云南昆明市黄冈实验学校2025年高一数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

云南昆明市黄冈实验学校2025年高一数学第二学期期末综合测试模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知两条平行直线和之间的距离等于，则实数的值为( )
A． B． C．或 D．
2．集合，那么 ( )
A． B．
C． D．
3．等比数列,…的第四项等于(     )
A．-24 B．0 C．12 D．24
4．已知点和点， 是直线上的一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．12 B．18
C．24 D．30
6．三棱锥中，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的表面积是（　　）
A． B． C． D．
7．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．设，表示两条直线，，表示两个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
9．若双曲线的渐近线与直线所围成的三角形面积为2，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若角的终边经过点，则的值为________
12．已知关于的不等式的解集为，则__________．
13．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第一象限的概率为__________．
14．如图所示，分别以为圆心，在内作半径为2的三个扇形，在内任取一点，如果点落在这三个扇形内的概率为，那么图中阴影部分的面积是____________.

15．已知一扇形的半径为，弧长为，则该扇形的圆心角大小为______.
16．已知数列，，若该数列是减数列，则实数的取值范围是__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．己知点，直线l与圆C：（x一1)2＋（y一2）2＝4相交于A，B两点，且OA⊥OB．

（1）若直线OA的方程为y＝一3x，求直线OB被圆C截得的弦长；
（2）若直线l过点（0，2），求l的方程．
18．已知数列的前项和为，且.
（1）求；
（2）若，求数列的前项和.
19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.

(1)求证：AD⊥平面BFED；
(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．
20．已知.
（1）求的值；
（2）若为第二象限角，且角终边在上，求的值.
21．在中，内角，，的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
利用两条平行线之间的距离公式可求的值.
【详解】
两条平行线之间的距离为，
故或，
故选C.
一般地，平行线和之间的距离为，应用该公式时注意前面的系数要相等.
2、D
【解析】
根据并集定义计算．
【详解】
由题意．
故选D．
本题考查集合的并集运算，属于基础题．
3、A
【解析】
由x，3x+3，6x+6成等比数列得
选A.
考点：该题主要考查等比数列的概念和通项公式，考查计算能力.
4、D
【解析】
求出A关于直线l：的对称点为C，则BC即为所求
【详解】
如下图所示：
点，关于直线l：的对称点为C（0,2），连接BC,此时的最小值为
故选D．

本题考查的知识点是两点间距离公式的应用，难度不大，属于中档题．
5、C
【解析】
试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为，故选C．

考点：几何体的三视图及体积的计算．
【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．
6、B
【解析】
是线段上一动点，连接，∵互相垂直，∴就是直线与平面所成角，当最短时，即时直线与平面所成角的正切的最大．
此时，，在直角△中，．
三棱锥扩充为长方体，则长方体的对角线长为，
∴三棱锥的外接球的半径为，
∴三棱锥的外接球的表面积为．
选B.
点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．
7D
【解析】
根据不等式的性质,一一分析选择正误即可.
【详解】
根据不等式的性质,当时,
对于A,若,则,故A错误;
对于B,若,则,故B错误;
对于C,若,则,故C错误;
对于D, 当时,总有成立,故D正确;
故选:D.
本题考查不等式的基本性质,属于基础题.
8、D
【解析】
对选项进行一一判断，选项D为面面垂直判定定理.
【详解】
对A，与可能异面，故A错；对B，可能在平面内；
对C，与平面可能平行，故C错；对D，面面垂直判定定理，故选D.
本题考查空间中线、面位置关系，判断一个命题为假命题，只要能举出反例即可.
9、A
【解析】
渐近线为，时，，所以，即，，，故选A．
10、C
【解析】
要使函数有意义，需使，即，所以
故选C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、.
【解析】
根据三角函数的定义求出的值，然后利用反三角函数的定义得出的值.
【详解】
由三角函数的定义可得，，
故答案为.
本题考查三角函数的定义以及反三角函数的定义，解本题的关键就是利用三角函数的定义求出的值，考查计算能力，属于基础题.
12、-2
【解析】
为方程两根,因此
13、
【解析】
首先求出试验发生包含的事件的取值所有可能的结果，满足条件事件直线不经过第一象限，符合条件的有种结果，根据古典概型概率公式得到结果.
【详解】
试验发生包含的事件，，
得到的取值所有可能的结果有：
共种结果，
由得，
当 时，直线不经过第一象限，符合条件的有种结果，
所以直线不经过第一象限的概率.
故答案为：
本题是一道古典概型题目，考查了古典概型概率公式，解题的关键是求出列举基本事件，属于基础题.
14、
【解析】
先求出三块扇形的面积,再由概率计算公式求出的面积,进而求出阴影部分的面积.
【详解】
∵,
∴三块扇形的面积为:,
设的面积为,
∵在内任取一点,点落在这三个扇形内的概率为,
,
∴图中阴影部分的面积为:,
故答案为:.
本题主要考查几何概型的应用,属于几何概型中的面积问题,难度不大.
15、
【解析】
利用扇形的弧长除以半径可得出该扇形圆心角的弧度数.
【详解】
由扇形的弧长、半径以及圆心角之间的关系可知，该扇形的圆心角大小为.
故答案为：.
本题考查扇形圆心角的计算，解题时要熟悉扇形的弧长、半径以及圆心角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
16、
【解析】
本题可以先通过得出的解析式，再得出的解析式，最后通过数列是递减数列得出实数的取值范围．
【详解】
，

因为该数列是递减数列，
所以
即
因为
所以实数的取值范围是．
本题考察的是递减数列的性质，递减数列的后一项减去前一项的值一定是一个负值．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据题意，求得直线OB的方程，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线OB的距离，之后应用圆中的特殊三角形，求得弦长；
（2）根据题意，可判断直线的斜率是存在的，设出其方程，与圆的方程联立，得到两根和与两根积，根据OA⊥OB，利用向量数量积等于零得到所满足的等量关系式，求得结果.
【详解】
（1）因为直线OA的方程为，，
所以直线OB的方程．
从而圆心到直线OB的距离为：
所以直线OB被团C截得的弦长为：．
（2）依题意，直线l的斜率必存在，不妨设其为k，则l的方程为，
又设，．
由得，
所以，．
从而．
所以．
因为，所以，即，解得．
所以l的方程为．

该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有两直线垂直的条件，直线被圆截得的弦长，直线方程的求解，属于简单题目.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用与的关系可得，再利用等差数列的通项公式即可求解.
（2）由（1）求出，再利用裂项求和法即可求解.
【详解】
解：（1）因为，①
所以当时，，又，故.
当时，，②
①②得，，
整理得.
因为，所以，
所以是以为首项，以1为公差的等差数列.
所以，即.

（2）由（1）及得，，
所以

.
本小题考查与的关系、等差数列的定义及通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等.
19、（1）证明见解析 （2）θ最小值为60°
【解析】
（1）在梯形ABCD中，利用勾股定理，得到AD⊥BD，再结合面面垂直的判定，证得DE⊥平面ABCD，即可证得AD⊥平面BFED；
（2）以D为原点，直线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PAB与平面ADE法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。
【详解】
（1）证明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，∴AB＝2.
∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos 60°＝3.
∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD.
∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，
DE⊂平面BFED，DE⊥DB，∴DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥AD，又DE∩BD＝D，∴AD⊥平面BFED.
（1）由(1)知，直线AD，BD，ED两两垂直，故以D为原点，直线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
令EP＝λ(0≤λ≤)，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，，0)，P(0，λ，1)，
所以＝(－1，，0)，＝(0，λ－，1)．
设n1＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，
由得，取y＝1，则n1＝(，1，－λ)．
因为n2＝(0,1,0)是平面ADE的一个法向量，
所以cos θ＝＝＝.
因为0≤λ≤，所以当λ＝时，cos θ有最大值，所以θ的最小值为60°.

本题考查了线面垂直关系的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
20、（1）；（2）

【解析】
(1)先根据诱导公式将原式子化简，再将已知条件中的表达式平方，可得到结果；（2）原式子可化简为，由已知条件可得到，再由第一问中得到，结合第一问中的条件可得到结果.
【详解】
（1）=
已知,将式子两边平方可得到
（2）为第二象限角，且角终边在上，则根据三角函数的定义得到
原式化简等于

由第一问得到
将已知条件均代入可得到原式等于.
三角函数求值与化简必会的三种方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切.
(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等.
(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）由二倍角公式得，求得则角可求；（2），得，由正弦定理得，再结合余弦定理得则面积可求
【详解】
（1）因为，所以，
解得，
因为，所以；
（2）因为，所以，
由正弦定理得
所以，
由余弦定理，，
所以,
所以.
本题考查二倍角公式，正余弦定理解三角形，准确计算是关键，是基础题