2025届四川省仁寿一中高一下数学期末检测试题含解析.doc

2025届四川省仁寿一中高一下数学期末检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在平面直角坐标系中，已知点，点，直线如果对任意的点到直线的距离均为定值，则点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
3．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，其中为整数，若在上有两个不相等的零点，则的最大值为( )
A． B． C． D．
5．已知数列为等差数列，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角的对边分别是， ，则的形状为
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
7．已知，函数的最小值是（ ）
A．5 B．4 C．8 D．6
8．将一个底面半径和高都是的圆柱挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，剩余部分的体积记为，半径为的半球的体积记为，则与的大小关系为( )
A． B． C． D．不能确定
9．函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
10．已知为第二象限角，则所在的象限是（ ）
A．第一或第三象限 B．第一象限
C．第二象限 D．第二或第三象限
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的最大值为 ．
12．在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为__________．
13．若，，则__________．
14．已知是等比数列，且，，那么________________．
15．已知3a＝2，则32a＝____，log318﹣a＝_____
16．已知向量，，且，则______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知.
(1)求与的夹角；
(2)求.
18．在锐角中，角,,所对的边分别为，，.已知,.
（1）求的值；
（2）若,求的面积.
19．已知函数.
（1）若，且对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（2）求，解关于的不等式.
20．设函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）．
（1）求f（x）的周期和最大值；
（2）已知△ABC中，角A．B．C的对边分别为A，B，C，若f（π﹣A）＝，b+c＝2，求a的最小值．
21．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1，产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2，（注：利润与投资单位：万元）

（1）分别将，两种产品的利润表示为投资的函数关系，并写出它们的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，全部投入到，两种产品的生产，怎样分配资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
利用点到直线的距离公式表示出，由对任意的点到直线的距离均为定值，从而可得，求得直线的方程，再利用点关于直线对称的性质即可得到对称点的坐标。
【详解】
由点到直线的距离公式可得：点到直线的距离
由于对任意的点到直线的距离均为定值，所以，即，
所以直线的方程为：
设点关于直线的对称点的坐标为
故 ，解得： ，
所以设点关于直线的对称点的坐标为
故答案选B
本题主要考查点关于直线对称的对称点的求法，涉及点到直线的距离，两直线垂直斜率的关系，中点公式等知识点，考查学生基本的计算能力，属于中档题。
2、D
【解析】
分析：由条件求出圆心坐标和半径的值，从而得出结论．
详解：
圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝5，
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.故选D.
点睛：本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．
3、D
【解析】
根据不等式的性质,一一分析选择正误即可.
【详解】
根据不等式的性质,当时,
对于A,若,则,故A错误;
对于B,若,则,故B错误;
对于C,若,则,故C错误;
对于D, 当时,总有成立,故D正确;
故选:D.
本题考查不等式的基本性质,属于基础题.
4、A
【解析】
利用一元二次方程根的分布的充要条件得到关于的不等式，再由为整数，可得当取最小时，取最大，从而求得答案.
【详解】
∵在上有两个不相等的零点，
∴
∵，∴当取最小时，取最大，
∵两个零点的乘积小于1，∴，
∵为整数，令时，，满足.
故选：A.
本题考查一元二次函数的零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意为整数的应用.
5、D
【解析】
由等差数列的性质可得a7=，而tan（a2+a12）=tan（2a7），代值由三角函数公式化简可得．
【详解】
∵数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π，
∴a1+a7+a13=3a7=4π，解得a7=，
∴tan（a2+a12）=tan（2a7）
=tan=tan（3π﹣）=﹣tan=﹣
故选D．
本题考查等差数列的性质，涉及三角函数中特殊角的正切函数值的运算，属基础题．
6、A
【解析】
先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择.
【详解】
因为，所以,,因此,选A.
本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.
7、D
【解析】
试题分析：因为该函数的单调性较难求，所以可以考虑用不等式来求最小值，，因为，由重要不等式可知，所以，本题正确选项为D.
考点：重要不等式的运用.
8、C
【解析】
根据题意分别表示出，通过比较。
【详解】

所以 ，
选C。
【点睛】 ，，。记住这几个公式即可，属于基础题目。
9、A
【解析】
先判断函数为偶函数排除；再根据当时， ，排除得到答案.
【详解】
，偶函数，排除；
当时， ，排除
故选：
本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案.
10、A
【解析】
用不等式表示第二象限角，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定角的终边在的象限．
【详解】
由已知为第二象限角，则
则
当时
，此时在第一象限.
当时,
，此时在第三象限.
故选: A
本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
略
12、
【解析】
设三棱锥的外接球半径为，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用公式可计算出外接球半径，最后利用球体的表面积公式可计算出结果.
【详解】
由正弦定理可得，的外接圆直径为，，
设三棱锥的外接球半径为，平面，，
因此，三棱锥的外接球表面积为，故答案为.
本题考查多面体的外接球，考查球体表面积的计算，在求解直棱柱后直棱锥的外接球，若底面外接圆半径为，高为，可利用公式得出外接球的半径，解题时要熟悉这些结论的应用.
13、
【解析】
由等比数列前n项公式求出已知等式左边的和，再求解．
【详解】
易知不合题意，∴，
若，则，不合题意，
∴，
，
∴，，又，∴．
故答案为：．
本题考查等比数列的前n项和公式，解题时需分类讨论，首先对的情形进行说明，然后按是否为1分类．
14、
【解析】
先根据等比数列性质化简方程，再根据平方性质得结果.
【详解】
∵是等比数列，且，，∴，
即，则．
本题考查等比数列性质，考查基本求解能力.
15、4 2.
【解析】
由已知结合指数式的运算性质求解，把化为对数式得到，代入，再由对数的运算性质求解.
【详解】
∵，∴，
由，得，
∴.
故答案为：，.
本题考查指数式与对数式的互化，考查对数的运算性质，属于基础题.
16、
【解析】
根据的坐标表示，即可得出，解出即可．
【详解】
，，．
本题主要考查平行向量的坐标关系应用．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）由得到，又代入夹角公式，求出的值；
（2）利用公式进行模的求值.
【详解
（1）因为，所以，
因为，因为，所以.
（2）.
本题考查数量积的运算及其变形运用，特别注意之间关系的运用与转化，考查基本运算能力.
18、（1）2；（2）3.
【解析】
（1）利用正弦定理可得，消元后可得关于的三角方程，从该方程可得的值.
（2）利用同角的三角函数的基本关系式结合（1）中的结果可得，再根据题设条件得到后再利用正弦定理可求的值，从而得到所求的面积.
【详解】
(1)在由正弦定理得，①，
因为,所以，
又因为，所以，整理得到，
故.
(2)在锐角中，因为，所以，
将代入①得.
在由正弦定理得，
所以.
在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.另外，三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两角及一边，用正弦定理.另外，如果知道两个角的三角函数值，则必定可以求第三角的三角函数值，此时涉及到的公式有同角的三角函数的基本关系式和两角和差的三角公式、倍角公式等.
19、（1） （2）见解析
【解析】
（1）由题意，若，则函数关于对称，根据二次函数对称性，可求，代入化简得在上恒成立，由，知当为最小值，根据恒成立思想，令最小值，即可求解；
（2）根据题意，由，化简一元二次不等式为，讨论参数范围，写出解集即可.
【详解】
解：（1）若，所以函数对称轴，.
，即在恒成立，
即在上恒成立
所以，又，故
（2），所以；
原不等式变为，
因为，所以.
所以当，即时，解为；
当时，解集为；
当，即时，解为
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为必；
当时，不等式的解隼为
本题考查（1）函数恒成立问题；（2）含参一元二次不等式的解法；考查计算能力，考查分类讨论思想，属于中等题型.
20、（1）周期为π，最大值为2.（2）
【解析】
（1）利用倍角公式降幂，展开两角差的余弦，将函数的关系式化简余弦型函数，可求出函数的周期及最值；
（2）由f（π﹣A），求解角A，再利用余弦定理和基本不等式求a的最小值．
【详解】
（1）函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x）
＝1+cos2x
＝cos（2x）+1，
∵﹣1≤cos（2x）≤1，
∴T，f（x）的最大值为2；
（2）由题意，f（π﹣A）＝f（﹣A）＝cos（﹣2A）+1，
即：cos（﹣2A），
又∵0＜A＜π，
∴2A，
∴﹣2A，即A．
在△ABC中，b+c＝2，cosA，
由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣bc，
由于：bc，当b＝c＝1时，等号成立．
∴a2≥4﹣1＝3，即a．
则a的最小值为．
本题考查三角函数的恒等变换，余弦形函数的性质的应用，余弦定理和基本不等式的应用，是中档题．
21、（1）为，为；（2）产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，最大利润为4万元
【解析】
（1）根据题意给出的函数模型，设；代入图中数据求得既得，注意自变量；
（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元.，列出利润函数为，用换元法，设，变化为二次函数可求得利润的最大值．
【详解】
解：（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元
由题设知；
由图1知，
由图2知，
则，.
（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元.
，
，令，则
则
当时，，
此时
所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为4万元.
本题考查函数的应用，在已知函数模型时直接设出函数表达式，代入已知条件可得函数解析式．