用球的表面积公式求解即可.
【详解】

根据题意画出三棱锥如图所示，把三棱锥放入一个长方体中，
三棱锥的外接球即这个长方体的外接球，
长方体的外接球半径等于体对角线的一半，
所以三棱锥的外接球半径，
三棱锥的外接球的表面积.

故选：B
本题主要考查三棱锥的外接球问题，对于三棱锥三条棱有两两垂直的情况，可以考虑将其放入一个长方体中求解外接球半径，属于基础题.
7、B
【解析】
解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，∴所求概率为=0.1．故选B
8、D
【解析】
由正弦定理化简已知，结合，可求，利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用三角形的面积公式即可解得的值．
【详解】
解：，
由正弦定理可得，
，
，即，
，解得：或（舍去）
，的面积，
解得．
故选：．
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
9、D
【解析】
算出直线的斜率后可得其倾斜角.
【详解】
设直线的斜率为，且倾斜角为，则，
根据，而，故，故选D.
本题考查直线倾斜角的计算，属于基础题.
10、D
【解析】
由同角三角函数关系式,先求得,再由余弦定理即可求得的值.
【详解
因为为锐角三角形,
由同角三角函数关系式可得
又因为,
由余弦定理可得
代入可得
所以
故选:D
本题考查了同角三角函数关系式应用,余弦定理求三角形的边,属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、.
【解析】
根据分层抽样中样本容量关系,即可求得从甲车间的产品中抽取数量.
【详解】
根据分层抽样为等概率抽样,所以乙车间每个样本被抽中的概率等于甲车间每个样本被抽中的概率
设从甲车间抽取样本为件
所以,解得
所以从甲车间抽取样本件
故答案为:
本题考查了分层抽样的特征及样本数量的求法,属于基础题.
12、-0.1
【解析】
分别求出和的均值，代入线性回归方程即可．
【详解】
由表中数据易得，，由在直线方程上，可得
此题考查线性回归方程形式，表示在回归直线上代入即可，属于简单题目．
13、
【解析】
设等比数列的公比为，根据题意得出或，根据无穷等比数列的和得出与所满足的关系式，由此可求出实数的取值范围.
【详解】
设等比数列的公比为，根据题意得出或，
由于无穷等比数列的所有项的和为，则，.
当时，则，此时，；
当时，则，此时，.
因此，首项的取值范围是.
故答案为：.
本题考查利用无穷等比数列的和求首项的取值范围，解题的关键就是结合题意得出首项和公比的关系式，利用不等式的性质或函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14、
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】
由约束条件 作出可行域，如图所示，
化目标函数为，
由图可得，当直线过时，直线在轴上的截距最大，
所以有最大值为．
故答案为1．

本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
15、
【解析】
先令，得到，两式作差，根据等比数列的求和公式，化简整理，即可得出结果.
【详解】
令，
则，
两式作差得：
所以
故答案为：
本题主要考查数列的求和，熟记错位相加法求数列的和即可，属于常考题型.
16、
【解析】
根据对数的真数对于0，再结合不等式即可解决．
【详解】
函数的定义域为等价于对于任意的实数，恒成立
当时成立
当时，等价于
综上可得
本题主要考查了函数的定义域以及不等式恒成立的问题，函数的定义域常考的由
1、，2、，3、．属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）0.02（2）平均数77，中位数（3）.
【解析】
（1）由频率分布直方图的性质列方程能求出x．
（2）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数和中位数．
（3）满意度评分值在[50，60）内有5人，其中男生3人，女生2人，记“满意度评分值为[50，60）的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A，利用古典概型能求出2人均为男生的概率．
【详解】
（1）由，解得.
（2）这组数据的平均数为.中位数设为m，则，解得.
（3）满意度评分值在内有人，
其中男生3人，女生2人.记为
记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A
则总基本事件个数为 10个，A包含的基本事件个数为 3个，
利用古典概型概率公式可知.
本题考查频率平均数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18、（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】
（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示

（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH.证明如下
因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG
又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH
于是BCEH为平行四边形
所以BE∥CH
又CH平面ACH，BE平面ACH，
所以BE∥平面ACH
同理BG∥平面ACH
又BE∩BG＝B
所以平面BEG∥平面ACH
（Ⅲ）连接FH
因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH
因为EG平面EFGH，所以DH⊥EG
又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD
又DF平面BFDH，所以DF⊥EG
同理DF⊥BG
又EG∩BG＝G
所以DF⊥平面BEG.
考点：本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）由递推公式，再递推一步，得，两式相减化简得
，可以判断数列是等差数列，进而可以求出等差数列的通项公式;
（2）根据（1）和对数的运算性质，用裂项相消法可以求出数列的前项和
【详解】
解：（1）由知
所以，即，从而
所以，数列是以2为公比的等比数列
又可得，
综上所述，故.
（2）由（1）可知，故，
综上所述，所以，故而
所以.
本题考查了已知递推公式求数列通项公式问题，考查了等差数列的判断以及等差数列的通项公式，考查了用裂项相消法求数列前项和问题，考查了数学运算能力.
20、（1）；（2）正相关；（3）2.2千元.
【解析】
（1）直接利用公式计算回归方程为：.
（2由（1），故正相关.
（3）把代入得：.
【详解】
（1）∵，，样本中心点为：
∴由公式得：
把代入得：
所求回归方程为：；
（2）由（1）知，所求出方程的系数为：，，
∵，
∴与之间是正相关.
（3）把代入得：（千元）
即该居民区某家庭月收入为9千元时,预测该家庭的月储蓄为2.2千元.
本题考查了回归方程的计算和预测，意在考查学生的计算能力.
21、 (1) m；(2)见解析
【解析】
（1）利用△＜0列不等式求出实数m的取值范围；
（2）讨论0＜a＜1、a＝0和a＜0，分别求出对应不等式的解集．
【详解】
（1）不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1化为m2+1）x2﹣（2m﹣1）x+1＞0，
由m2+1＞0知，△＝（2m﹣1）2﹣4（m2+1）＜0，
化简得﹣4m﹣3＜0，解得m，
所以实数m的取值范围是m；
（2）0＜a＜1时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为（x﹣1）（x）＞0，且1，
解得x＜1或x，
所以不等式的解集为{x|x＜1或x}；
a＝0时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为﹣（x﹣1）＞0，
解得x＜1，
所以不等式的解集为{x|x＜1}；
a＜0时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为（x﹣1）（x）＜0，且1，
解得x＜1，
所以不等式的解集为{x|x＜1}．
综上知，0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜1或x}；
a＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}；
a＜0时，不等式的解集为{x|x＜1}．
本题考查了不等式恒成立问题和含有字母系数的不等式解法与应用问题，是基础题．