山西省太原市第四十八中学校2025年数学高一第二学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

山西省太原市第四十八中学校2025年数学高一第二学期期末达标检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．名小学生的身高（单位：cm）分成了甲、乙两组数据，甲组：115，122，105， 111，109；乙组：125，132，115， 121，119.两组数据中相等的数字特征是( )
A．中位数、极差 B．平均数、方差
C．方差、极差 D．极差、平均数
2．某社区义工队有24名成员，他们年龄的茎叶图如下表所示，先将他们按年龄从小到大编号为1至24号，再用系统抽样方法抽出6人组成一个工作小组，则这个小组年龄不超过55岁的人数为（ ）
3
9

4
0
1
1
2
5

5
1
3
6
6
7
7
8
8
8
9
6
0
0
1
2
3
3
4
5

A．1 B．2 C．3 D．4
3．在正方体中，异面直线与所成的角为（
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）

A． B． C． D．与a的值有关联
5．已知等差数列的前项和为.且，则（ ）
A． B． C． D．
6．等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ）
A． B． C． D．
7．将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是( )
A． B．
C． D．
8．棱柱的侧面一定是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
9．已知两条平行直线和之间的距离等于，则实数的值为( )
A． B． C．或 D．
10．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的值为( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知三棱锥，平面，，，，则三棱锥的侧面积__________．
12．无限循环小数化成最简分数为________
13．设数列的前项和，若，，则的通项公式为_____．
14．已知过两点，的直线的倾斜角是，则______．
15．观察下列式子：你可归纳出的不等式是___________
16．已知线段上有个确定的点（包括端点与）.现对这些点进行往返标数（从…进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）.如图：在点上标，称为点，然后从点开始数到第二个数，标上，称为点，再从点开始数到第三个数，标上，称为点（标上数的点称为点），……，这样一直继续下去，直到，，，…，都被标记到点上，则点上的所有标记的数中，最小的是_______.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，四棱锥，平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，，E为PB中点.

（1）求证：平面PCD；
（2）求证：.
18．在中，角所对的边分别为.
（1）若为边的中点，求证: ;
（2）若，求面积的最大值.
19．已知.
（1）求；
（2）求的值.
20．已知数列满足，（）；
（1）求、、；
（2）猜想数列的通项公式；
（3）用数学归纳法证明你的猜想；
21．已知夹角为，且，，求：
（1）； （2）与的夹角．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
将甲、乙两组数据的极差、平均数、中位数、方差全部算出来，并进行比较，可得出答案．
【详解】
甲组数据由小到大排列依次为：、、、、，极差为，平均数为中位数为，方差为，
乙组数据由小到大排列依次为：、、、、，极差为，平均数为中位数为，方差为，
因此，两组数据相等的是极差和方差，故选C．
本题考查样本的数字特征，理解极差、平均数、中位数、方差的定义并利用相关公式进行计算是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题．
2、B
【解析】
求出样本间隔，结合茎叶图求出年龄不超过55岁的有8人，然后进行计算即可．
【详解】
解：样本间隔为，年龄不超过55岁的有8人，
则这个小组中年龄不超过55岁的人数为人．
故选：．
本题主要考查茎叶图以及系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，属于基础题．
3、C
【解析】
首先由可得是异面直线和所成角，再由为正三角形即可求解.
【详解】
连接．

因为为正方体，所以，
则是异面直线和所成角．又,
可得为等边三角形，则，所以异面直线与所成角为，
故选：C
本题考查异面直线所成的角，利用平行构造三角形或平行四边形是关键，考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题.
4、C
【解析】
试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为．
考点：几何概型，圆的面积公式．
5、C
【解析】
根据等差数列性质可知，求得，代入可求得结果.
【详解】

本题正确选项：
本题考查三角函数值的求解，关键是能够灵活应用等差数列下标和的性质，属于基础题.
6、A
【解析】
试题分析：由已知得，，又因为是公差为2的等差数列，故，，解得，所以，故．
【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n项和．
7、C
【解析】
将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－);
再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是.故选C.
8、A
【解析】
根据棱柱的性质可得：其侧面一定是平行四边形，故选A.
9、C
【解析】
利用两条平行线之间的距离公式可求的值.
【详解】
两条平行线之间的距离为，
故或，
故选C.
一般地，平行线和之间的距离为，应用该公式时注意前面的系数要相等.
10、B
【解析】
化简式子得到，利用正弦定理余弦定理原式等于，代入数据得到答案.
【详解】

利用正弦定理和余弦定理得到：

故选B
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据题意将三棱锥放入对应长方体中，计算各个面的面积相加得到答案.
【详解】
三棱锥，平面，，，
画出图像：

易知：每个面都是直角三角形.

本题考查了三棱锥的侧面积，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键.
12、
【解析】
利用无穷等比数列求和的方法即可.
【详解】
.
故答案为：
本题主要考查了无穷等比数列的求和问题,属于基础题型.
13、
【解析】
已知求，通常分进行求解即可。
【详解】
时，，化为：．
时，，解得．不满足上式．
∴数列在时成等比数列．
∴时，．
∴．
故答案为： ．
本题主要考查了数列通项式的求法:求数列通项式常用的方法有累加法、定义法、配凑法、累乘法等。
14、
【解析】
由两点求斜率公式及斜率等于倾斜角的正切值列式求解．
【详解】
解：由已知可得：，
即，则．
故答案为．
本题考查直线的斜率，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．
15、
【解析】
观察三个已知式子的左边和右边，第1个不等式左边可改写成；第2个不等式左边的可改写成，右边的可改写成；第3个不等式的左边可改写成；据此可发现第个不等式的规律.
【详解】
观察三个已知式子的左边和右边，
第1个式子可改写为：，
第2个式子可改写为：，
第3个式子可改写为：，

所以可归纳出第个不等式是：.
故答案为：.
本题考查归纳推理，考查学生分析、解决问题的能力，属于基础题．
16、
【解析】
将线段上的点考虑为一圆周，所以共有16个位置，利用规则，可知标记2019的是，2039190除以16的余数为6，即线段的第6个点标为2019，则，令，即可得．
【详解】
依照题意知，标有2的是1+2，标有3的是1+2+3，……，标有2019的是1+2+3+……+2019，将将线段上的点考虑为一圆周，所以共有16个位置，利用规则，可知标记2019的是，2039190除以16的余数为6，即线段的第6个点标为2019，，令，，解得
，故点上的所有标记的数中，最小的是3.
本题主要考查利用合情推理，分析解决问题的能力．意在考查学生的逻辑推理能力，

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见详解；（2）证明见详解
【解析】
（1）取的中点，证出，再利用线面平行的判定定理即可证出.
（2）利用线面垂直的判定定理可证出平面，再根据线面垂直的定义即可证出.
【详解】
如图，取的中点，连接，

E为PB中点，，且，
又，，
，,
为平行四边形，即，
又平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD.
（2）由平面ABCD，所以，
又因为，，所以，
，平面，
又平面，.
本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，要证线面平行，需先证线线平行；要证异面直线垂直，可先证线面垂直，此题属于基础题.
18、（1）详见解析；（2）1.
【解析】
（1）证法一：根据为边的中点，可以得到向量等式，平方，再结合余弦定理，可以证明出等式
证法二：分别在和中，利用余弦定理求出和的表达式，利用，可以证明出等式；
（2）解法一：解法一：记面积为．由题意并结合（1）
所证结论得：，利用已知
，再结合基本不等式，最后求可求出面积的最大值；
解法二：利用余弦定理把表示出来，结合重要不等式，再利用三角形面积公式可得
，令设，利用辅助角公式，可以求出的最大值，即可求出面积的最大值.
【详解】
（1）证法一：由题意得
①
由余弦定理得 ②
将②代入①式并化简得，
故；
证法二：在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，

∵，∴，
则，故；
（2）解法一：记面积为．由题意并结合（1）
所证结论得：，
又已知，
则，
即，当时，等号成立，故，
即面积的最大值为1．
解法二：

设
则
由，
故.
本题考查了余弦定理、三角形面积公式的应用，考查了重要不等式及基本不等式，考查了数学运算能力.
19、（1）（2）
【解析】
（1）根据三角函数的基本关系式，可得，再结合正切的倍角公式，即可求解；
（2）由（1）知，结合三角函数的基本关系式，即可求解，得到答案.
【详解】
（1）由，根据三角函数的基本关系式，可得，
所以.
（2）由（1）知，又由.
本题主要考查了三角函数的基本关系式和正切的倍角公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
20、（1），，；（2）；（3）证明见解析；
【解析】
（1）根据数列的递推关系式，代入运算，即可求解、、；
（2）由（1）可猜想得；
（3）利用数学归纳法，即可证得猜想是正确的.
【详解】
（1）由题意，数列满足，（）；
所以，，；
（2）由（1）可猜想得；
（3）①当时，，上式成立；
②假设当时，成立，
则当时，

由①②可得，当时，成立，
即数列的通项公式为.
本题主要考查了数列的递推关系式的应用，以及数学归纳法的证明，其中解答中根据数列的递推公式，准确计算，同时熟记数学归纳法的证明方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
21、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）先求模的平方将问题转化为向量的数量积问题．（2）根据数量积公式即可求得两向量的夹角．
（1），
，
所以．
（2）设与的夹角为．
则，因为，所以．
考点：1向量的数量积；2向量的模长．