宣城市重点中学2025届高一数学第二学期期末统考试题含解析.doc

宣城市重点中学2025届高一数学第二学期期末统考试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知数列、、、、，可猜想此数列的通项公式是（ ）.
A． B．
C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知，若，则的值是（ ）.
A．-1 B．1 C．2 D．-2
4．已知，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的值为( )
A． B． C． D．
6．已知函数是连续的偶函数，且时， 是单调函数，则满足的所有之积为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的零点有两个，求实数的取值范围（ ）
A． B．或 C．或 D．
8．已知中，，则角（ ）
A．60°或120° B．30°或90° C．30° D．90°
9．在中，角的对边分别是， ，则的形状为
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
10．如图，E是平行四边形ABCD的边AD的中点，设等差数列的前n项和为，若，则（ ）

A．25 B． C． D．55
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔的南偏西距塔64海里的处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的处,则这只船的航行速度为__________海里/小时．
12．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率为________.
13．直线的倾斜角为__________．
14．下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，求能得出⊥面MNP的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)______

15．有6根细木棒，其中较长的两根分别为，，其余4根均为，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为 .
16．已知等差数列的前n项和为，若，则的值为______________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量，，，．
（1）若，且，求x的值；
（2）对于，，定义．解不等式；
（3）若存在，使得，求k的取值范围．
18．如图，在三棱柱中，为正三角形，为的中点，，，．

（1）证明：平；
（2）证明：平面平面．
19．如图，在△ABC中，cosC＝，角B的平分线BD交AC于点D，设∠CBD＝θ，其中tanθ＝﹣1．

（1）求sinA的值；
（2）若，求AB的长．
20．已知等差数列与等比数列满足，，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，是否存在正整数，使恒成立？若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.
21．如图所示，在平面直角坐标系中，角和的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点、两点，点的纵坐标为.

（Ⅰ)求的值；
（Ⅱ)若，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
利用赋值法逐项排除可得出结果.
【详解】
对于A选项，，不合乎题意；
对于B选项，，不合乎题意；
对于C选项，，不合乎题意；
对于D选项，当为奇数时，，此时，
当为偶数时，，此时，合乎题意.
故选：D.
本题考查利用观察法求数列的通项，考查推理能力，属于中等题.
2、D
【解析】
将转化为，结合二倍角的正切公式即可求出.
【详解】

故选D
本题主要考查了二倍角的正切公式，关键是将转化为，利用二倍角的正切公式求出，属于基础题.
3、C
【解析】
先求出的坐标，再利用向量平行的坐标表示求出c的值.
【详解】
由题得，
因为，
所以2(c-2)-2×0=0，
所以c=2.
故选C
本题主要考查向量的坐标计算和向量共线的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4、B
【解析】
∵，∴，， ，∴，∴点在第二象限，故选B.
点睛：本题主要考查了由三角函数值的符号判断角的终边位置，属于基础题；三角函数值符号记忆口诀记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.
5、B
【解析】
化简式子得到，利用正弦定理余弦定理原式等于，代入数据得到答案.
【详解】

利用正弦定理和余弦定理得到：

故选B
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.
6、D
【解析】
由y＝f（x+2）为偶函数分析可得f（x）关于直线x＝2对称，进而分析可得函数f（x）在（2，+∞）和（﹣∞，2）上都是单调函数，据此可得若f（x）＝f（1），则有x＝1或4﹣x＝1，变形为二次方程，结合根与系数的关系分析可得满足f（x）＝f（1）的所有x之积，即可得答案．
【详解】
根据题意，函数y＝f（x+2）为偶函数，则函数f（x）关于直线x＝2对称，
又由当x＞2时，函数y＝f（x）是单调函数，则其在（﹣∞，2）上也是单调函数，
若f（x）＝f（1），则有x＝1或4﹣x＝1，
当x＝1时，变形可得x2+3x﹣3＝0，有2个根，且两根之积为﹣3，
当4﹣x＝1时，变形可得x2+x﹣13＝0，有2个根，且两根之积为﹣13，
则满足f（x）＝f（1）的所有x之积为（﹣3）×（﹣13）＝39；
故选：D．
本题考查抽象函数的应用，涉及函数的对称性与单调性的综合应用，属于综合题．
7、B
【解析】
由题意可得，的图象（红色部分）和直线有2个交点，数形结合求得的范围．
【详解】
由题意可得的图象(红色部分)和直线有2个交点，如图所示：

故有或，
故选：B.
已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的图象的交点个数问题 .
8、B
【解析】
由正弦定理求得，再求．
【详解】
由正弦定理，∴，
或，
时，，时，．
故选：B.
本题考查正弦定理，在用正弦定理解三角形时，可能会出现两解，一定要注意．
9、A
【解析】
先根据二倍角公式化简再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择.
【详解】
因为，所以,,因此,选A.
本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.
10、D
【解析】
根据向量的加法和平面向量定理，得到和的值，从而得到等差数列的公差，根据等差数列求和公式，得到答案.
【详解】
因为E是平行四边形ABCD的边AD的中点，
所以，
因为，所以，，
所以等差数列的公差，
所以.
故选：D.
本题考查向量的加法和平面向量定理，等差数列求和公式，属于简单题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由 ，行驶了4小时，这只船的航行速度为 海里/小时．
【点睛】本题为解直角三角形应用题，利用直角三角形边角关系表示出两点间的距离，在用辅助角公式变形求值，最后利用速度公式求出结果.
12、0.2
【解析】
从1,2,3,4,5中任意取两个不同的数共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)10种.
其中和为5的有(1,4),(2,3)2种.
由古典概型概率公式知所求概率为=.
13、
【解析】
试题分析：由直线方程可知斜率
考点：直线倾斜角与斜率
14、①④⑤
【解析】
为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，l位置固定，截面MNP变动，l与面MNP是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN、NP、MP三条线中，若有一条不垂直l，则可断定l与面MNP不垂直；若有两条与l都垂直，则可断定l⊥面MNP；若有l的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．
解法1 作正方体ABCD－A1B1C1D1如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是对角线l (即 AC1)的垂面．
对比图①，由MN∥BA l，MP∥BD，知面MNP∥面BAlD，故得l⊥面MNP．
对比图②，由MN与面CB1D1相交，而过交点且与l垂直的直线都应在面CBlDl内，所以MN不垂直于l从而l不垂直于面MNP．
对比图③，由MP与面BA l D相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．
对比图④，由MN∥BD，MP∥BA．知面 MNP∥面BA1 D，故l⊥面MNP．
对比图⑤，面MNP与面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．
综合得本题的答案为①④⑤．

解法2 如果记正方体对角线l所在的对角截面为．各图可讨论如下：
在图①中，MN,NP在平面上的射影为同一直线，且与l垂直，故 l⊥面MNP．事实上，还可这样考虑：l在上底面的射影是MP的垂线，故l⊥MP；l在左侧面的射影是MN的垂线，故l⊥MN，从而l⊥面 MNP．
在图②中，由MP⊥面，可证明MN在平面上的射影不是l的垂线，故l不垂直于MN．从而l不垂直于面MNP．
在图③中，点M在上的射影是l的中点，点P在上的射影是上底面的内点，知MP在上的射影不是l的垂线，得l不垂直于面 MNP．
在图④中，平面垂直平分线段MN，故l⊥MN．又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直，从而l⊥MP，故l⊥面 MNP．
在图⑤中，点N在平面上的射影是对角线l的中点，点M、P在平面上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l与这一直线垂直．从而l⊥面MNP．
至此，得①④⑤为本题答案．
15、
【解析】
分较长的两条棱所在直线相交，和较长的两条棱所在直线异面两种情况讨论，结合三棱锥的结构特征，即可求出结果.
【详解】

当较长的两条棱所在直线相交时，如图所示：
不妨设，，，
所以较长的两条棱所在直线所成角为，
由勾股定理可得：，所以，
所以此时较长的两条棱所在直线所成角的余弦值为；
当较长的两条棱所在直线异面时，
不妨设，，则，
取CD的中点为O，连接OA，OB，
所以CD⊥OA，CD⊥OB，
而，所以OA+OBa11＝3a9，而S17＝17a9，故本题可解．
【详解】
∵a1+a17＝2a9，
∴S1717a9＝170，
∴a9＝10，
∴a7+a9+a11＝3a9＝1；
故答案为：1．
本题考查了等差数列的前n项和公式与等差数列性质的综合应用，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或（2）（3）
【解析】
（1）由题,由可得,进而求解即可；
（2）由题意得到,进而求解即可；
（3）由可得,整理可得关于的函数,进而求解即可
【详解】
（1）由题,,
因为,所以,则,
因为,所以或
（2）由题
因为,所以,
当时,,
因为是以为最小正周期的周期函数,
所以
（3）由（1）,由题,,
若,
则,
则,
因为,所以
本题考查共线向量的坐标表示,考查垂直向量的坐标表示,考查解三角函数的不等式
18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）连结交于，连结，先证明，再证明平；（2）取的中点为，连结，，，先证明平面，再证明平面平面．
【详解】
证明：（1）连结交于，连结，
由于棱柱的侧面是平行四边形，故为的中点，
又为的中点，故是的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面．

（2）取的中点为，连结，，，在中，，
由，知为正三角形，故，
又，，故，所以，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面．
本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.
19、（1）（2）
【解析】
（1）根据二倍角公式及同角基本关系式，求出cos∠ABC，进而可求出sinA；
（2）根据正弦定理求出AC，BC的关系，利用向量的数量积公式求出AC，可得BC，正弦定理可得答案．
【详解】
（1）由∠CBD＝θ，且tanθ1，所以θ∈（0，），
所以cos∠ABC，
则sin∠ABC，
由cosC，得：sinC，
sinA＝sin[π﹣（∠ABC+∠C）]＝sin（∠ABC+∠C）．
（2）由正弦定理，得，
即BCAC；
又 •AC2•21，
∴AC＝5，
∴ABAC＝4．
本题考查了二倍角公式、同角基本关系式和正弦定理的灵活运用和计算能力，是中档题．
20、（1），． （2）存在正整数，，证明见解析
【解析】
（1）根据题意，列出关于d与q的两个等式，解方程组，即可求出。
（2）利用错位相减求出，再讨论求出的最小值，对应的n值即为所求的k值。
【详解】
（1）解：设等差数列与等比数列的公差与公比分别为，，
则，解得，
于是，，．
（2）解：由，
即，①
，②
①②得：，
从而得．
令,得,显然、所以数列是递减数列，
于是，对于数列，当为奇数时，即，，，…为递减数列，
最大项为，最小项大于；
当为偶数时，即，，，…为递增数列，最小项为，最大项大于零且小于，
那么数列的最小项为．
故存在正整数，使恒成立．
本题考查等差等比数列，利用错位相减法求差比数列的前n项和，并讨论其最值，属于难题。
21、（Ⅰ)；（Ⅱ)
【解析】
（Ⅰ）由题意知的值，可求得和的值，即得所求式子的值；（Ⅱ）由题意知的值，由的值求得的值．
【详解】
（Ⅰ)由题意可得，，
∴
（Ⅱ)因为即，
∵，∴，∴
∴

本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了三角函数求值问题，是中档题