江西省南昌市实验中学2025届高一数学第二学期期末考试模拟试题含解析.doc

江西省南昌市实验中学2025届高一数学第二学期期末考试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线与直线垂直，则（ ）
A． B． C．或 D．或
3．已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，，，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列{an}的前n项和为，满足S5=S9，且a1＞0，则Sn中最大的是（　　）
A． B． C． D．
6．平面平面，直线， ，那么直线与直线的位置关系一定是（ ）
A．平行 B．异面 C．垂直 D．不相交
7．中,在上, ,是上的点, ,则m的值（ ）
A． B． C． D．
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
9．实数数列为等比数列，则（ ）
A．-2 B．2 C． D．
10．在中，设角 的对边分别为．若，则是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在平面直角坐标系xOy中，已知直角中，直角顶点A在直线上，顶点B，C在圆上，则点A横坐标的取值范围是__________.
12．已知等比数列的前项和为，若，且，则_____．
13．已知sin+cosα=，则sin2α=__
14．已知函数，对于上的任意，，有如下条件：
①； ②；③；④．
其中能使恒成立的条件序号是__________．
15．七位评委为某跳水运动员打出的分数的茎叶图如图，其中位数为_______.

16．已知，则____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，是的直径，所在的平面，是圆上一点，，.

（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
18．已知函数.
（1）若，求函数有零点的概率；
（2）若，求成立的概率.
19．设等差数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列满足，求数列的前项和.
20．已知，为两非零有理数列（即对任意的，，均为有理数），为一个无理数列（即对任意的，为无理数）．
（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式；
（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为；
（3）已知，，试计算．
21．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
（1）求动点的轨迹方程，并说明曲线是什么图形；
（2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程；
（3）设是直线上的点，过点作曲线的切线，切点为，设，求证：过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由，，计算可判断；由，，计算可判断；由，可判断；作差可判断．
【详解】
解：，当，时，可得，故错误；
当，时，，故错误；
当，，故错误；
，即，故正确．
故选：．
本题考查不等式的性质，考查特殊值的运用，以及运算能力，属于基础题．
2、D
【解析】
由垂直，可得，即可求出的值.
【详解】
直线与直线垂直，，解得或.
故选D.
对于直线：和直线：，
① ；
② .
3、B
【解析】
通过将利用合一公式变为，代入A求得A角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值.
【详解】

，为三角形内角，则
，，当且仅当时取等号

本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高.
4、B
【解析】
由题意，可先求得三个人都没有被录取的概率，接下来求至少有一人被录取的概率，利用对立事件的概率公式，求得结果.
【详解】
甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为，
所以三人中至少有一人被录取的概率为，
故选B.
该题考查的是有关概率的求解问题，关键是掌握对立事件的概率加法公式，求得结果.
5、B
【解析】
由S5=S9可得a7+a8=0，再结合首项即可判断Sn最大值
【详解】
依题意，由S5=S9，a1＞0，所以数列{an}为递减数列，
且S9-S5=a6+a7+a8+a9=2（a7+a8）=0，即a7+a8=0，所以a7＞0，a8＜0，
所以则Sn中最大的是S7，
故选：B．
本题考查等差数列Sn最值的判断，属于基础题
6、D
【解析】
利用空间中线线、线面、面面的位置关系得出直线与直线没有公共点.
【详解】
由题平面平面 ，直线，
则直线与直线的位置关系平行或异面，即两直线没有公共点，不相交.
故选D.
本题考查空间中两条直线的位置关系，属于简单题．
7、A
【解析】

由题意得：

则
故选
8、D
【解析】
分离常数法化简f（x），根据新定义即可求得函数y＝[f（x）]的值域．
【详解】
，又>0，∴，∴

∴当x∈（1，1）时，y＝[f（x）]＝1；
当x∈[1，）时，y＝[f（x）]＝1．
∴函数y＝[f（x）]的值域是{1，1}．
故选D．
本题考查了新定义的理解和应用，考查了分离常数法求一次分式函数的值域，是中档题．
9、B
【解析】
由等比数列的性质计算，注意项与项之间的关系即可．
【详解】
由题意，，又与同号，∴．
故选B．
本题考查等比数列的性质，解题时要注意等比数列中奇数项同号，偶数项同号．
10、D
【解析】
根据正弦定理，将等式中的边a,b消去，化为关于角A,B的等式，整理化简可得角A,B的关系，进而确定三角形．
【详解】
由题得，整理得，因此有，可得或，当时，为等腰三角形；当时，有，为直角三角形，故选D．
这一类题目给出的等式中既含有角又含有边的关系，通常利用正弦定理将其都化为关于角或者都化为关于边的等式，再根据题目要求求解．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由题意画出图形，写出以原点为圆心，以为半径的圆的方程，与直线方程联立求得值，则答案可求．
【详解】
如图所示，当点往直线两边运动时，不断变小，
当点为直线上的定点时，直线与圆相切时，最大，
∴当为正方形，则，
则以为圆心，以为半径的圆的方程为．
联立，得．
解得或．
点横坐标的取值范围是．
故答案为：．

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的应用.
12、4或1024
【解析】
当时得到，当时，代入公式计算得到，得到答案.
【详解】
比数列的前项和为，
当时：易知，代入验证，满足，故
当时：

故答案为：4或1024
本题考查了等比数列，忽略掉的情况是容易发生的错误.
13、
【解析】
∵，
∴即，
则.
故答案为：.
14、③④
【解析】
∵g（x）= [（﹣x）2﹣cos（﹣x）]= [x2﹣cosx]=g（x），
∴g（x）是偶函数，∴g（x）图象关于y轴对称，
∵g′x）=x+sinx＞0，x∈（0，]，
∴g（x）在（0，]上是增函数，在[﹣，0）是减函数，
故③x1＞|x2|；④时，g（x1）＞g（x2）恒成立，
故答案为：③④．
点睛：此题考查的是函数的单调性的应用；已知表达式，根据表达式判断函数的单调性，和奇偶性，偶函数在对称区间上的单调性相反，根据单调性的定义可知，增函数自变量越大函数值越大，减函数自变量越大函数值越小。
15、85
【解析】
按照茎叶图，将这组数据按照从小到大的顺序排列，找出中间的一个数即可.
【详解】
按照茎叶图，这组数据是79，83，84，85，87，92，93.
把这组数据按照从小到大的顺序排列，最中间一个是85.
所以中位数为85.
故答案为：85
本题考查对茎叶图的认识．考查中位数，属于基础题.
16、
【解析】
由于，则，然后将代入中，化简即可得结果.
【详解】
，
，
，故答案为.
本题考查了同角三角函数的关系，属于基础题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）2.
【解析】
（1）首先证明平面，利用线面垂直推出平面平面；
（2）找到直线与平面所成角所在三角形，利用三角形边角关系求解即可.
【详解】
（1）∵是直径，
∴，即，
又∵所在的平面，
在所在的平面内，
∴，
∴平面，
又平面，
∴平面平面；
（2）∵平面，
∴直线与平面所成角即，
设，∵，∴，
∴，
∴.
本题主要考查了面面垂直的证明，直线与平面所成角的求解，属于一般题.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）求得有零点的条件，运用古典概率的公式，计算可得所求；
（2）若， 即，画出不等式组表示的区域，计算面积可得所求．
【详解】
解：（1）函数有零点的条件为，即，
，可得事件的总数为，
而有零点的个数为，，，，，，共7个，
则函数有零点的概率为
（2）若，即，
画出的区域，可得成立的概率为．

本题考查古典概率和几何概率的求法，考查运算能力，属于基础题．
19、（1）（2）
【解析】
（1）求出公差，由公式得通项公式；
（2）由（1）求出，计算公比，再由等比数列前项和公式得和．
【详解】
（1）在等差数列中，，故设的公差为，
则，即，所以，
所以.
（2）设数列的公比为，则，
所以.
本题考查等差数列与等比数列的基本量法．求出数列的首项和公差（或公比），则数列的通项公式与前项和随之而定．
20、（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
（1）根据不等式可得，把代入即可解出
（2）根据化简，利用为有理数即可解决
（3）根据题意可知，本题需分为奇数和偶数时讨论，通过求出．
【详解】
（1）∵，∴，即，
∴，
∵，∴，∴．
（2）∵，∴，
∴，
∵，，为有理数列，为无理数列，
∴，∴，以上每一步可逆．
（3），∴．
∵，∴，
当时，∴
当时，∴，∴为有理数列，
∵，∴，
∴，
∵，，为有理数列，为无理数列，
∴，∴，
∴
当时，∴
当时，∴，
∴．
本题数列的分类问题，数列通项式的求法、有关数列的综合问题等．本题难度、计算量较大，属于难题．
21、（1）动点的轨迹方程为，曲线是以为圆心，2为半径的圆（2）的方程为或.（3）证明见解析，所有定点的坐标为，
【解析】
（1）利用两点间的距离公式并结合条件，化简得出曲线的方程，根据曲线方程的表示形式确定曲线的形状；
（2）根据几何法计算出圆心到直线的距离，对直线分两种情况讨论，一是斜率不存在，一是斜率存在，结合圆心到直线的距离求出直线的斜率，于此得出直线的方程；
（3）设点的坐标为，根据切线的性质得出，从而可得出过、、三点的圆的方程，整理得出，然后利用
，解出方程组可得出所过定点的坐标.
【详解】
（1）由题意得，化简可得：，
所以动点的轨迹方程为.
曲线是以为圆心，为半径的圆；
（2）①当直线斜率不存在时，，不成立；
②当直线的斜率存在时，设，即，
圆心到的距离为 ∵
∴, 即，解得或，
∴的方程为或；
（3）证明：∵在直线上，则设
∵为曲线的圆心，由圆的切线的性质可得，
∴经过的三点的圆是以为直径的圆，
则方程为，
整理可得,
令，且,
解得或
则有经过三点的圆必过定点，所有定点的坐标为，.
本题考查动点轨迹方程的求法，考查直线截圆所得弦长的计算以及动圆所过定点的问题，解决圆所过定点问题，关键是要将圆的方程求出来，对带参数的部分提公因式，转化为方程组求公共解问题．