2024-2025学年江苏百校联考高一下数学期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2024-2025学年江苏百校联考高一下数学期末质量跟踪监视试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设等差数列{an}的前n项的和Sn，若a2+a8＝6，则S9＝（　　）
A．3 B．6 C．27 D．54
2．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：
①，；②，，；
③，；④，，
其中正确命题的序号是（ ）
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
3．已知向量，，若对任意的，恒成立，则角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，测量河对岸的塔高时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为( )

A． B． C．60m D．20m
5．直线与直线的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知直线：，：，若：；，则是的（ ）

A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．某班有男生30人，女生20人，按分层抽样方法从班级中选出5人负责校园开放日的接待工作．现从这5人中随机选取2人，至少有1名男生的概率是（ 　　）
A． B． C． D．
8．在等差数列中，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．长方体共顶点的三个相邻面面积分别为，这个长方体的顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．直线与圆交于两点，若为等边三角形，则______．
12．若函数的反函数的图象过点，则________．
13．函数的最小正周期是________.
14．已知是等比数列，，，则公比______.
15．设，，，若，则实数的值为______
16．已知正实数x，y满足，则的最小值为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）若，求函数的值；
（2）求函数的值域.
18．中，D是边BC上的点，满足，，.
（1）求；
（2）若，求BD的长.
19．等差数列的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数.求此数列的公差及前项和.
20．已知定义域为的函数是奇函数
（Ⅰ）求值；
（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域上的单调性；
（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅳ）设关于的函数有零点，求实数的取值范围.
21．设等比数列的前n项和为.已知，，求和.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
利用等差数列的性质和求和公式，即可求得的值，得到答案．
【详解】
由题意，等差数列的前n项的和，
由，根据等差数列的性质，可得，
所以，
故选：C．
本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2、A
【解析】依据线面垂直的判定定理可知命题①是正确的；对于命题②，直线还有可能是异面，因此不正确；对于命题③，还有可能直线，因此③命题不正确；依据线面垂直的判定定理可知命题④是正确的，故应选答案A.
3、A
【解析】
利用数量积运算可将不等式化简为，根据恒成立条件可得不等式组，利用三角函数知识分别求解两个不等式，取交集得到结果.
【详解】

当时，恒成立，则
当时，即
，，解得：，
当时，即
，，解得：，
在时恒成立可得：
本题正确选项：
本题考查三角函数中的恒成立问题的求解，关键是能够根据数量积将恒成立不等式转化为两个三角不等式的求解问题，利用辅助角公式将问题转化为根据正弦型函数的值域求解角的范围的问题.
4、D
【解析】
由正弦定理确定的长，再求出．
【详解】
，

由正弦定理得：

故选D
本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出，属于基础题．
5、B
【解析】
联立方程组，求得交点的坐标，即可得到答案.
【详解】
由题意，联立方程组：，解得，
即两直线的交点坐标为，在第二象限，
选B.
本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
6、C
【解析】
因为直线：，：，所以或，即是的必要不充分条件.故选C.
点睛：本题考查两条直线平行的判定；由直线的一般式判定两直线平行或垂直时，若将一般式化成斜截式，往往需要讨论斜率是否存在，为了避免讨论，记住以下结论：
已知直线，.
则或；
.
7、D
【解析】
由题意，男生30人，女生20人，按照分层抽样方法从中抽取5人，则男生为人，女生为，
从这5人中随机选取2人，共有种，全是女生的只有1种，
所以至少有1名女生的概率为，故选D.
8、B
【解析】
由等差数列的性质可得，则答案易求.
【详解】
在等差数列中，因为，所以.
所以.故选B.
本题考查等差数列性质的应用.在等差数列中，若，则.特别地，若，则.
9、D
【解析】
根据不等式的基本性质，一一进行判断即可得出正确结果．
【详解】
A. ，取，显然不成立，所以该选项错误；
B. ，取，显然不成立，所以该选项错误；
C. ，取，显然不成立，所以该选项错误；
D. ，由已知且，所以，
即．所以该选项正确.
故选：．
本题考查不等式的基本性质，属于容易题．
10、A
【解析】
设长方体的棱长为，球的半径为，根据题意有，再根据球的直径是长方体的体对角线求解.
【详解】
设长方体的棱长为，球的半径为，
根据题意，，
解得，
所以，
所以外接球的表面积，
故选：A
本题主要考查了球的组合体问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或
【解析】
根据题意可得圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式列方程解出即可.
【详解】
圆，即，
圆的圆心为，半径为，
∵直线与圆交于两点且为等边三角形，
∴，故圆心到直线的距离为，
即，解得或，故答案为或.
本题主要考查了直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．
12、
【解析】
由反函数的性质可得的图象过，将代入，即可得结果.
【详解】
的反函数的图象过点，
的图象过
故答案为．
本题主要考查反函数的基本性质，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.
13、
【解析】
根据函数的周期公式计算即可.
【详解】
函数的最小正周期是.
故答案为
本题主要考查了正切函数周期公式的应用，属于基础题．
14、
【解析】
利用等比数列的性质可求.
【详解】
设等比数列的公比为，则，故.
故答案为：
一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2） （为公比）；
（3）公比时，则有，其中为常数且；
（4） 为等比数列（ ）且公比为.
15、
【解析】
根据题意，可以求出，根据可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值.
【详解】

故答案为：
本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.
16、4
【解析】
将变形为，展开，利用基本不等式求最值.
【详解】
解：，
当时等号成立，又，得，此时等号成立，
故答案为：4.
本题考查基本不等式求最值，特别是掌握“1”的妙用，是基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）,
.
（2）由（1）,
,
∴函数的值域为[1，2].
18、（1）（2）
【解析】
（1）由中，D是边BC上的点，根据面积关系求得，再结合正弦定理，即可求解.
（2）由，化简得到，再结合，解得，进而利用勾股定理求得的长.
【详解】
（1）由题意，在中，D是边BC上的点，
可得，所以
又由正弦定理，可得.
（2）由，
可得，
所以，即，
由（1）知，解得，
又由，所以.
本题主要考查了三角形的正弦定理和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记解三角形的正弦定理，以及熟练应用三角的面积关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19、，
【解析】
先设等差数列的公差为 ，根据第6项为正数，从第7项起为负数，得到 求，再利用等差数列前项和公式求其.
【详解】
设等差数列的公差为 ，

因为第6项为正数，从第7项起为负数，
所以 ，
即，
所以
又因为
所以
所以
本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20、 (Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)（Ⅳ）.
【解析】
试题分析：（1）根据奇函数性质得，解得值；（2）根据单调性定义，作差通分，根据指数函数单调性确定因子符号，最后根据差的符号确定单调性（3）根据奇偶性以及单调性将不等式化为一元二次不等式恒成立问题，利用判别式求实数的取值范围；（4）根据奇偶性以及单调性将方程转化为一元二次方程有解问题，根据二次函数图像与性质求值域，即得实数的取值范围.
试题解析：Ⅰ）由题设，需，∴，∴，
经验证，为奇函数，∴.
（Ⅱ）减函数
证明：任取，，且，则，

∵
∴
∴，；
∴，即
∴该函数在定义域上是减函数.
（Ⅲ）由得，
∵是奇函数，∴，
由（Ⅱ）知，是减函数
∴原问题转化为，即对任意恒成立，
∴，得即为所求.
（Ⅳ）原函数零点的问题等价于方程
由（Ⅱ）知，，即方程有解
∵，
∴当时函数存在零点.
点睛:利用函数性质解不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.
21、或.
【解析】
试题解析：（1）
解得或
即或
（2）当时，
当时，
考点：本题考查求通项及求和
点评：解决本题的关键是利用基本量法解题