2025届黑龙江佳木斯市富锦第一中学数学高一第二学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025届黑龙江佳木斯市富锦第一中学数学高一第二学期期末质量跟踪监视试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知四面体中，，分别是，的中点，若，，与所成角的度数为30°，则与所成角的度数为（）

A．90° B．45° C．60° D．30°
2．在中，内角所对的边分别为，若，且，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．不确定
3．已知各项均为正数的数列的前项和为，且若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
5．若直线与直线平行，则的值为
A． B． C． D．
6．点是空间直角坐标系中的一点，过点作平面的垂线，垂足为，则点的坐标为（ ）
A．（1，0，0） B． C． D．
7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，﹣π＜φ＜π），若该函数在区间（）上有最大值而无最小值，且满足f（）+f（）＝0，则实数φ的取值范围是（ ）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
8．已知中，，，为边上的中点，则 ( )
A．0 B．25 C．50 D．100
9．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
10．已知向量，的夹角为，且，，则与的夹角等于
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在数列中，按此规律，是该数列的第 ______项
12．在中，角所对的边分别为，下列命题正确的是_____________．
①总存在某个内角，使得；
②存在某钝角，有；
③若，则的最小角小于．
13．等比数列满足其公比_________________
14．已知平行四边形的周长为，，则平行四边形的面积是_______
15．下列结论中：
①
②函数的图像关于点对称
③函数的图像的一条对称轴为
④
其中正确的结论序号为______．
16．若函数，则__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，角，，所对的边分别为，，，．
（1）求角的大小；

（2）若，的面积为，求及的值．
18．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
求证：(1)AC⊥BC1；(2)AC1∥平面CDB1.
19．若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“和一点”.
（1）函数是否有“和一点”？请说明理由；
（2）若函数有“和一点”，求实数的取值范围；
（3）求证：有“和一点”.
20．已知等差数列的前项的和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，求.
21．已知小岛A的周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
取的中点,利用三角形中位线定理,可以得到,与所成角为，运用三角形中位线定理和正弦定理，可以求出的大小，也就能求出与所成角的度数.
【详解】
取的中点连接，如下图所示：因为，分别是，的中点，所以有，因为与所成角的度数为30°，所以，与所成角的大小等于的度数.

在中，
，故本题选A.
本题考查了异面直线所成角的求法，考查了正弦定理，取中点利用三角形中位线定理是解题的关键.
2、C
【解析】
通过正弦定理可得可得三角形为等腰，再由可知三角形是直角，于是得到答案.
【详解】
因为，所以，所以，即.因为，所以，又因为，所以，所以，故的形状是等腰直角三角形.
本题主要考查利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度中等.
3、C
【解析】
由得到an=n，任意的，恒成立等价于，利用作差法求出的最小值即可.
【详解】
当n=1时，，又∴
∵an+12=2Sn+n+1，∴当n≥2时，an2=2Sn﹣1+n，两式相减可得：an+12﹣an2=2an+1，
∴an+12=（an+1）2，
∵数列{an}是各项均为正数的数列，∴an+1=an+1，即an+1﹣an=1，
显然n=1时，适合上式
∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1．
∴an=1+（n﹣1）=n．
任意的，恒成立，
即恒成立
记
，
，
∴为单调增数列，即的最小值为
∴，即
故选C
已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.
4、B
【解析】
直接利用向量的数量积列出方程求解即可．
【详解】
向量，，若，可得2﹣2＝0，解得＝1，
故选B．
本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力，属于基础题．
5、C
【解析】
试题分析：由两直线平行可知系数满足
考点：两直线平行的判定
6、B
【解析】
根据空间直角坐标系的坐标关系,即可求得点的坐标.
【详解】
空间直角坐标系中点
过点作平面的垂线,垂足为,可知
故选:B
本题考查了空间直角坐标系及坐标关系,属于基础题.
7、D
【解析】
根据题意可画图分析确定的周期,再列出在区间端点满足的关系式求解即可.
【详解】
由题该函数在区间（）上有最大值而无最小值可画出简图,又,故周期满足.故.故.
又,故 .

故选：D
本题主要考查了正弦型函数图像的综合运用,需要根据题意列出端点处的函数对应的表达式求解.属于中等题型.
8、C
【解析】
三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，故可知其长度，由向量运算法则，对式子进行因式分解，由平行四边形法则，求出向量，由长度计算向量积.
【详解】
由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，所以，
原式=.
故选C.
本题考查向量的线性运算及数量积，数量积问题一般要将两个向量转化为已知边长和夹角的两向量，但本题经化简能得到共线的两向量所以直接根据模的大小计算即可.
9、A
【解析】
根据,因此只需把函数的图象向左平移个单位长度．
【详解】
因为，所以只需把函数的图象向左平移个单位长度即可得，选A.
本题主要考查就三角函数的变换，左加右减只针对，属于基础题．
10、C
【解析】
根据条件即可求出，从而可求出，，，然后可设与的夹角为，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．
【详解】
，；
，，；
设与的夹角为，则；
又，，故选．
本题主要考查向量数量积的定义运用，向量的模的求法，以及利用数量积求向量夹角．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
分别求出，，，结果构成等比数列，进而推断数列是首相为2，公比为2的等比数列，进而求得数列的通项公式，再由求得答案．
【详解】
，，，依此类推可得，
，
，即.
，解得.
故答案为：7.
本题考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，求解的关键在于推断是等比数列，再用累加法求得数列的通项公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
12、①③
【解析】
①中，根据直角三角形、锐角三角形和钝角三角形分类讨论，得出必要一个角在内，即可判定；②中，利用两角和的正切公式，化简得到，根据钝角三角形，即可判定；③中，利用向量的运算，得到，由于不共线，得到，再由余弦定理，即可判定．
【详解】
由题意，对于①中，在中，当，则，
若为直角三角形，则必有一个角在内；若为锐角三角形，则必有一个内角小于等于；若为钝角三角形，也必有一个角小于内，所以总存在某个内角，使得，所以是正确的；
对于②中，在中，由，

可得，
由为钝角三角形，所以，所以，所以不正确；
对于③中，若，即,
即，由于不共线，所以，
即，由余弦定理可得，所以最小角小于，
所以是正确的．
综上可得，命题正确的是①③．
故答案为：①③．
本题以真假命题为载体，考查了正弦、余弦定理的应用，以及向量的运算及应用，其中解答中熟练应用解三角形的知识和向量的运算进行化简是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
13、
【解析】
观察式子，将两式相除即可得到答案.
【详解】
根据题意，可知，于是.
本题主要考查等比数列公比的相关计算，难度很小.
14、
【解析】
设，根据条件可以求出，两边平方可以得到关系式，由余弦定理可以表示出，把代入得到的关系式，联立求出的值，过作垂直于，设，则可以表示，利用勾股定理，求出的值，确定长，即求出平行四边形的面积
【详解】

设
又，由余弦定理

将代入，得到将（2）代入（1）得到可以解得：(另一种情况不影响结果)，过作垂直于，设,则，所以填写
几何题如果关系量理清不了，可以尝试作图，引入相邻边的参数，通过方程把参数求出，平行四边形问题可以通过转化变为三角形问题，进而把问题简单化.
15、①③④
【解析】
由两角和的正切公式的变形，化简可得所求值，可判断①正确；
由正切函数的对称中心可判断②错误；
由余弦函数的对称轴特点可判断③正确；
由同角三角函数基本关系式和辅助角公式、二倍角公式和诱导公式，化简可得所求值，可判断④正确．
【详解】
①
，故①正确；
②函数的对称中心为，，
则图象不关于点对称，故②错误；
③函数，由为最小值，
可得图象的一条对称轴为，故③正确；
④
，故④正确．
本题主要考查三角函数的图象和性质应用以及三角函数的恒等变换，意在考查学生的化简运算能力．
16、
【解析】
根据分段函数的解析式先求，再求即可.
【详解】
因为，所以.
本题主要考查了分段函数求值问题，解题的关键是将自变量代入相应范围的解析式中，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2），
【解析】
（1）化简等式，即可求出角．
（2）利用角C的余弦公式，求出c与a的关系式，再由正弦定理求出角A的正弦值，再结合面积公式求出c的值．
【详解】
（1）∵，
∴，即，
∴.
又，∴.
（2）∵，
∴，即，
∴.
∵，且，
∴，
∴，由正弦定理得
，解得.
本题考查利用解三角形，属于基础题．
18、 (1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）由勾股定理可证得为直角三角形即可证得，由直棱柱可知面，
可证得，根据线面垂直的判定定理可证得面，从而可得．（2）设与的交点为连结，由中位线可证得，根据线面平行的判定定理可证得平面．
试题解析：证明：（1）证明：，
，
为直角三角形且，即．
又∵三棱柱为直棱柱，面，面，，
，
面，面，．
（2）设与的交点为，连结，
是的中点，是的中点，．面，面，
平面．

考点：1线线垂直，线面垂直；2线面平行．
19、（1）不存在；（2）a＞﹣2；（3）见解析
【解析】
（1）解方程即可判断；
（2）由题转化为2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，分离参数a＝2x﹣2求值域即可求解；
（3）由题意判断方程cos（x+1）＝cosx+cos1是否有解即可．
【详解】
（1）若函数有“和一点”，则不合题意
故不存在
（2）若函数f（x）＝2x+a+2x有“和一点”.
则方程f（x+1）＝f（x）+f（1）有解，
即2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，
即a＝2x﹣2有解，
故a＞﹣2；
（3）证明：令f（x+1）＝f（x）+f（1），
即cos（x+1）＝cosx+cos1，
即cosxcos1﹣sinxsin1﹣cosx＝cos1，
即（cos1﹣1）cosx﹣sinxsin1＝cos1，
故存在θ，
故cos（x+θ）＝cos1，
即cos（x+θ）＝cos1，
即cos（x+θ），
∵cos21﹣（2﹣2cos1）
＝cos21+2cos1﹣2
＜cos22cos22＜0，
故01，
故方程cos（x+1）＝cosx+cos1有解，
即f（x）＝cosx函数有“和一点”.
本题考查了新定义及分类讨论的思想应用，同时考查了三角函数的化简与应用，转化为有解问题是关键，是中档题
20、（1）数列的通项公式为 （2）
【解析】
试题分析：（1）建立方程组 ；
（2）由（1）得：进而由裂项相消法求得.
试题解析：（1）设等差数列的公差为，由题意知

解得.
所以数列的通项公式为
（2）
∴

21、继续向南航行无触礁的危险．
【解析】
试题分析：要判断船有无触礁的危险，只要判断A到BC的直线距离是否大于38海里就可以判断．
解：在三角形ABC中：BC=30，∠B=30°，∠ACB=180°－45°=135°，故∠A=
15°
由正弦定理得：
故
于是A到BC的直线距离是Acsin45°==
，大于38海里．
答：继续向南航行无触礁的危险．
考点：本题主要考查正弦定理的应用
点评：分析几何图形的特征，运用三角形内角和定理确定角的关系，有助于应用正弦定理．