北京海淀区2024-2025学年数学高一第二学期期末质量检测试题含解析.doc

北京海淀区2024-2025学年数学高一第二学期期末质量检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．相离
2．已知与之间的一组数据如表，若与的线性回归方程为，则的值为

A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列函数中最小值为4的是( )
A． B．
C． D．
4．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为( )
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，为坐标原点，为单位圆上一点，以轴为始边，为终边的角为，，若将绕点顺时针旋转至，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．3
7．在数列中，（，为常数），若平面上的三个不共线的非零向量、、满足，三点、、共线且该直线不过点，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A． B． C． D．
9．在中，角的对边分别是，已知，则（　　）
A． B． C． D．或
10．直线与、为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知等差数列，若，则______.
12．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n = .
13．若，点的坐标为，则点的坐标为.
14．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1~200编号，分为40组，分别为1~5，6~10，…，196~200，若第5组抽取号码为22，则第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．

15．在中，角的对边分别为，且面积为，则面积的最大值为_____．
16．在锐角中，角的对边分别为.若，则角的大小为为____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设向量，，其中.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
18．如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
19．已知，，求的值.
20．已知向量，且.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
21．为迎接世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸（单位：cm），能使整个矩形广告面积最小.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由两圆的圆心距及半径的关系求解即可得解.
【详解】
解：由圆，
圆，即，
所以圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标为，两圆半径，
则圆心距，
即两圆外切，
故选：B.
本题考查了两圆的位置关系的判断，属基础题.
2、D
【解析】
先求出样本中心点，代入回归直线方程，即可求得的值，得到答案.
【详解】
由题意，根据表中的数据，可得，
又由回归直线方程过样本中心点，
所以，解得，
故选D.
本题主要考查了线性回归直线方程的应用，其中解答中熟记线性回归直线方程的基本特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3、C
【解析】
对于A和D选项不能保证基本不等式中的“正数”要求，对于B选项不能保证基本不等式中的“相等”要求，即可选出答案.
【详解】
对于A，当时，显然不满足题意，故A错误.
对于B，，，.
当且仅当，即时，取得最小值.
但无解，故B错误.
对于D，当时，显然不满足题意，故D错误.
对于C，，，.
当且仅当，即时，取得最小值，故C正确.
故选：C
本题主要考查基本不等式，熟练掌握基本不等式的步骤为解题的关键，属于中档题.
4、C
【解析】
有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率．
【详解】
有一块棱长为3尺的正方体方木要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，
由正方体的结构及锯木块的方法，
可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，
∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：
p．
故选C．
本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.
5、C
【解析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得点的坐标．
【详解】
为单位圆上一点，以轴为始边，为终边的角为，，
若将绕点顺时针旋转至，则点的横坐标为，
点的纵坐标为，故点的坐标为.
故选C.
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，考查基本的运算求解能力．
6、C
【解析】
等式分子分母同时除以即可得解.
【详解】
由可得.
故选：C.
本题考查了三角函数商数关系的应用，属于基础题.
7、A
【解析】
利用等差数列的定义可知数列为等差数列，由向量中三点共线的结论得出，然后利用等差数列的求和公式可计算出的值.
【详解】
，，所以，数列为等差数列，
三点、、共线且该直线不过点，，，
因此，.
故选：A.
本题考查等差数列求和，涉及等差数列的定义以及向量中三点共线结论的应用，考查计算能力属于中等题.
8、B
【解析】
由三视图判断该几何体是有三条棱两两垂直是三棱锥，结合三视图的数据可得结果.
【详解】

由三视图可得该几何体是如图所示的三棱锥，其中AB，BC，BP两两垂直，
且，则和的面积都是1，的面积为2，
在中，，
则的面积为，
所以该几何体的表面积为，
故选：B.
三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
9、B
【解析】
由已知知，所以B＜A=，由正弦定理得，==，所以，故选B
考点：正弦定理
10、D
【解析】
由直线方程可得直线恒过点，利用两点连线斜率公式可求得临界值和，从而求得结果.
【详解】
直线恒过点
则，
本题正确选项：
本题考查利用直线与线段有交点确定直线斜率取值范围的问题，关键是能够确定直线恒过的定点，从而找到直线与线段有交点的临界状态.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用等差数列的通项公式直接求解.
【详解】
设等差数列公差为，由，得，
解得.
故答案：.
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
12、13
【解析】
(解法1)由分层抽样得，解得n＝13.
(解法2)从甲乙丙三个车间依次抽取a，b，c个样本，则120∶80∶60＝a∶b∶3a＝6，b＝4，所以n＝a＋b＋c＝13.
13、
【解析】
试题分析：设，则有，所以，解得，所以.
考点：平面向量的坐标运算.
14、37 1
【解析】
由系统抽样，编号是等距出现的规律可得，分层抽样是按比例抽取人数．
【详解】
第8组编号是22+5+5+5＝37，
分层抽样，40岁以下抽取的人数为50%×40＝1（人）．
故答案为：37；1．

本题考查系统抽样和分层抽样，属于基础题．
15、
【解析】
利用三角形面积构造方程可求得，可知，从而得到；根据余弦定理，结合基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得最大值.
【详解】

，
由余弦定理得：（当且仅当时取等号）

本题正确结果：
本题考查解三角形问题中的三角形面积的最值问题的求解；求解最值问题的关键是能够通过余弦定理构造等量关系，进而利用基本不等式求得边长之积的最值，属于常考题型.
16、
【解析】
由，两边同除以得，由余弦定理可得是锐角，，故答案为.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）由向量垂直的坐标运算求出，再构造齐次式求解即可；
（2）先由向量的模的运算求得，再由求解即可.
【详解】
解：（1）若，则，得，
所以；
（2）因为，，
则，
因为，所以，
即，
化简得，
即，所以，
因为，所以，则，
所以，
，
所以
，
故.
本题考查了三角函数构造齐次式求值，重点考查了两角差的正弦公式及二倍角公式，属中档题.
18、（1）24；（2）8
【解析】
（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长．
（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．
【详解】
(1) 在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°
由正弦定理得

(2) 在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°，解得CD=．
所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile．
点睛：解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
19、
【解析】
根据角的范围结合条件可求出，的值，然后求出的值，再由二倍角公式可求解.
【详解】
由，，得.
又，则.

由，，得.
所以
又

所以
本题考查两角和与差的三角函数公式和同角三角函数关系以及二倍角公式，考察角变换的应用，属于中档题.
20、（1）（2）
【解析】
（1）根据向量数列积的坐标运算，化简整理得到，即可求出结果；
（2）根据题中条件求出，，
再由，即可求出结果.
【详解】
解：（1）因为，
所以.
.
因为，所以，即.
（2）因为，所以，
因为，所以.
因为，所以
所以
因为，所以，所以
本题主要考查三角恒等变换，熟记两角和的余弦公式即可，属于常考题型.
21、高200，宽100
【解析】
设广告矩形栏目高与宽分别为acm, cm
整个矩形广告面积为

当且仅当时取等号