2025年吉林省吉林市五十五中数学高一第二学期期末达标测试试题含解析.doc

2025年吉林省吉林市五十五中数学高一第二学期期末达标测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量，，则（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．0
2．已知点满足条件则的最小值为（　　）
A．9 B．-6 C．-9 D．6
3．某几何体的三视图如图所示，其外接球体积为（ ）

A． B． C． D．
4．已知，则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
5．与角终边相同的角是
A． B． C． D．
6．等差数列的前n项和为，且，，则(    )
A．10 B．20 C． D．
7．如图是某体育比赛现场上评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别是( )

A．5和1.6 B．85和1.6 C．85和0.4 D．5和0.4
8．若将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为（ ）
A． B． C． D．
9．已知实数满足,那么的最小值为(   )
A． B． C． D．
10．已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（　　）
A．（0，1） B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．关于的方程只有一个实数根，则实数_____．
12．若，则________.
13．若数列满足，，则的最小值为__________________．
14．无限循环小数化成最简分数为________
15．已知角α的终边与单位圆交于点．则___________.
16．数列中，，以后各项由公式给出，则等于_____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，数列中，若，且.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的前项和为，求证：.
18．在平面直角坐标系中，已知点与两个定点，的距离之比为.
（1）求点的坐标所满足的关系式；
（2）求面积的最大值；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
19．已知直线和．
（1）若与互相垂直，求实数的值；
（2）若与互相平行，求与与间的距离，
20．在中，内角所对的边分别是．已知，，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求面积的最大值．
21．已知向量，
（1）若，求；
（2）若，求.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据向量数量积的坐标运算，得到答案.
【详解】
向量，，
所以.
故选：C.
本题考查向量数量积的坐标运算，属于简单题.
2、B
【解析】
试题分析：满足约束条件的点的可行域，如图所示

由图可知，目标函数在点处取得最小值，故选B.
考点：线性规划问题.
3、D
【解析】
易得该几何体为三棱锥,再根据三视图在长方体中画出该三棱锥,再根据此三棱锥与长方体的外接球相同求解即可.
【详解】
在长方体中画出该几何体,易得为三棱锥,且三棱锥与该长方体外接球相同.
又长方体体对角线等于外接球直径,故.
故外接球体积

故选：D
本题主要考查了三视图还原几何体以及求外接球体积的问题,属于基础题.
4、B
【解析】
根据向量夹角公式求得夹角的余弦值；根据所求投影为求得结果.
【详解】
由题意得：
向量在方向上的投影为：
本题正确选项：
本题考查向量在方向上的投影的求解问题，关键是能够利用向量数量积求得向量夹角的余弦值.
5、C
【解析】
∵与终边相同的角的集合为
∴令，得
∴与角终边相同的角是
故选C
6、D
【解析】
由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出．
【详解】
解：由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，
，
，
解得．
故选：．
本题考查了等差数列的前项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7、B
【解析】
去掉最低分分，最高分分，利用平均数的计算公式求得，利用方差公式求得.
【详解】
去掉最低分分，最高分分，得到数据，
该组数据的平均数，
.
本题考查从茎叶图中提取信息，并对数据进行加工和处理，考查基本的运算求解和读图的能力.
8、B
【解析】
根据正弦型函数的图象平移规律计算即可.
【详解
.
故选：B.
本题考查三角函数图象的平移变化，考查对基本知识的理解和掌握，属于基础题.
9、A
【解析】
表示直线上的点到原点的距离，利用点到直线的距离公式求得最小值.
【详解】
依题意可知表示直线上的点到原点的距离，故原点到直线的距离为最小值，即最小值为，故选A.
本小题主要考查点到直线的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
10、B
【解析】
先求得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b； ③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．
【详解】
由题意可得，三角形ABC的面积为 1，
由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），
由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故0，故点M在射线OA上．
设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．
①若点M和点A重合，如图：

则点N为线段BC的中点，故N（，），
把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．
②若点M在点O和点A之间，如图：

此时b，点N在点B和点C之间，
由题意可得三角形NMB的面积等于，
即，即 ，可得a0，求得 b，
故有b．
③若点M在点A的左侧，

则b，由点M的横坐标1，求得b＞a．
设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，），
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 •（1﹣b）•|xN﹣xP|，
即（1﹣b）•||，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
两边开方可得 （1﹣b）1，∴1﹣b，化简可得 b＞1，
故有1b．
综上可得b的取值范围应是 ，
故选B．
本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
首先从方程看是不能直接解出这个方程的根的，因此可以转化成函数，从函数的奇偶性出发。
【详解】
设，则

∴为偶函数，其图象关于轴对称，
又依题意只有一个零点，故此零点只能是，
所以，
∴，
∴，
∴，∴，
故答案为：
本题主要考查了函数奇偶性以及零点与方程的关系，方程的根就是对应函数的零点，本题属于基础题。
12、
【解析】
观察式子特征，直接写出，即可求出。
【详解】
观察的式子特征，明确各项关系，以及首末两项，即可写出，
所以，相比，增加了后两项，少了第一项，故。
本题主要考查学生的数学抽象能力，正确弄清式子特征是解题关键。
13、
【解析】
由题又,故考虑用累加法求通项公式,再分析的最小值.
【详解】
,故,
当且仅当时成立.又为正整数,且,故考查当时.
当时,当时,因为,
故当时, 取最小值为.
故答案为：.
本题主要考查累加法,求最小值时先用基本不等式,发现不满足“三相等”,故考虑与相等时的取值最近的两个正整数.
14、
【解析】
利用无穷等比数列求和的方法即可.
【详解】
.
故答案为：
本题主要考查了无穷等比数列的求和问题,属于基础题型.
15、
【解析】
直接利用三角函数的坐标定义求解.
【详解】
由题得.
故答案为
本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
16、
【解析】
可以利用前项的积与前项的积的关系，分别求得第三项和第五项，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意知，数列中，，且，
则当时，；
当时，，
则，
当时，；
当时，，
则，
所以.
本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中解答中熟练的应用递推关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）将代入到函数表达式中，得，两边都倒过来，即可证明数列是等比数列；
（2）由（1）得出an的通项公式，然后根据不等式＜在求和时进行放缩法的应用，再根据等比数列求和公式进行计算，即可证出．
【详解】
（1）由函数，在数列中，若，得：，
上式两边都倒过来，可得：＝＝﹣2，
∴﹣1＝﹣2﹣1＝﹣1＝1（﹣1）．∵﹣1＝1．
∴数列是以1为首项，1为公比的等比数列．
（2）由（1），可知：＝1n，∴an＝，n∈N*．
∵当n∈N*时，不等式＜成立．
∴Sn＝a1+a2+…+an＝＝＝﹣•＜．
∴．
本题主要考查数列与函数的综合应用，根据条件推出数列的递推公式，由递推公式推出通项公式与放缩法的应用是解决本题的两个关键点，属于中档题．
18、（1）（2）3；（3）
【解析】
（1）根据题意，结合两点间距离公式，可以得到等式，化简后得到点的坐标所满足的关系式；
（2）设是曲线上任一点，求出的表达式，结合的取值范围，可以求出面积的最大值；
（3）恒成立，则恒成立. 设，当它与圆相切时，取得最大和最小值，利用点到直线距离公式，可以求出取得最大和最小值，最后可以求出实数的取值范围.
【详解】
（1）设的坐标是，由，得，
化简得.
（2）由（1）得，点在以为圆心，为半径的圆上.
设是曲线上任一点，则，
又，故的最大值为：.
（3）由（1）得：圆的方程是
若恒成立，则恒成立.
设，当它与圆相切时，
取得最大和最小值，
由得：，，
故当时，原不等式恒成立.
本题考查了求点的轨迹方程，考查了直线与圆的位置关系，考查了求三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力.
19、（1）（2）
【解析】
(1)根据直线垂直的公式求解即可.
(2)根据直线平行的公式求解,再利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】
解（1）∵与互相垂直,∴,解得．
（2）由与互相平行,∴,解得．
直线化为：,
∴与间的距离．
本题主要考查了直线平行与垂直以及平行线间的距离公式.属于基础题.
20、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）先利用向量垂直的坐标表示，得到，再利用正弦定理以及两角和的正弦公式将，化为，进而得到，由此能求出．
（Ⅱ）将两边平方，推导出，当且仅当，时取等号，由此求出面积的最大值．
【详解】
解析：（Ⅰ）由得，
则
得，即
由于，得，又A为内角，因此.
（Ⅱ）将两边平方，即

所以，当且仅当，时取等号.
此时，其最大值为.
本题主要考查数量积的坐标表示及运算、两角和的正弦公式应用、三角形面积公式的应用以及利用基本不等式求最值．
21、（1）3；（2）或
【解析】
（1）由，得，又由，即可得到本题答案；
（2）由，得，即，由此即可得到本题答案.
【详解】
解：（1）由，得，即，

（2）由，得，即，
又，解得或.
本题主要考查平面向量与三角函数求值的综合问题，齐次式法求值是解决此类问题的常用方法.