天津市武清区杨村第三中学2025届数学高一第二学期期末考试试题含解析.doc

天津市武清区杨村第三中学2025届数学高一第二学期期末考试试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若曲线表示椭圆，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．或
2．已知向量=(3，4)，=(2，1)，则向量与夹角的余弦值为( )
A． B． C． D．
3．已知等比数列中，若，且成等差数列，则（ ）
A．2 B．2或32 C．2或-32 D．-1
4．已知等比数列的公比为正数，且，则 ( )
A． B． C． D．
5．已知三角形为等边三角形，，设点满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．与角终边相同的角是
A． B． C． D．
7．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是( )

A． B． C． D．1
9．若集合, 则集合( )
A． B． C． D．
10．已知，则的最小值为（）
A．2 B．0 C．-2 D．-4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知等比数列中，，，则该等比数列的公比的值是______.
12．若复数满足（其中为虚数单位），则________.
13．已知函数，关于此函数的说法：①为周期函数；②有对称轴；③为的对称中心；④；正确的序号是 _________.
14．已知无穷等比数列的前项和，其中为常数，则________
15．在中，已知角的对边分别为，且，，，若有两解，则的取值范围是__________．
16．若点与关于直线对称，则的倾斜角为_______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某专卖店为了对新产品进行合理定价，将该产品按不同的单价试销，调查统计如下表：
售价（元）
4
5
6
7
8
周销量（件）
90
85
83
79
73
（1）求周销量y（件）关于售价x（元）的线性回归方程；
（2）按（1）中的线性关系，已知该产品的成本为2元/件，为了确保周利润大于598元，则该店应该将产品的售价定为多少？
参考公式：，.
参考数据：，
18．的内角所对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
19．（1）从某厂生产的一批零件1000个中抽取20个进行研究，应采用什么抽样方法？
（2）对（1）中的20个零件的直径进行测量，得到下列不完整的频率分布表：（单位：mm）
分组
频数
频率

2

6

8

合计
20
1
①完成频率分布表；
②画出其频率分布直方图.

20．如图为某区域部分交通线路图，其中直线，直线l与、、都垂直，垂足分别是点A、点B和点C（高速线右侧边缘），直线与、与的距离分别为1米、2千米，点M和点N分别在直线和上，满足，记.

（1）若，求AM的长度；
（2）记的面积为，求的表达式，并问为何值时，有最小值，并求出最小值；
（3）求的取值范围.
21．设函数．
（1）求函数的最小正周期．
（2）求函数的单调递减区间；
（3）设为的三个内角，若，，且为锐角，求．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据椭圆标准方程可得，解不等式组可得结果.
【详解】
曲线表示椭圆，
，
解得，且，
的取值范围是或，故选D．
本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.
2、A
【解析】
由向量的夹角公式计算．
【详解】
由已知，，．
∴．
故选A．
本题考查平面向量的数量积，掌握数量积公式是解题基础．
3、B
【解析】
根据等差数列与等比数列的通项公式及性质，列出方程可得q的值，可得的值.
【详解】
解：设等比数列的公比为q（），
成等差数列，
，，
，解得：，
，，
故选B.
本题主要考查等差数列和等比数列的定义及性质，熟悉其性质是解题的关键.
4、D
【解析】
设公比为，由已知得，即，又因为等比数列的公比为正数，所以，故故选D.
5、D
【解析】
用三角形的三边表示出，再根据已知的边的关系可得到关于的方程，解方程即得。
【详解】
由题得，，，整理得，化简得，解得.

故选：D
本题考查平面向量的线性运算及平面向量基本定理，是常考题型。
6、C
【解析】
∵与终边相同的角的集合为
∴令，得
∴与角终边相同的角是
故选C
7、D
【解析】
对于选项A,因为，所以，所以 即，所以选项A错误；对于选项B，，所以，选项B错误；对于选项C，，当 时，，当，，故选项C错误；对于选项D，，所以，又，所以，所以，选D.
8、C
【解析】
由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为，底面是直角边长分别为1，的直角三角形，代入体积公式计算可得答案．
【详解】
解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为，
底面是直角边长分别为1，的直角三角形，
∴三棱柱的体积V．
故选：C．
本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．
9、D
【解析】
试题分析：作数轴观察易得.
考点：集合的基本运算.
10、D
【解析】
根据不等式组画出可行域，借助图像得到最值.
【详解】
根据不等式组画出可行域得到图像：

将目标函数化为，根据图像得到当目标函数过点时取得最小值，代入此点得到z=-4.
故答案为：D.
利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域;(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）;(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解;(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据等比通项公式即可求解
【详解】

故答案为：
本题考查等比数列公比的求解，属于基础题
12、
【解析】
设，则由，得，
则，解得，即，即.
13、①②④
【解析】
由三角函数的性质及，分别对各选项进行验证，即可得出结论.
详解】
解：由函数，
可得①，可得为周期函数，故①正确；
②由，，
故，是偶函数，故有对称轴正确，故②正确；
③为偶数时，，为奇数时,
故不为的对称中心，故③不正确；
④由，可得正确，故④正确.
故答案为：①②④.
本题主要考查三角函数的值域、周期性、对称性等相关知识，综合性大，属于中档题.
14、1
【解析】
根据等比数列的前项和公式，求得，再结合极限的运算，即可求解.
【详解】
由题意，等比数列前项和公式，可得，
又由，所以，所以，可得.
故答案为：.
本题主要考查了等比数列的前项和公式的应用，以及熟练的极限的计算，其中解答中根据等比数列的前项和公式，求得的值，结合极限的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15、
【解析】
利用正弦定理得到，再根据有两解得到，计算得到答案.
【详解】
由正弦定理得：
若有两解：

故答案为
本题考查了正弦定理，有两解，意在考查学生的计算能力.
16、
【解析】
根据两点关于直线对称，可知与垂直，利用斜率乘积为可求得，根据直线倾斜角与斜率的关系可求得倾斜角.
【详解】
由题意知：
，即：
又
本题正确结果：
本题考查直线倾斜角的求解，关键是能够根据两点关于直线对称的性质求得所求直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求得结果.

三、解答题本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）14元
【解析】
（1）由表中数据求得,结合参考数据可得.再代入方程即可求得线性回归方程.
（2）设售价为元,代入（1）中的回归方程,求得销量.即可求得利润的表达式.由于周利润大于598元,得不等式后,解不等式即可求解.
【详解】
（1）由表可得,因为,
由参考数据,,
所以代入公式可得,
则,
所以线性回归方程；
（2）设售价为元,由（1）知周销量为,
所以利润,
解得,因为,则.
所以为了确保周利润大于598元,则该店应该将产品的售价定为14元.
本题考查了线性回归方程的求法和简单应用,一元二次不等式的解法,属于基础题.
18、（1）；（2）5.
【解析】
（1）根据正弦定理得，化简即得C的值；（2）先利用余弦定理求出a的值，再求的面积．
【详解】
（1）因为，根据正弦定理得，
又，从而，
由于，所以．
（2）根据余弦定理，而，，，
代入整理得，解得或（舍去）．
故的面积为．
本题主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
19、（1）系统抽样；（2）①分布表见解析；②直方图见解析.
【解析】
（1）因需要研究的个体很多，且差异不明显，适宜用系统抽样.
（2）①直接计算频率即可.
②根据①中计算出的数据，用每一组的频率/组距作为纵坐标，即可做出频率分布直方图.
【详解】
某厂生产的一批零件1000个, 差异不明显, 且因需要研究的个体很多.
所以适宜用系统抽样.
（2）①频率分布表为
分组
频数
频率

2
0.1

6
0.3

8
0.4

4
0.2
合计
20
1
②频率分布直方图为.
分组
频数
频率
频率/组距

2
0.1
0.02

6
0.3
0.06

8
0.4
0.08

4
0.2
0.04
合计
20
1

本题考查频率分布表和根据频率分布表绘制频率分布直方图，属于基础题.
20、（1）；（2），当时，；（3）.
【解析】
（1），，，由即可得解；
（2）用含有的式子表示出和，得出，根据的范围得出的最小值；
（3）用含有的式子表示出，利用三角恒等变换和正弦函数的值域得出答案.
【详解】
（1）由题意可知:，即，
，所以；
（2），，，，
，，
，时，取得最大值1，；
（3），
由题意可知，令，
.
本题考查三角函数的综合应用，考查逻辑思维能力和计算能力，考查对基本知识的掌握，考查分析能力，属于中档题.
21、（1）（2）减区间为，（3）
【解析】
利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递减区间．
利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，求得的值．
【详解】
函数，
故它的最小正周期为．
对于函数，令，求得，
可得它的减区间为，．
中，若，．
若，，为锐角，．
．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，考查了同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．