2025届云南省普洱市墨江县二中数学高一下期末统考试题含解析.doc

2025届云南省普洱市墨江县二中数学高一下期末统考试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．给出下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③若直线满足，则；④若直线，是异面直线，则与，都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．从一批产品中取出两件产品，事件 “至少有一件是次品”的对立事件是
A．至多有一件是次品 B．两件都是次品
C．只有一件是次品 D．两件都不是次品
3．直线，，的斜率分别为，，，如图所示，则（ ）

A． B．
C． D．
4．在中，角的对边分别是，已知，则（　　）
A． B． C． D．或
5．的内角的对边分别为，若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
6．若且，则下列四个不等式：①，②，③，④中，一定成立的是（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④
7．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元
8．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
9．函数，当上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，下列说法：①图像关于对称；②的最小正周期为；③在区间上单调递减；④图像关于中心对称；⑤的最小正周期为正确的是________.
12．如果事件A与事件B互斥，且，，则＝ ．
13．在等比数列中，，的值为______.
14．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
15．在中，已知M是AB边所在直线上一点，满足，则________.
16．已知等腰三角形底角的余弦值等于，则这个三角形顶角的正弦值为________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为

（1）求的值； （2）求的值．
18．已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式．
（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．
19．已知数列满足，（）；
（1）求、、；
（2）猜想数列的通项公式；
（3）用数学归纳法证明你的猜想；
20．已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
21．某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量.已知其车流量（单位：千辆）是时间（，单位：）的函数，记为，下表是某日桥上的车流量的数据：

0
3
6
9
12
15
18
21
24
（千辆）
3.0
1.0
2.9
5.0
3.1
1.0
3.1
5.0
3.1
经长期观察，函数的图象可以近似地看做函数（其中，，，）的图象.
(1)根据以上数据，求函数的近似解析式；
(2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
利用空间直线的位置关系逐一分析判断得解.
【详解】

①为假命题.可举反例，如a，b，c三条直线两两垂直；
②平行于同一条直线的两条直线平行,是真命题；
③若直线满足，则，是真命题；
④是假命题，如图甲所示，c，d与异面直线，交于四个点，此时c，d异面，一定不会平行；当点B在直线上运动（其余三点不动），会出现点A与点B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面且相交.
故答案为B
本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2、D
【解析】
试题分析：根据对立事件的定义，至少有n个的对立事件是至多有n﹣1个，由事件A：“至少有一件次品”，我们易得结果．
解：∵至少有n个的否定是至多有n﹣1个
又∵事件A：“至少有一件次品”，
∴事件A的对立事件为：至多有零件次品，
即是两件都不是次品．
故答案为 D．
点评：本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，互斥事件关键是要抓住不可能同时发生的要点，对立事件则要抓住有且只有一个发生，可以转化命题的否定，集合的补集来进行求解．
3、A
【解析】
根据题意可得出直线，，的倾斜角满足，由倾斜角与斜率的关系得出结果.
【详解】
解：设三条直线的倾斜角为，
根据三条直线的图形可得，
因为，
当时，，
当时，单调递增，且，
故，
即

故选A.
本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，解题的关键是熟悉正切函数的单调性.
4、B
【解析】
由已知知，所以B＜A=，由正弦定理得，==，所以，故选B
考点：正弦定理
5、C
【解析】
由题意可得，化简后利用正弦定理将“边化为角“即可．
【详解】
解：的面积为，
，
，
故选：C．
本题主要考查正弦定理的应用和三角形的面积公式，属于基础题．
6、C
【解析】
根据且，可得，，且，，根据不等式的性质可逐一作出判断．
【详解】
由且，可得，
∴，且，，
由此可得①当a=0时，不成立，
②由，，则成立，
③由，，可得成立，
④由，若，则不成立，
因此，一定成立的是②③，
故选：C.
本题考查不等式的基本性质的应用，属于基础题.
7、B
【解析】
∵， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程中的为9.4
∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，
∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，
故选B．
8、C
【解析】
画出长方体,将平移至,则,则即为异面直线与所成角,由余弦定理即可求解.
【详解】
根据题意,画出长方体如下图所示:

将平移至,则即为异面直线与所成角
,,
由余弦定理可得
故选:C
本题考查了长方体中异面直线的夹角求法,余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.
9C
【解析】
先求出取最大值时的所有的解，再解不等式，由解的个数决定出的取值范围．
【详解】
设，所以，解得 ，
所以满足的值恰好只有5个，

所以的取值可能为0,1,2,3,4，由
，故选C．
本题主要考查正弦函数的最值以及不等式的解法，意在考查学生的数学运算能力．
10、D
【解析】
利用不等式的性质、对数、指数函数的图像和性质，对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
对于选项A, 不一定成立，如a=1＞b=-2,但是，所以该选项是错误的；
对于选项B, 所以该选项是错误的；
对于选项C,ab符号不确定，所以不一定成立，所以该选项是错误的；
对于选项D, 因为a>b,所以，所以该选项是正确的.
故选D
本题主要考查不等式的性质，考查对数、指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、②③⑤
【解析】
将函数解析式改写成：，即可作出函数图象，根据图象即可判定.
【详解】
由题：，，
所以函数为奇函数，
，是该函数的周期，结合图象分析是其最小正周期，
，
作出函数图象：

可得，该函数的最小正周期为，图像不关于对称；
在区间上单调递减；图像不关于中心对称；
故答案为：②③⑤
此题考查三角函数图象及其性质的辨析，涉及周期性，对称性和单调性，作为填空题，恰当地利用图象解决问题能够起到事半功倍的作用.
12、0.5
【解析】
表示事件A与事件B满足其中之一占整体的占比．所以根据互斥事件概率公式求解．
【详解】

此题考查互斥事件概率公式，关键点在于理解清楚题目概率表示的实际含义，属于简单题目．
13、
【解析】
由等比中项，结合得，化简即可.
【详解】
由等比中项得，得，设等比数列的公比为，
化简.
故答案为：4
本题考查了等比中项的性质，通项公式的应用，属于基础题.
14、分层抽样.
【解析】
分析：由题可知满足分层抽样特点
详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样
故答案为分层抽样．
点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题．
15、3
【解析】
由M在AB边所在直线上，则，又，然后将，都化为，即可解出答案.
【详解】
因为M在直线AB上，所以可设，
可得，即，
又，则
由与不共线，所以，解得.
故答案为：3
本题考查向量的减法和向量共线的利用，属于基础题.
16、
【解析】
已知等腰三角形可知为锐角，利用三角形内角和为，建立底角和顶角之间的关系，再求解三角函数值．
【详解】
设此三角形的底角为，顶角为，易知为锐角，则，，所以．
给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数求解未知的函数值．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】
试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得 与的值，进而可得出与的值，从而可求与的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出 的值，再根据的取值范围，可得出的取值范围，进而可得出的值.
由条件得cosα＝，cosβ＝.
∵ α，β为锐角，
∴ sinα＝＝，sinβ＝＝.
因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.
(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2) ∵ tan2β＝＝＝，
∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1.
∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<∴ α＋2β＝
18、（1）（2）存在，最小值是．
【解析】
（1）利用等比中项的性质列方程，将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，由此求得数列的通项公式.
（2）首先求得数列的前项和，由列不等式，解一元二次不等式求得的取值范围，由此求得的最小值.
【详解】
（1）设等差数列的公差为（），由题意得
化简，得 ．
因为，所以，解得
所以 ，
即数列的通项公式是 （）．
（2）由（1）可得 ．
假设存在正整数，使得，即 ，
即，解得或 (舍) ．
所以所求的最小值是．
本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和公式，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.
19、（1），，；（2）；（3）证明见解析；
【解析】
（1）根据数列的递推关系式，代入运算，即可求解、、；
（2）由（1）可猜想得；
（3）利用数学归纳法，即可证得猜想是正确的.
【详解】
（1）由题意，数列满足，（）；
所以，，；
（2）由（1）可猜想得；
（3）①当时，，上式成立；
②假设当时，成立，
则当时，

由①②可得，当时，成立，
即数列的通项公式为.
本题主要考查了数列的递推关系式的应用，以及数学归纳法的证明，其中解答中根据数列的递推公式，准确计算，同时熟记数学归纳法的证明方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
20、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）利用数列的递推公式证明出为非零常数，即可证明出数列是等比数列；
（2）确定等比数列的首项和公比，求出数列的通项公式，即可求出.
【详解】
（1），，
因此，数列是等比数列；
（2）由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，.
本题考查等比数列的证明，同时也考查了数列通项的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
21、（1） （2） 8个小时
【解析】
（1）根据函数的最大最小值可求出和，根据周期求出，根据一个最高点的横坐标可求得；
（2）解不等式可得．
【详解】
(1)根据表格中的数据可得:
由，
,解得：
由当时，有最大值，则
即，得.
所以函数的近似解析式
（2）若车流量超过4千辆时，即
所以，则
所以，且.
所以和满足条件.
所以估计一天内将有8小时不允许这种货车通行．
本题考查了根据一些特殊的函数值观察周期特点，求解三角函数解析式以及简单应用，属中档题．