广东湛江市大成中学2025届高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析.doc

广东湛江市大成中学2025届高一数学第二学期期末学业水平测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．给出下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③若直线满足，则；④若直线，是异面直线，则与，都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．中，已知，则角（ ）
A．90° B．105° C．120° D．135°
3．若直线经过两点，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．第一象限角必是锐角； B．相等的角终边必相同；
C．终边相同的角相等； D．不相等的角其终边必不相同.
5．已知向量，满足且，若向量在向量方向上的投影为，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知平面向量，的夹角为，，，则向的值为（ ）
A．－2 B． C．4 D．
7．关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
8．若，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生
10．已知向量，，则与夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则__________．
12．如图，已知圆，六边形为圆的内接正六边形，点为边的中点，当六边形绕圆心转动时，的取值范围是________．

13．不论k为何实数，直线通过一个定点，这个定点的坐标是______.
14．已知数列满足，，，则__________．
15．在中，三个角所对的边分别为．若角成等差数列，且边成等比数列，则的形状为_______．
16．在等比数列中，，的值为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．在等差数列{an}中，2a9＝a12+13，a3＝7，其前n项和为Sn．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和Tn，并证明Tn＜．
19．定义：对于任意，满足条件且（是与无关的常数）的无穷数列称为数列.
（1）若，证明：数列是数列；
（2）设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围；
（3）设数列，若数列是数列，求的取值范围.
20．已知函数，.
（1）把表示为的形式，并写出函数的最小正周期、值域；
（2）求函数的单调递增区间：
（3）定义：对于任意实数、，
设，（常数），若对于任意，总存在，使得恒成立，求实数的取值范围.
21．已知.
（1）求函数的最小正周期及值域；
（2）求方程的解.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
利用空间直线的位置关系逐一分析判断得解.
【详解】

①为假命题.可举反例，如a，b，c三条直线两两垂直；
②平行于同一条直线的两条直线平行,是真命题；
③若直线满足，则，是真命题；
④是假命题，如图甲所示，c，d与异面直线，交于四个点，此时cd异面，一定不会平行；当点B在直线上运动（其余三点不动），会出现点A与点B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面且相交.
故答案为B
本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2、C
【解析】
由诱导公式和两角差的正弦公式化简已知不等式可求得关系，求出后即可求得．
【详解】
，
∴，是三角形内角，，，则
由得，∴，从而．
故选：C.
本题考查两角差的正弦公式和诱导公式，考查正弦函数性质．已知三角函数值只要确定了角的范围就可求角．
3、C
【解析】
利用斜率公式求出直线，根据斜率值求出直线的倾斜角.
【详解】
直线的斜率为，因此，直线的倾斜角为，故选：C.
本题考查直线的倾斜角的求解，考查直线斜率公式的应用，考查计算能力，属于基础题。
4、B
【解析】
根据终边相同的角和象限角的定义，举反例或直接进行判断可得最后结果.
【详解】
是第一象限角，但不是锐角，故A错误； 与终边相同，但他们不相等，故C错误；与不相等，但他们的终边相同，故D错误；因为角的始边在x轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故B正确.
故选：B
本题考查了终边相同的角和象限角的定义，利用定义举出反例进行判断是解决本题的关键.
5、A
【解析】
由，即，
所以，
由向量在向量方向上的投影为，则，
即，所以，故选A．
6、C
【解析】
通过已知条件，利用向量的数量积化简求解即可.
【详解】
平面向量，的夹角为，或，
则向量.
故选：
本题考查向量数量积公式，属于基础题.
7、D
【解析】
由不等式与方程的关系可得且，则等价于，再结合二次不等式的解法求解即可.
【详解】
解：由关于x的不等式的解集是，
由不等式与方程的关系可得且，
则等价于等价于，
解得，
即关于x的不等式的解集是，
故选：D.
本题考查了不等式与方程的关系，重点考查了二次不等式的解法，属基础题.
8、C
【解析】
A、B利用不等式的基本性质即可判断出；C利用指数函数的单调性即可判断出；D利用基本不等式的性质即可判断出.
【详解】
A， ∵b−a>0,∴，正确；
B，∵b则，不合题意；
若，则，符合题意；若，则，不合题意．故选C．
本题主要考查系统抽样.
10、D
【解析】
根据向量，的坐标及向量夹角公式，即可求出，从而
根据向量夹角的范围即可求出夹角．
【详解】
向量，，
则；
∴；
∵0≤≤π；
∴=.
故选：D.
本题考查数量积表示两个向量的夹角，已知向量坐标代入夹角公式即可求解，属于常考题型，属于简单题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
设出数列的首项和公差,根据等差数列通项公式和前项和公式,代入条件化简得和的关系,再代入所求的式子进行化简求值.
【详解】

解：设等差数列的首项为,公差为,
由,得,得,
.
故答案为：
本题考查了等差数列通项公式和前n项和公式的简单应用,属于基础.
12、
【解析】
先求出，再化简得即得的取值范围.
【详解】
由题得OM=,
由题得
由题得.
.
所以的取值范围是.
故答案为
本题主要考查平面向量的运算和数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
13、 (2,3)
【解析】
将直线方程变形为，它表示过两直线和的交点的直线系，解方程组，得上述直线恒过定点，故答案为.
【方法点睛】
本题主要考查待定直线过定点问题. 属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
14、-2
【解析】
根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果.
【详解】
根据题干表达式得到

可以得数列具有周期性，周期为3，故得到
故得到
故答案为：-2.
这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.
15、等边三角形
【解析】
分析：角成等差数列解得，边成等比数列，则，再根据余弦定理得出的关系式．
详解：角成等差数列，则解得，边成等比数列，则，余弦定理可知
故为等边三角形．
点睛：判断三角形形状，是根据题意推导边角关系的恒等式．
16、
【解析】
由等比中项，结合得，化简即可.
【详解】
由等比中项得，得，设等比数列的公比为，
化简.
故答案为：4
本题考查了等比中项的性质，通项公式的应用，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）转化为证明Ⅱ）转化为证明，；（Ⅲ）根据线面平行的性质定理.
【详解】
（Ⅰ）因为四边形为正方形，所以，由于平面，
平面，所以平面.
（Ⅱ）因为四边形为正方形，
所以.平面平面，
平面平面，
所以平面.所以.
取中点，连接.由，，，
可得四边形为正方形.
所以.所以.所以.
因为，所以平面.
（Ⅲ）存在，当为的中点时，平面，此时.
证明如下：
连接交于点，由于四边形为正方形，
所以是的中点，同时也是的中点.
因为，又四边形为正方形，
所以，
连接，所以四边形为平行四边形.
所以.又因为平面，平面，
所以平面.

本题考查空间线面的关系.线面关系的证明要紧扣判定定理，转化为线线关系的证明.
18、（1）（2）见解析
【解析】
（1）等差数列{an}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）运用等差数列的求和公式，求得（），再由数列的裂项相消求和可得Tn，再由不等式的性质即可得证．
【详解】
（1）等差数列{an}的公差设为d，2a9＝a12+13，a3＝7，
可得2（a1+8d）＝a1+11d+13，a1+2d＝7，
解得a1＝3，d＝2，
则an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
（2）Snn（3+2n+1）＝n（n+2），
（），
前n项和Tn（1）
（1）（）．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19、（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】
（1）根据题中的新定义代入即可证出.
（2）设， ，，代入通项解不等式组，使即可求解.
（3）首先根据可求时，，当时，，根据题中新定义求出成立，可得，再验证恒成立即可求解.
【详解】
（1），
且，
则满足，则数列是数列.
综上所述，结论是：数列是数列.
（2）设， ，
则，
得，
，，
则数列的最大值为，
则
（3）
，
当时，
当时，，
由，得，
当时，恒成立，
则要使数列是数列，则的取值范围为.
本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.
20、（1）；（2）（3）
【解析】
（1）结合二倍角正弦公式和辅助角公式即可化简；
（2）结合（1）中所求表达式，正弦型函数单调增区间的通式即可求解；
（3）根据题意可得，，求出的值域，列出关于的不等式组，即可求解
【详解】
（1），
，值域为；
（2）令，解得，
所以函数的单调递增区间为，;
（3）若对于任意，总存在，使得恒成立，则，，
当，即时，，
当，即时，，
故，所以，解得，
所以实数的取值范围是
本题考查三角函数的化简和三角函数的性质应用，函数恒成立问题的转化，属于中档题
21、 (1) 最小正周期为,值域为；
(2) ,或,
【解析】
先用降幂公式,再用辅助角公式将化简成的形式,再求最小正周期,值域与的解.
【详解】
(1)
故最小正周期为,又,
故,所以值域为.
故最小正周期为,值域为.
(2)由(1),故得化简得
,所以或,.
即,或,.
故方程的解为：,或,
本题主要考查三角函数公式,一般方法是先将三角函数化简为的形式,再根据题意求解相关内容.