2025年宁波市第七中学高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025年宁波市第七中学高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在正方体中，与棱异面的棱有（ ）
A．8条 B．6条 C．4条 D．2条
2．设函数的图象分别向左平移m(m>0)个单位，向右平移n(n>0>个单位，所得到的两个图象都与函数的图象重合的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么对立的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
4．已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，等式恒成立，若数列满足，且，则的值为（ ）
A．4037 B．4038 C．4027 D．4028
5．若点为圆C：的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度米，拱高米，建造时每隔8米需要用一根支柱支撑，则支柱的高度大约是（ ）

A．9.7米 B．9.1米 C．8.7米 D．8.1米
7．设a，b，c为的内角所对的边，若，且，那么外接圆的半径为　　
A．1 B． C．2 D．4
8．函数的最大值是（）
A． B． C． D．
9．已知，那么等于( )
A． B． C． D．5
10．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中正确的是__．
(1)若，，，则；
(2)若，，，则；
(3)若，，，，则；
(4)若，，,则．
12．设常数，函数，若的反函数的图像经过点，则_______.
13．已知正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为______.
14．已知等比数列中，若，，则_____．
15．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______.
16．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，则在[1 500，2 000)(元)月收入段应抽出 人.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知 是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，求 ；
（2）若与共线，求的值.
18．已知.
（1）化简;
（2）若,且为第一象限角,求的值.
19．（Ⅰ）已知直线过点且与直线垂直，求直线的方程；
（Ⅱ）求与直线的距离为的直线方程.
20．已知函数.
（1）求在区间上的单调递增区间；
（2）求在的值域.
21．已知方程；
（1）若，求的值；
（2）若方程有实数解，求实数的取值范围；
（3）若方程在区间上有两个相异的解、，求的最大值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
在正方体12条棱中，找到与平行的、相交的棱，然后计算出与棱异面的棱的条数.
【详解】
正方体共有12条棱，其中与平行的有共3条，与与相交的有共4条，因此棱异面的棱有条，故本题选C.
本题考查了直线与直线的位置关系，考查了异面直线的判断.
2、C
【解析】
求出函数的图象分别向左平移个单位，向右平移个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数的图象重合，可分别得关于，的方程，解之即可．
【详解】
解：将函数的图象向左平移个单位，得函数，
其图象与的图象重合，
，，，故，，，
当时，取得最小值为．
将函数的图象向右平移个单位，得到函数，
其图象与的图象重合，
，，，
故，，当时，取得最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
本题主要考查诱导公式，函数的图象变换规律，属于基础题．
3、D
【解析】
写出所有等可能事件，求出事件“至少有一个黑球”的概率为，事件“都是红球”的概率为，两事件的概率和为，从而得到两事件对立.
【详解】
记两个黑球为，两个红球为，则任取两球的所有等可能结果为：
，记事件A为“至少有一个黑球”，事件为：“都是红球”，
则，因为，所以事件与事件互为对立事件.
本题考查古典概型和对立事件的判断，利用两事件的概率和为1是判断对立事件的常用方法.
4、A
【解析】
由，对任意的实数，等式恒成立，且，得到an+1＝an+2，由等差数列的定义求得结果．
【详解】
∵，∴f（an+1）f（﹣2﹣an）＝1，∵f（x）•f（y）＝f（x+y）恒成立，
∴令x＝﹣1，y＝0，则f（﹣1）•f（0）＝f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）＞1，∴f（﹣1）≠0，
则f（0）＝1，则f（an+1）f（﹣2﹣an）＝1，等价为f（an+1）f（﹣2﹣an）＝f（0），
即f（an+1﹣2﹣an）＝f（0），则an+1﹣2﹣an＝0，∴an+1﹣an＝2.
∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，首项a1＝f（0）＝1，
∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴＝2×2019﹣1＝4037.
故选：A
本题主要考查数列与函数的综合运用，根据抽象函数的关系结合等差数列的通项公式建立方程是解决本题的关键，属于中档题．
5、A
【解析】
根据题意，先求出直线PC的斜率，根据MN与PC垂直求出MN的斜率，由点斜式，即可求出结果.
【详解】
由题意知，圆心的坐标为，则，由于MN与PC垂直，故MN的斜率，
故弦MN所在的直线方程为，即.
故选A
本题主要考查求弦所在直线方程，熟记直线的点斜式方程即可，属于常考题型.
6、A
【解析】
以为原点以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，设出圆心坐标与半径，可得圆拱所在圆的方程，将代入圆的方程，可求出支柱的高度
【详解】
由图以为原点、以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，

设圆心坐标为，，，
则圆拱所在圆的方程为，
，解得，，
圆的方程为，
将代入圆的方程，得
.
故选：A
本题考查了圆的标准方程在生活中的应用，需熟记圆的标准方程的形式，属于基础题.
7、A
【解析】
由 得b2+c2-a2=bc．利用余弦定理，可得A= ．再利用正弦定理可得 2R= ，可得R.
【详解】
∵ ,∴,
整理得b2+c2-a2=bc，
根据余弦定理cosA= ，可得cosA
∵A∈（0，π），∴A=
由正弦定理可得2R== ,解得R=1，故选A
已知三边关系，可转化为接近余弦定理的形式，直接运用余弦定理理解三角形，注意整体代入思想.
8、B
【解析】
令，再计算二次函数定区间上的最大值。
【详解】
令
则

本题考查利用换元法将计算三角函数的最值转化为计算二次函数定区间上的最值。属于基础题。
9、B
【解析】
因为，
所以，
故选B.
10、C
【解析】
由题意，可知，即为奇函数，排除，，又时，，可排除D，即可选出正确答案.
【详解】
由题意，函数定义域为，且，即为奇函数，排除，，当时，，，即时，，可排除D，故选C.
本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性的运用，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 (1)
【解析】
利用线线平行的传递性、线面垂直的判定定理判定．
【详解】
(1) ， ，，则，正确
(2)若，，，则，错误
(3)若，则不成立，错误
(4)若，，,则，错误
本题主要考查线面垂直的判定定理判定，考查了空间想象能力，属于中档题.
12、1
【解析】
反函数图象过（2，1），等价于原函数的图象过（1，2），代点即可求得．
【详解】
依题意知：f（x）＝lg （x+a）的图象过（1，2），
∴lg （1+a）＝2，解得a＝1．
故答案为：1
本题考查了反函数，熟记其性质是关键，属基础题．
13、.
【解析】
根据题意画出正方体,由线段关系即可求得三棱锥的体积.
【详解】
根据题意,画出正方体如下图所示:

由棱锥的体积公式可知

故答案为:
本题考查了三棱锥体积求法,通过转换顶点法求棱锥的体积是常用方法,属于基础题.
14、4
【解析】
根据等比数列的等积求解即可.
【详解】
因为,故.
又,故.
故答案为：4
本题主要考查了等比数列等积性的运用,属于基础题.
15、
【解析】
利用等差数列的性质以及等差数列奇数项之和与中间项的关系进行化简求解.
【详解】
因为是等差数列，所以又因为为等差数列，所以，故．
（1）在等差数列中，若，
则有；
（2）在等差数列.
16、16
【解析】
试题分析：由频率分布直方图知，收入在1511--2111元之间的概率为1．1114×511=1．2，所以在[1 511，2 111）（元）月收入段应抽出81×1．2=16人。
考点：频率分布直方图的应用；‚分层抽样。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）根据向量的坐标的运算法则和向量垂直的条件，以及模的定义即可求出．
（2）根据向量共线的条件即可求出．
【详解】
（1）因为

（2）由已知：

本题考查了向量的坐标运算以及向量的垂直和平行的坐标表示，属于基础题．
18、（1）（2）
【解析】
（1）由条件利用诱导公式进行化简所给的式子,即可求得答案;
（2）由题意应用诱导公式,同角三角函数的基本关系求得的值,可得的值,即可求得答案.
【详解】
（1）

（2）
①
又②
解得:
为第一象限角

本题主要考查了三角函数化简求值问题,解题关键是熟练使用诱导公式和同名三角函数求值的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）或．
【解析】
（Ⅰ）根据直线与直线垂直，求得直线的斜率为，再利用直线的点斜式方程，即可求解；
（Ⅱ）设所求直线方程为，由点到直线的距离公式，列出方程，求得的值，即可得到答案.
【详解】
（Ⅰ）由题意，设所求直线的斜率为，
由直线的斜率为，
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
所以所求直线的方程为直线的方程为：，即.
（Ⅱ）设所求直线方程为，即，
直线上任取一点，
由点到直线的距离公式，可得，解得或-4，
所以所求直线方程为：或.
本题主要考查了直线方程的求解，两直线的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20、 (1) 和. (2)
【解析】
（1）利用辅助角公式可将函数化简为；令可求出的单调递增区间，截取在上的部分即可得到所求的单调递增区间；（2）利用的范围可求得的范围，对应正弦函数的图象可求得的范围，进而得到函数的值域.
【详解】
（1）
令，解得：
令，可知在上单调递增
令，可知在上单调递增
在上的单调递增区间为：和
（2）当时，

即在的值域为：
本题考查正弦型函数单调区间和值域的求解问题；解决此类问题的常用方法是采用整体对应的方式，将整体对应正弦函数的单调区间或整体所处的范围，从而结合正弦函数的知识可求得结果.
21、（1）或； （2）； （3）；
【解析】
试题分析：(1)时，由已知得到;(2)方程有实数解即a在的值域上，（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值.
试题解析：
（1），
或；
（2）

（3）因为方程在区间上有两个相异的解、，所以