山东省微山二中2024-2025学年数学高一第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

山东省微山二中2024-2025学年数学高一第二学期期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．把函数的图象经过变化而得到的图象，这个变化是（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
2．函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（）

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
3．取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段绳有一段长度不小于的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线：是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）
A．2 B． C．6 D．
5．已知等差数列的首项,公差,则( )
A．5 B．7 C．9 D．11
6．已知点在角的终边上，函数图象上与轴最近的两个对称中心间的距离为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为(1，1)，(-3，3).若动点P满足，其中λ，μ∈R，且λ+μ=1，则点P的轨迹方程为()
A． B． C． D．
8．在中，角所对的边分别为，已知下列条件，只有一个解的是( )
A．，， B．，，
C．，， D．，，
9．已知，，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
10．圆与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．直线过圆心
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数，则________.
12．已知，，是与的等比中项，则最小值为_________．
13．经过点且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程是________.
14．已知三点、、共线，则a=_______.
15．函数在的值域是__________________.
16．已知直线平面，，那么在平面内过点P与直线m平行的直线有________条.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
18．为了了解某市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：，并绘制出频率分布直方图，如图所示.

（1）求频率分布直方图中的值，并估计该市高中学生的平均成绩；
（2）设、、、四名学生的考试成绩在区间内，、两名学生的考试成绩在区间内，现从这6名学生中任选两人参加座谈会，求学生、至少有一人被选中的概率.
19．为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果来看，哪种药的效果好？
（2）完成茎叶图，从茎叶图来看，哪种药疗效更好？
20．已知公差的等差数列的前项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：是数列中的项；
（3）若正整数满足如下条件：存在正整数，使得数列，，为递增的等比数列，求的值所构成的集合.
21．设向量，，其中.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
试题分析：，与比较可知：只需将向右平移个单位即可
考点：三角函数化简与平移
2、C
【解析】
通过图象可以知道：最低点的纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，这样可以求出和最小正周期，利用余弦型函数最小正周期公式，可以求出，把零点代入解析式中，可以求出，这样可以求出函数的解析式，利用诱导公式化为正弦型三角函数解析式形式，最后利用平移变换解析式的变化得出正确答案.
【详解】
由图象可知：函数的最低点的纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，所以，设函数的最小正周期为，则有，而，把代入函数
解析式中，得
，
所以，而，显然由
向右平移个单位长度得到
的图象，故本题选C.
本题考查了由函数图象求余弦型函数解析式，考查了正弦型函数图象之间的平移变换规律.
3、A
【解析】
设其中一段的长度为，可得出另一段长度为，根据题意得出的取值范围，再利用几何概型的概率公式可得出所求事件的概率.
【详解】
设其中一段的长度为，可得出另一段长度为，
由于剪得两段绳有一段长度不小于，则或，可得或.
由于，所以，或.
由几何概型的概率公式可知，事件“剪得两段绳有一段长度不小于”的概率为，
故选：A.
本题考查长度型几何概型概率公式的应用，解题时要将问题转化为区间型的几何概型来计算概率，考查分析问题以及运算求解能力，属于中等题.
4、C
【解析】
试题分析：直线l过圆心，所以，所以切线长，选C.
考点：切线长
5、C
【解析】
直接利用等差数列的通项公式，即可得到本题答案.
【详解】
由为等差数列，且首项，公差，得.
故选：C
本题主要考查利用等差数列的通项公式求值，属基础题.
6、C
【解析】
由题意，则，即，则；又由三角函数的定义可得，则，应选答案C．
7、C
【解析】
设点坐标，代入，得到即，再根据，即可求解.
【详解】
设点坐标，因为点的坐标分别为，
将各点坐标代入,可得，
即，解得，代入，
化简得，故选C.
本题主要考查了平面向量的坐标运算和点的轨迹的求解，其中解答中熟记向量的坐标运算，以及平面向量的基本定理是解答的关键，着重考查了推理运算能力，属于基础题.
8、D
【解析】
首先根据正弦定理得到，比较与的大小关系即可判定A，B错误，再根据大边对大角即可判定C错误，根据勾股定理即可判定D正确.
【详解】
对于A，因为，，
所以，有两个解，故A错误.
对于B，因为，，
所以，无解，故B错误.
对于C，因为，所以，即，，
所以无解，故C错误.
对于D，，为直角三角形，故D正确.
故选：D
本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理判断为解题的关键，属于简单题.
9、A
【解析】
在方向上的投影为，选A.
10、B
【解析】
求出圆心到直线的距离与半径比较．
【详解】

圆的圆心是，半径为1，圆心到直线即的距离为，直线与圆相切．
故选：B．
本题考查直线与圆人位置关系，判断方法是：利用圆心到直线的距离与半径的关系判断．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用反三角函数的定义，解方程即可．
【详解】
因为函数，由反三角函数的定义，解方程，
得，所以.
故答案为：
本题考查了反三角函数的定义，属于基础题．
12、1
【解析】
根据等比中项定义得出的关系，然后用“1”的代换转化为可用基本不等式求最小值．
【详解】
由题意，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立．
所以最小值为1．
故答案为：1．
本题考查等比中项的定义，考查用基本不等式求最值．解题关键是用“1”的代换找到定值，从而可用基本不等式求最值．
13、或
【解析】
当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入求得的值，即可求得直线方程，当直线过原点时，直线的方程为，综合可得答案.
【详解】
当直线不过原点时，设直线的方程为，
把点代入可得：，即
此时直线的方程为：
当直线过原点时，直线的方程为，即
综上可得：满足条件的直线方程为：或
故答案为：或
过原点的直线横纵截距都为0，在解题的时候容易漏掉.
14、
【解析】
由三点、、共线，则有，再利用向量共线的坐标运算即可得解.
【详解】
解：由、、，
则,,
又三点、、共线，
则，
则，
解得：，
故答案为：.
本题考查了向量共线的坐标运算，属基础题.
15、
【解析】
利用反三角函数的性质及，可得答案.
【详解】
解：，且，，
∴，
故答案为：
本题主要考查反三角函数的性质，相对简单.
16、1
【解析】
利用线面平行的性质定理来进行解答.
【详解】
过直线与点可确定一个平面，由于为公共点，所以两平面相交，不妨设交线为，因为直线平面，所以，其它过点的直线都与相交，所以与也不会平行，所以过点且平行于的直线只有一条，在平面内，
故答案为：1.
本题考查线面平行的性质定理，是基础题.

三解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) (2)
【解析】
(1) 当时，，利用得到通项公式，验证得到答案.
(2)根据的正负将和分为两种情况，和，分别计算得到答案.
【详解】
(1)当时，，
当时，.
综上所述.
(2)当时，，所以

，
当时，，

.
综上所述.
本题考查了利用求通项公式，数列的绝对值和，忽略时的情况是容易犯的错误.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）由频率分布直方图能求出a．由此能估计该市高中学生的平均成绩；
（2）现从这6名学生中任选两人参加座谈会，求出基本事件总数再学生M、N至少有一人被选中包含的基本事件个数，由此能求出学生M、N至少有一人被选中的概率．
【详解】
（1）由频率分布直方图得：
，
∴估计该市高中学生的平均成绩为：
．
（2）设A、B、C、D四名学生的考试成绩在区间[80，90）内，
M、N两名学生的考试成绩在区间[60，70）内，
现从这6名学生中任选两人参加座谈会，
基本事件总数，
学生M、N至少有一人被选中包含的基本事件个数，
∴学生M、N至少有一人被选中的概率．
本题考查了利用频率分布直方图求平均数，考查了古典概型计算公式，考查了数学运算能力.
19、（4）服用A药睡眠时间平均增加4.4；服用B药睡眠时间平均增加4.6；从计算结果来看，服用A药的效果更好；
（4）
A药

B药

6

4．

8 9 5 6 5

4 5 8 4 5

4．

7 9 4 4 4 6 8 4 4

7 8 4 4 5 6 7 9 4 4

4．

4 6 4 5 7

4 5 4 4

4．

4

从茎叶图来看，A的数据大部分集中在第二、三段，B的数据大部分集中在第一、二段，故A药的药效好.
【解析】
(4)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.由观测结果可得：＝×(4.6＋4.4＋4.4＋4.5＋4.5＋4.8＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.5＋4.6＋4.7＋4.7＋4.8＋4.9＋4.4＋4.4＋4.4＋4.5)＝4.4，
＝×(4.5＋4.5＋4.6＋4.8＋4.9＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.6＋4.7＋4.8
＋4.9＋4.4＋4.4＋4.5＋4.6＋4.7＋4.4)＝4.6.
由以上计算结果可得＞，因此可看出A药的疗效更好．
(4)由观测结果可绘制如下茎叶图：

从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎4,4上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎4,4上，由此可看出A药的疗效更好．
考点：茎叶图、平均数.
20、 (1) ；(2)证明见解析；(3) 见解析
【解析】
(1)根据等差数列性质,结合求得等再求的通项公式.
(2)先求出,再证明满足的通项公式.
(3)由数列,,为递增的等比数列可得,从而根据的通项公式求的值所构成的集合.
【详解】
(1)因为为等差数列,故,故
或,又公差,所以,故,故.
(2)由可得,
故,
若是数列中的项,则
即,
即,故是数列中的项；
(3)由数列，，为递增的等比数列,则
即.由题意存在正整数使得等式成立,
因为,故能被5整除,设,
则,又为整数,故为整数设,即，故,解得,又,故,
不妨设,则.
即
又当时,由得
满足条件.
综上所述,.
(1)本题考查等差数列性质：若是等差数列，且，则
(2)证明数列中是否满足某项或者存在正整数使得某三项为等比数列时,均先根据条件列出对应的表达式,再利用正整数的性质进行判断,有一定的难度.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）由向量垂直的坐标运算求出，再构造齐次式求解即可；
（2）先由向量的模的运算求得，再由求解即可.
【详解】
解：（1）若，则，得，
所以；
（2）因为，，
则，
因为，所以，
即，
化简得，
即，所以，
因为，所以，则，
所以，
，
所以
，
故.
本题考查了三角函数构造齐次式求值，重点考查了两角差的正弦公式及二倍角公式，属中档题.