2024-2025学年陕西省西安市第六中学数学高一下期末综合测试试题含解析.doc

2024-2025学年陕西省西安市第六中学数学高一下期末综合测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：

①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为：（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．2 C． D．
4．设等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．255 B．375 C．250 D．200
5．已知、是圆：上的两个动点，，，若是线段的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，则与的夹角为（　）
A． B． C． D．
7．已知关于的不等式的解集为，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
8．如下图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中
① ②与成角
③与为异面直线 ④
以上四个命题中，正确的序号是 （ ）

A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
9．在正四棱柱，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
10．已知为锐角，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在扇形中，如果圆心角所对弧长等于半径，那么这个圆心角的弧度数为______.
12．设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比为 .
13．给出以下四个结论：
①过点，在两轴上的截距相等的直线方程是；
②若是等差数列的前n项和，则；
③在中，若，则是等腰三角形；
④已知，，且，则的最大值是2.
其中正确的结论是________（写出所有正确结论的番号）.
14．已知，则______．
15．某企业利用随机数表对生产的800个零件进行抽样测试，先将800个零件进行编号，编号分别为001,002,003，…，800从中抽取20个样本，如下提供随机数表的第行到第行： 若从表中第6行第6列开始向右依次读取个数据，则得到的第个样本编号是_______.

16．若，且，则__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设为正项数列的前项和，且满足．
（1）求证：为等差数列；
（2）令，，若恒成立，求实数的取值范围．
18．在△中，角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求的值；
（2）若，求的最大值；
（3）若，，为的中点，求线段的长度.
19．某质检机构检测某产品的质量是否合格，在甲、乙两厂匀速运行的自动包装传送带上每隔10分钟抽一包产品称其质量（单位：克），分别记录抽查数据，获得质量数据茎叶图（如图）.

（1）该质检机构采用了哪种抽样方法抽取的产品？根据样本数据，求甲、乙两厂产品质量的平均数和中位数；
（2）若从甲厂6件样品中随机抽取两件.
①列举出所有可能的抽取结果；
②记它们的质量分别是克，克，求的概率.
20．已知圆经过，，三点．
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点N 的直线被圆截得的弦AB的长为，求直线的倾斜角．
21．已知直线经过点，斜率为1.
（1）求直线的方程；
（2）若直线与直线:的交点在第二象限，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得．
【详解】
甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确；
甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；
从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确．
故选C．
本题考查了茎叶图，属基础题．平均数即为几个数加到一起除以数据的个数得到的结果.
2、D
【解析】
将本题转化为直线与半圆的交点问题，数形结合，求出的取值范围
【详解】
将曲线的方程化简为
即表示以 为圆心，以2为半径的一个半圆，如图所示：

由圆心到直线 的距离等于半径2，可得：
解得 或
结合图象可得
故选D
本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了转化能力，在解题时运用点到直线的距离公式来计算，数形结合求出结果，本题属于中档题
3、C
【解析】
根据等比数列前项和为带入即可。
【详解】
当时，不成立。当时
，
则,选择C
本题主要考查了等比数列的前项和，，属于基础题。
4、A
【解析】
由等比数列的性质，仍是等比数列，先由是等比数列求出，再由是等比数列，可得.
【详解】
由题得，成等比数列，则有，，解得，同理有，，解得.
故选：A
本题考查等比数列前n项和的性质，这道题也可以先由求出数列的首项和公比q，再由前n项和公式直接得。
5、A
【解析】
由题意得 ,所以
，选A.
6、D
【解析】
根据题意，由向量数量积的计算公式可得cosθ的值，据此分析可得答案．
【详解】
设与的夹角为θ，由、的坐标可得||＝5，||＝3，•5×0+5×（﹣3）＝﹣15，
故， 所以.
故选D
本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
7、D
【解析】
将原不等式化简后，根据不等式的解集列方程组，求得的值，进而求得的值.
【详解】
由得，依题意上述不等式的解集为，故，解得（舍去），故.
故选:D.
本小题主要考查类似：已知一元二次不等式解集求参数，考查函数与方程的思想，属于基础题.
8、D
【解析】

由已知中正方体的平面展开图，得到正方体的直观图如上图所示：
由正方体的几何特征可得：①不平行，不正确；  ②AN∥BM，所以，CN与BM所成的角就是∠ANC=60°角，正确；③与不平行、不相交，故异面直线与为异面直线，正确；
④易证，故，正确；故选D．
9、A
【解析】
作出两异面直线所成的角，然后由余弦定理求解．
【详解】
在正四棱柱中，则异面直线与所成角为或其补角，在中，，，．
故选A．
本题考查异面直线所成的角，解题关键是根据定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形求之．
10、D
【解析】
由，得，，即可得到本题答案
【详解】
由，得，
所以，，
所以.
故选：D
本题主要考查两角和的正切公式的应用以及特殊角的三角函数值.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】
根据弧长公式求解
【详解】
因为圆心角所对弧长等于半径，所以
本题考查弧长公式，考查基本求解能力，属基础题
12、3
【解析】
分别取AC、BC的中点D、E,
,
,
即,
是DE的一个三等分点,
,
故答案为:3.
13、②④
【解析】
①中满足题意的直线还有，②中根据等差数列前项和的特点，得到，③中根据同角三角函数关系进行化简计算，从而进行判断，④中根据基本不等式进行判断.
【详解】
①中过点，在两轴上的截距相等的直线还可以过原点，即两轴上的截距都为，即直线，所以错误；
②中是等差数列的前n项和，根据等差数列前项和的特点，，是一个不含常数项的二次式，从而得到，即，所以正确；
③中在中，若，则可得，
所以可得或，所以可得或，从而得到为直角三角形或等腰三角形，所以错误；
④中因为，，且，
由基本不等式，得到，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
所以，
即的最大值是，所以正确.
故答案为：②④
本题考查截距相等的直线的特点，等差数列前项和的特点，判断三角形形状，基本不等式求积的最大值，属于中档题.
14、
【解析】
由题意得出，然后在分式的分子和分母中同时除以，然后利用常见的数列极限可计算出所求极限值.
【详解】
由题意得出.
故答案为：.
本题考查数列极限的计算，熟悉一些常见数列极限是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
15、1
【解析】
根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可．
【详解】
第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，1合适
则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，1，
则第6个编号为1，
故答案为1．
本题考查了简单随机抽样中的随机数表法，主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．本题属于基础题．
16、
【解析】
根据三角函数恒等式 ，将代入得到 ，又因为，故得到
故答案为。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据与的关系，再结合等差数列的定义，即可证明；
（2）由（1）可求出，采用裂项相消法求出，要恒成立，只需即可求出．
【详解】
（1）由题知：，
当得：，解得：
当，
①②得：
，即．
是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由（1）知：
所以
即．
本题主要考查与的关系，等差数列的定义，裂项相消法以及恒成立问题的解法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
18、（1）； （2）； （3）.
【解析】
（1）由三角恒等变换的公式，化简，代入即可求解.
（2）在中，由余弦定理，结合基本不等式，求得，即可得到答案.
（3）设，在中，由余弦定理，求得，分别在和中，利用余弦定理，列出方程，即可求解.
【详解】
（1）由题意，在中，，则
又由
.
（2）在中，由余弦定理可得，
即，可得，当且仅当等号成立，
所以的最大值为.
（3）设，如图所示，
在中，由余弦定理可得，
即，即，解得，
在中，由余弦定理,可得，……①
在中，由余弦定理,可得……②
因为，所以，
由①+②，可得，即，
解得，即.

本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．
19、（1）系统抽样；乙厂产品质量的平均数，乙厂质量的中位数是113；甲厂质量的平均数，甲厂质量的中位数是113（2）①详见解析②
【解析】
（1）根据抽样方式即可确定抽样方法；根据茎叶图中的数据，即可分别求得两组的平均数与中位数；
（2）由甲厂的样品数据，即可由列举法得所有可能；根据列举的数据，即可得满足的情况，即可求得复合要求的概率.
【详解】
（1）由题意该质检机构抽取产品采用的抽样方法为系统抽样，
甲厂质量的平均数，
甲厂质量的中位数是113，
乙厂产品质量的平均数，
乙厂质量的中位数是113.
（2）①从甲厂6件样品中随机抽取两件，分别为：
，
，
，共15个.
②设“”为事件，则事件共有5个结果：
.
所以的概率.
本题考查了茎叶图的简单应用，由茎叶图求平均值与中位数，列举法求古典概型概率的应用，属于基础题.
20、 (1) (2) 30°或90°．
【解析】
（1）解法一：将圆的方程设为一般式，将题干三个点代入圆的方程，解出相应的参数值，即可得出圆的一般方程，再化为标准方程；
解法二：求出线段和的中垂线方程，将两中垂线方程联立求出交点坐标，即为圆心坐标，然后计算为圆的半径，即可写出圆的标准方程；
（2）先利用勾股定理计算出圆心到直线的距离为，并对直线的斜率是否存在进行分类讨论：一是直线的斜率不存在，得出直线的方程为，验算圆心到该直线的距离为；
二是当直线的斜率存在时，设直线的方程为，并表示为一般式，利用圆心到直线的距离为得出关于的方程，求出的值．结合前面两种情况求出直线的倾斜角．
【详解】
（1）解法一：设圆的方程为，
则 ∴
即圆为，
∴圆的标准方程为；
解法二：则中垂线为,中垂线为，

∴圆心满足∴，
半径，
∴圆的标准方程为．
（2）①当斜率不存在时，即直线到圆心的距离为1，也满足题意，
此时直线的倾斜角为90°，
②当斜率存在时，设直线的方程为，
由弦长为4，可得圆心 到直线的距离为，
，
∴，此时直线的倾斜角为30°，
综上所述，直线的倾斜角为30°或90°．
本题考查圆的方程以及直线截圆所得弦长的计算，在求直线与圆所得弦长的计算中，问题的核心要转化为弦心距的计算，弦心距的计算主要有以下两种方式：一是利用勾股定理计算，二是利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离．
21、（1）；（2）
【解析】
（1）由条件利用用点斜式求直线的方程．
（2）联立方程组求出直线与直线的交点坐标，再根据交点在第二象限，求得的取值范围．
【详解】
解：（1）由直线经过点，斜率为1，利用点斜式可得直线的方程为，
即．
（2）由，解得，故直线与直线的交点坐标为．
交点在第二象限，故有，解得，即的取值范围为．
本题主要考查用点斜式求直线的方程，求直线的交点坐标，属于基础题．