江苏省南通市如东高级中学2025届高一数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

江苏省南通市如东高级中学2025届高一数学第二学期期末学业水平测试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，在平行六面体中，M，N分别是所在棱的中点，则MN与平面的位置关系是（ ）

A． MN平面
B． MN与平面相交
C． MN平面
D．无法确定MN与平面的位置关系
2．已知函数的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则下列结论成立的是（　　）
A． B．
C．的最小值为2 D．
4．在等比数列中，则（ ）
A．81 B． C． D．243
5．的弧度数是（ ）
A． B． C． D．
6．直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知正三棱柱的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（　　）cm．

A．12 B．13 C．14 D．15
8．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
9．设函数的图象分别向左平移m(m>0)个单位，向右平移n(n>0>个单位，所得到的两个图象都与函数的图象重合的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若实数满足，，则__________．
12．若三角形ABC的三个角A，B，C成等差数列，a，b，c分别为角A，B，C的对边，三角形ABC的面积，则b的最小值是________．
13．两个实习生加工一个零件，产品为一等品的概率分别为和，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________.
14．已知，为单位向量，且，若向量满足，则的最小值为_____.
15．若等差数列和等比数列满足，，则_______.
16．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）设，直接用任意角的三角比定义证明：.
（2）给出两个公式：①；②.
请仅以上述两个公式为已知条件证明：.
18．已知，求的值．
19．已知向量，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若向量与垂直，求的值.
20．已知函数.
（1）求的单调增区间；
（2）当时，求的最大值、最小值.
21．已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆M的切线、，切点为、．
（Ⅰ）当切线PA的长度为时，求点的坐标；
（Ⅱ）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求线段长度的最小值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
取的中点，连结，可证明平面平面，由于平面，可知平面.
【详解】
取的中点，连结，显然，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
又，
故平面平面，
又因为平面，所以平面.
故选C.

本题考查了直线与平面的位置关系，考查了线面平行、面面平行的证明，属于基础题.
2、B
【解析】
由解得为函数的定义域.令，消去得，图像为椭圆的一部分，如下图所示.，即直线，由图可知，截距在点处取得最小值，在与椭圆相切的点处取得最大值.而，故最小值为.联立，消去得，其判别式为零，即，解得（负根舍去），即，故.

【点睛】本题主要考查含有两个根号的函数怎样求最大值和最小值.先用换元法，将原函数改写成为一次函数的形式.然后利用和的关系，得到的可行域，本题中可行域为椭圆在第一象限的部分.然后利用，用截距的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值.
3、D
【解析】
由，根据不等式乘方性质可判断A不成立；由指数函数单调性可判断B不成立；由基本不等式可判断C不成立，D成立．
【详解】
对于A,若，则有，故A不成立；
对于B,根据指数函数单调性，函数单调递减，，故B不成立；
对于C,由基本不等式，a=b取得最小值，由不能取得最小值，故C不成立；
则D能成立.
故选：D.
本题考查基本不等式、不等式的基本性质，考查不等式性质的应用，属于基础题.
4、A
【解析】
解：因为等比数列中，则，选A
5、B
【解析】
由角度与弧度的关系转化．
【详解】
-150．
故选：B.
本题考查角度与弧度的互化，解题关键是掌握关系式：．
6、A
【解析】
一般式直线方程的斜率为．
【详解】
直线的斜率为.
故选A
此题考察一般直线方程的斜率，属于较易基础题目
7、B
【解析】
将三棱柱的侧面展开，得到棱柱的侧面展开图，利用矩形的对角线长，即可求解．
【详解】
将正三棱柱沿侧棱展开两次，得到棱柱的侧面展开图，如图所示，
在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，
即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值，
由已知求得的长等于，宽等于，
由勾股定理得，故选B．

本题主要考查了棱柱的结构特征以及棱柱的侧面展开图的应用，着重考查了空间想象能力，以及转化思想的应用，属于基础题．
8、B
【解析】
试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.
考点：空间点线面位置关系．
9、C
【解析】
求出函数的图象分别向左平移个单位，向右平移个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数的图象重合，可分别得关于，的方程，解之即可．
【详解】
解：将函数的图象向左平移个单位，得函数，
其图象与的图象重合，
，，，故，，，
当时，取得最小值为．
将函数的图象向右平移个单位，得到函数，
其图象与的图象重合，
，，，
故，，当时，取得最小值为，
的最小值为
故答案为：．
本题主要考查诱导公式，函数的图象变换规律，属于基础题．
10、A
【解析】
因为,若,则,
，故选A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由反正弦函数的定义求解．
【详解】
∵，∴，
，
∴，
∴．
故答案为：．
本题考查反正弦函数，解题时注意反正弦函数的取值范围是，结合诱导公式求解．
12、
【解析】
先求出，再根据面积得到，再利用余弦定理和基本不等式得解.
【详解】
由题得,
所以.
由余弦定理得，
当且仅当时取等.
所以b的最小值是.
故答案为：
本题主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
13、
【解析】
利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．
【详解】
解：两个实习生加工一个零件，产品为一等品的概率分别为和，
这两个零件中恰有一个一等品的概率为：
．
故答案为：．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
14、.
【解析】
由题意设，，，由得出
，它表示圆，由，利用向量的模的几何意义从而得到最小值.
【详解】
由题意设，，，
因，即，
所以，它表示圆心为，半径的圆，
又，
所以，而表示圆上的
点与点的距离的平方，
由，
所以，故的最小值为.
故答案为：.
本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了圆的方程与应用问题，属于中档题.
15、
【解析】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出、的值，进而求出和的值，由此可得出的值.
【详解】
设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，
求得，，那么，故答案为.
【考点】
等差数列和等比数列
等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
16、120°
【解析】
∵a2＝b2＋bc＋c2，
∴b2＋c2－a2＝－bc，
∴cos A＝＝＝－，
又∵A为△ABC的内角，
∴A＝120°
故答案为：120°

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】
（1）直接利用任意角的三角函数的定义证得．
（2）由已知条件利用诱导公式，证明．
【详解】
解：（1）将角的顶点置于平面直角坐标系的原点，始边与轴的正半轴重合，设角终边一点（非原点），其坐标为.
∵，∴，
.
（2）由于，将换成后，
就有
即
.
本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式，属于基础题．
18、3
【解析】
利用两角和的正切公式化简，求得的值，根据诱导公式求得的值.
【详解】
由得 ．
将代入上式，得 ，
解得 ．
于是 ，所以 ．
本小题主要考查两角和的正切公式、诱导公式，属于基础题.
19、（Ⅰ）-1；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用向量的数量积的坐标表示进行计算；
（Ⅱ）由垂直关系，得到坐标间的等式关系，然后计算出参数的值.
【详解】
解：（Ⅰ）因向量，
∴，
∴
(Ⅱ)，
∵向量与垂直，∴
∴，
∴
已知，若，则有；
已知，若，则有.
20、（1）， 2）
【解析】
（1）首先利用三角函数恒等变换将化简为，再求其单调增区间即可.
（2）根据，求出，再求的最值即可.
【详解】
（1）

，.
的单调增区间为.
（2）因为，所以.
所以.
当时，，
当时，.
本题主要考查三角函数恒等变换的应用，同时考查三角函数的单调区间和最值，熟练掌握三角函数的公式为解题的关键，属于中档题.
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）AB有最小值
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求点的坐标，需列出两个独立条件,根据解方程组解：由点是直线：上的一动点，得，由切线PA的长度为得，解得（Ⅱ）设P（2b,b），先确定圆的方程：因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径，其方程为：，再按b整理：由解得或，所以圆过定点（Ⅲ）先确定直线方程，这可利用两圆公共弦性质解得：由圆方程为及 圆：，相减消去x,y平方项得圆方程与圆相交弦AB所在直线方程为：，相交弦长即：
，当时，AB有最小值
试题解析：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r＝2，设P（2b,b），
因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°,
所以MP＝，解得
所以4分
（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径，
其方程为：
即
由， 7分
解得或，所以圆过定点9分
（Ⅲ）因为圆方程为
即①
圆：，即②
②－①得圆方程与圆相交弦AB所在直线方程为：
11分
点M到直线AB的距离13分
相交弦长即：

当时，AB有最小值16分
考点：圆的切线长，圆的方程，两圆的公共弦方程