吉林省长春市第151中学2025年高一下数学期末达标检测试题含解析.doc

吉林省长春市第151中学2025年高一下数学期末达标检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差为（ ）
A． B．3 C． D．4
2．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 （　　）
A． B． C． D．
3．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则角（ ）
A． B． C． D．
4．若角α的终边过点P(-3，-4)，则cos(π-2α)的值为()
A． B． C． D．
5．若角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A． B． C． D．不存在
6．在中，内角所对的边分别为，若，且，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．不确定
7．已知数列满足，，则（ ）
A．1024 B．2048 C．1023 D．2047
8．已知关于的不等式的解集为，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
9．石臼是人类以各种石材制造的，用以砸、捣、研磨药材、食品等的生产工具，是由长方体挖去半球所得几何体，若某石臼的三视图如图所示（单位：dm），则其表面积（单位：dm2）为（　 　）

A．132+8π B．168+4π C．132+12π D．168+16π
10．已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为 ( )．
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．x－y＋1＝0 D．x＋y－6＝0
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知平面向量，，满足：，且，则的最小值为____.
12．四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD是菱形，，，，E是BC的中点，则点C到平面的距离等于________.

13．已知角满足且，则角是第________象限的角．
14．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.

15．已知，，两圆和只有一条公切线，则的最小值为________
16．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积为______；
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角所对的边分别是.

（Ⅰ）若依次成等差数列，且公差为1．求的值；
（Ⅱ）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值
18．已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求.
19．已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式.
20．已知数列中，，．
（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，数列的前项和为，求证．
21．已知，为两非零有理数列（即对任意的，，均为有理数），为一个无理数列（即对任意的，为无理数）．
（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式；
（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为；
（3）已知，，试计算．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差．
【详解】
因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为，方差为，由平均数和方差的计算公式可得，.
故选：C.
本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键．
2、D
【解析】
利用，得出异面直线与所成的角为，然后在中利用锐角三角函数求出.
【详解】
如下图所示，设正方体的棱长为，
四边形为正方形，所以，，
所以，异面直线与所成的角为，
在正方体中，平面，平面，，

，，，
在中，，，
因此，异面直线与所成角的余弦值为，故选D.
本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线，选择合适的三角形，利用锐角三角函数或余弦定理求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题．
3、B
【解析】
根据正弦定理，可得，进而可求，再利用余弦定理，即可得结果．
【详解】
，
∴由正弦定理，可得3b=5a，
，
，
，
，
故选：B.
本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.
4、C
【解析】
由三角函数的定义得，再利用诱导公式以及二倍角余弦公式求解.
【详解】
由三角函数的定义，可得，则，
故选C.
本题主要考查了三角函数的定义，以及二倍角的余弦公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5、B
【解析】
由三角函数的定义可得：，得解.
【详解】
解：在单位圆中，，
故选B.
本题考查了三角函数的定义，属基础题.
6、C
【解析】
通过正弦定理可得可得三角形为等腰，再由可知三角形是直角，于是得到答案.
【详解】
因为，所以，所以即.因为，所以，又因为，所以，所以，故的形状是等腰直角三角形.
本题主要考查利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度中等.
7、C
【解析】
根据叠加法求结果.
【详解】
因为，所以，
因此，选C.
本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.
8、D
【解析】
将原不等式化简后，根据不等式的解集列方程组，求得的值，进而求得的值.
【详解】
由得，依题意上述不等式的解集为，故，解得（舍去），故.
故选:D.
本小题主要考查类似：已知一元二次不等式解集求参数，考查函数与方程的思想，属于基础题.
9、B
【解析】
利用三视图的直观图，画出几何体的直观图，然后求解表面积即可．
【详解】
几何体的直观图如图：
几何体的表面积为：6×6×2+4×6×4﹣4π+2π×22＝168+4π．
故选：B．

【点评】
本题考查三视图及求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．
10、C
【解析】
试题分析：两点关于直线对称，则,点与的中点在直线上，,那么直线的斜率等于，中点坐标为，即中点坐标为，,整理得：,故选C.
考点：求直线方程

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、-1
【解析】
，，，
由经过向量运算得，知点在以为圆心，1为半径的圆上，这样，只要最小，就可化简．
【详解】
如图，，则，设是中点，则，
∵，
∴，即，
，记，则点在以为圆心，1为半径的圆上，记，
，注意到，因此当与反向时，最小，
∴．
∴最小值为-1．
故答案为-1．

本题考查平面向量的数量积，解题关键是由已知得出点轨迹(让表示的有向线段的起点都是原点)是圆，然后分析出只有最小时，才可能最小．从而得到解题方法．
12、
【解析】
利用等体法即可求解.
【详解】

如图，由ABCD是菱形，，，E是BC的中点，
所以,
又平面ABCD，所以平面ABCD，即，
又，则平面，
由平面，所以，
所以，
设点C到平面的距离为，
由
即，
即，
所以.
故答案为：
本题考查了等体法求点到面的距离，同时考查了线面垂直的判定定理，属于基础题.
13、三
【解析】
根据三角函数在各个象限的符号，确定所在象限.
【详解】
由于，所以为第三、第四象限角；由于，所以为第二、第三象限角.故为第三象限角.
故答案为：三
本小题主要考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题.
14、
【解析】
试题分析：由三视图知，几何体是一个四棱锥，
四棱锥的底面是一个正方形，边长是2，
四棱锥的一条侧棱和底面垂直，且这条侧棱长是2，
这样在所有的棱中，连接与底面垂直的侧棱的顶点与相对的底面的顶点的侧棱是最长的长度是，
考点：三视图
点评：本题考查由三视图还原几何体，所给的是一个典型的四棱锥，注意观察三视图，看出四棱锥的一条侧棱与底面垂直．
15、9
【解析】
两圆只有一条公切线，可以判断两圆是内切关系，可以得到一个等式，结合这个等式，可以求出的最小值.
【详解】
，圆心为，半径为2；
，圆心为，半径为1.因为两圆只有一条公切线，所以两圆是内切关系，即，于是有
（当且仅当取等号），因此的最小值为9.
本题考查了圆与圆的位置关系，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.
16、
【解析】
先根据以及余弦定理计算出的值，再由面积公式即可求解出的面积.
【详解】
因为，所以，所以，
所以.
故答案为：.
本题考查解三角形中利用余弦定理求角以及面积公式的运用，难度较易.
三角形中，已知两边的乘积和第三边所对的角即可利用面积公式求解出三角形面积.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或.（1），
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题意可得 a=c-4、b=c-1．又因∠MCN=π，,可得恒等变形得c1-9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=1sⅠnθ,BC=，△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,再由利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．
试题解析：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为1，∴a=c-4、b=c-1．
又因∠MCN=π，,可得,
恒等变形得c1-9c+14=0，解得c=2，或c=1．
又∵c＞4，∴c=2．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得
.
∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=
,
又,
当,即时，f（θ）取得最大值.
考点：1.余弦定理;1．正弦定理
18、 (1)；（2）．
【解析】
试题分析：（1）利用等差等比基本公式，计算数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求和.
试题解析：
(1)设公差为，因为，，成等数列，
所以，即，
解得，或(舍去)，
所以.
(2)由(1)知，
所以，
，
所以.
19、
【解析】
当时，，当时，，即可得出．
【详解】
∵已知数列的前项和为，且，
当时，，
当时，，
检验：当时，不符合上式，

本题考查了数列递推关系、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
20、（1）证明见解析；；（2）
【解析】
（1）先证明数列是以3为公比，以为首项的等比数列，从而，由此能求出的通项公式；（2）由（1）推导出，从而，利用错位相减法求和，利用放缩法证明．
【详解】
由，，
得，
，
数列是以3为公比，以为首项的等比数列，
从而，

数列满足，
，
，
，
两式相减得：
，

，，
本题主要考查等比数列的定义、通项公式与求和公式，以及错位相减法的应用，是中档题．一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.
21、（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
（1）根据不等式可得，把代入即可解出
（2）根据化简，利用为有理数即可解决
（3）根据题意可知，本题需分为奇数和偶数时讨论，通过求出．
【详解】
（1）∵，∴，即，
∴，
∵，∴，∴．
（2）∵，∴，
∴，
∵，，为有理数列，为无理数列，
∴，∴，以上每一步可逆．
（3），∴．
∵，∴，
当时，∴
当时，∴，∴为有理数列，
∵，∴，
∴，
∵，，为有理数列，为无理数列，
∴，∴，
∴
当时，∴
当时，∴，
∴．
本题数列的分类问题，数列通项式的求法、有关数列的综合问题等．本题难度、计算量较大，属于难题．