2025年天成大联考数学高一下期末调研试题含解析.doc

2025年天成大联考数学高一下期末调研试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，测量河对岸的塔高时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为( )

A． B． C．60m D．20m
2．在中，，是的内心，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为
A．5、10、15 B．3、9、18 C．3、10、17 D．5、9、16
5．已知数列中，，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．设，则（）
A． B． C． D．
7．在数列中，，（，），则
A． B． C．2 D．6
8．在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知正四棱锥的顶点均在球上，且该正四棱锥的各个棱长均为，则球的表面积为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知实数满足，则的最大值为_______．
12．已知三点、、共线，则a=_______.
13．已知角的终边经过点，则______．
14．如图所示，隔河可以看到对岸两目标，但不能到达，现在岸边取相距的两点，测得（在同一平面内），则两目标间的距离为_________.

15．数列{}的前项和为，若，则{}的前2019项和____.
16．若直线l1：y＝kx+1与直线l2关于点（2，3）对称，则直线l2恒过定点_____，l1与l2的距离的最大值是_____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知.
(Ⅰ)求的最小正周期和单调递增区间；
(Ⅱ)求函数在时的值域．
18．大豆，古称菽，原产中国，在中国已有五千年栽培历史.2019年春，为响应中国大豆参与世界贸易的竞争，某市农科院积极研究，加大优良品种的培育工作，其中一项基础工作就是研究昼夜温差大小与大豆发芽率之间的关系.为此科研人员分别记录了7天中每天50粒大豆的发芽数得如下数据表格：
日期
4月3日
4月4日
4月5日
4月6日
4月7日
4月8日
4月9日
温差（℃）
8
9
10
12
11
8
13
发芽数（粒）
21
25
26
32
27
20
33
科研人员确定研究方案是：从7组数据中选5组数据求线性回归方程，再用求得的回归方程对剩下的2组数据进行检验.
（1）若选取的是4月4日至4月8日五天数据，据此求关于的线性回归方程；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差绝对值均不超过1粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请检验（1）中回归方程是否可靠？
注：.
参考数值：，.
19．如图，四棱锥中，平面，底面是平行四边形，若，.

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求棱与平面所成角的正弦值.
20．已知三角形的三个顶点.
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线方程.
21．已知定点，点A在圆上运动，M是线段AB上的一点，且，求出点M所满足的方程，并说明方程所表示的曲线是什么.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由正弦定理确定的长，再求出．
【详解】
，

由正弦定理得：

故选D
本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出，属于基础题．
2、A
【解析】
由且，易知动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），在中，由，利用余弦定理求得边，再由和，求得内切圆的半径，从而得到，再由动点的轨迹所覆盖的面积得解.
【详解】
因为且，
根据向量加法的平行四边形运算法则，
所以动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），
因为在中，，
所以由余弦定理得： ，
所以，
即，
解得：，
，
所以 .
设的内切圆的半径为 ，
所以
所以.
所以.
所以动点的轨迹所覆盖的面积为：.
故选：A
本题主要考查了动点轨迹所覆盖的面积的求及正弦定理，余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
3、B
【解析】
首先根据降幂公式以及辅助角公式化简，把带入利用余弦定理以及基本不等式即可．
【详解】
由题意得
，为三角形内角所以，所以，因为，所以，，当且仅当时取等号 ，因为，所以，所以选择B
本题主要考查了三角函数的化简，以及余弦定理和基本不等式．在化简的过程中常用到的公式有辅助角、二倍角、两角和与差的正弦、余弦等．属于中等题．
4、B
【解析】
试题分析：高级职称应抽取；中级职称应抽取；一般职员应抽取．
考点：分层抽样
点评：本题主要考查分层抽样的定义与步骤．分层抽样：当总体是由差异明显的几个部分组成的，可将总体按差异分成几个部分（层），再按各部分在总体中所占比例进行抽样．
5、A
【解析】
由递推关系，结合可求得，，的值，可得数列是一个周期为6的周期数列，进而可求的值。
【详解】
因为，由，，得；
由，，得；
由，，得；
由，，得；
由，，得；
由，，得
由此推理可得数列是一个周期为6的周期数列，所以，故选A。
本题考查由递推关系求数列中的项，考查数列周期的判断，属基础题。
6、D
【解析】
由得，再计算即可.
【详解】
，

，
所以
故选D
本题考查了以数列的通项公式为载体求比值的问题，以及归纳推理的应用，属于基础题．
7、D
【解析】
将代入递推公式可得，同理可得出和。
【详解】
，（，），，，则.
本题用将的值直接代入递推公式的方法求某一项，适用于所求项数低的题目，若求项数较高则需要求数列通项公式。
8、A
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【详解】
由z（1﹣i）=2，得z=，
∴．
则z的共轭复数对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．
故选D．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
9、B
【解析】
方程化为，可转化为半圆与直线有两个不同交点，作图后易得．
【详解】
由得
由题意半圆与直线有两个不同交点，
直线过定点，
作出半圆与直线，如图，

当直线过时，，，
当直线与半圆相切（位置）时，由，解得．
所以的取值范围是．
故选：B.
本题考查方程根的个数问题，把问题转化为直线与半圆有两个交点后利用数形结合思想可以方便求解．
10、C
【解析】
设点在底面的投影点为，则，，平面，故，而底面所在截面圆的半径，故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径，故球的表面积，故选C.
点睛：本题考查球的内接体的判断与应用，球的表面积的求法，考查计算能力；研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系； （2）球的半径与多面体的棱长的关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做出轴截面.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据约束条件，画出可行域，目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率，从而找到最大值时的最优解，得到最大值.
【详解】
根据约束条件可以画出可行域，
如下图阴影部分所示，
目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率，
因此可得，当在点时，斜率最大
联立，得
即
所以此时斜率为 ，
故答案为.

本题考查简单线性规划问题，求目标函数为分式的形式，关键是要对分式形式的转化，属于中档题.
12、
【解析】
由三点、、共线，则有，再利用向量共线的坐标运算即可得解.
【详解】
解：由、、，
则,,
又三点、、共线，
则，
则，
解得：，
故答案为：.
本题考查了向量共线的坐标运算，属基础题.
13、
【解析】
由题意，则.
14、
【解析】
在中，在中，分别由正弦定理求出，，在中，由余弦定理可得解.
【详解】
由图可得，
在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
在中，由余弦定理可得：
.
故答案为：
此题考查利用正余弦定理求解三角形，根据已知边角关系建立等式求解，此题求AB的长度可在多个三角形中计算，恰当地选择可以减少计算量.
15、1009
【解析】
根据周期性，对2019项进行分类计算，可得结果。
【详解】
解：根据题意，的值以为循环周期，

=1009
故答案为：1009.
本题考查了周期性在数列中的应用，属于中档题。
16、（4，5） 4.
【解析】
根据所过定点与所过定点关于对称可得，与的距离的最大值就是两定点之间的距离.
【详解】
∵直线：经过定点，
又两直线关于点对称，则两直线经过的定点也关于点对称
∴直线恒过定点，
∴与的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为.
故答案为：，.
本题考查了过两条直线交点的直线系方程，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ) ； (Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)化简得＝,利用周期的公式和正弦型函数的性质，即可求解；
(Ⅱ)由 ，可得，得到∈，即可求得函数的值域.
【详解】
(Ⅰ)由题意，化简得＝,
所以函数的最小正周期为,
又由，解得
所以的单调递增区间为.
(Ⅱ)由 ，可得，所以∈，
所以的值域为．
本题主要考查了三角函数的的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18、（1）；（2）（1）中回归方程是可靠的．
【解析】
（1）运用已知题中所给的数值，结合所给的计算公式、数表提供的数据求得与的值，进而写出线线回归方程；
（2）在（1）中求得的线性回归方程中，分别取x＝8与13求得y值，进一步求得残差得结论．
【详解】
因为，．
，
所以，．
因此关于的线性回归方程；
（2）取x＝8，得，此时；
取x＝13，得，此时
∴（1）中回归方程是可靠的．
本题考查线性回归方程的求法，考查数学运算能力，属于基础题．
19、（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）先证明平面，再证明平面平面.（Ⅱ）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系，利用向量法求棱与平面所成角的正弦值.
【详解】
解：（Ⅰ）∵平面，∴，
∵，，，∴，∴，
∴平面，
又∵平面，
∴平面平面.
（Ⅱ）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，于是
，，，
设平面的一个法向量为，
则，解得，
∴，设与平面所成角为，则.

本题主要考查空间垂直关系的证明，考查线面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20、（1）（2）
【解析】
（1）由已知条件结合直线的两点式方程的求法求解即可；
（2）先求出直线BC的斜率，再求出BC边上的高所在直线的斜率，然后利用直线的点斜式方程的求法求解即可.
【详解】
解：（1），，直线BC的方程为，即.
（2），
直线BC边上的高所在的直线的斜率为，
又，
直线BC边上的高的方程为: ，
即BC边上的高所在直线方程为.
本题考查了直线的两点式方程的求法，重点考查了直线的位置关系及直线的点斜式方程的求法，属基础题.
21、；
方程所表示的曲线是以为圆心，为半径的圆.
【解析】
设出点的坐标，结合向量的关系式及圆的方程可求.
【详解】
设，，因为，所以；
，，
因为点A在圆上运动，所以；
化简得；
方程所表示的曲线是以为圆心，为半径的圆.
本题主要考查曲线方程的求解，相关点法是常用的方法，侧重考查数学运算的核心素养.