四川内江威远龙会中学2025年数学高一第二学期期末统考试题含解析.doc

四川内江威远龙会中学2025年数学高一第二学期期末统考试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．函数与的图象均关于直线对称
C．函数与的图象均关于点对称
D．函数与在区间上均单调递增
2．若，，表示三条不重合的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题中，正确的个数是（ ）
①若，，则 ②，，，则
③若，，则 ④若，，则
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若直线：与直线：垂直，则实数( ).
A． B． C．2 D．或2
4．若实数满足,则的大小关系是：
A． B． C． D．
5．直线与圆相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
6．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
7．圆关于原点对称的圆的方程为( )
A． B．
C． D．
8．已知平面四边形满足，，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n(λ－n)－6，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是
A．(－∞，2) B．(－∞，3) C．(－∞，4) D．(－∞，5)
10．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出（ ）

A．13 B．15 C．40 D．46
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设，，，，，为坐标原点，若、、三点共线，则的最小值是_______．
12．已知，那么__________．
13．在中，，，. 若，，且，则的值为______________.
14．在锐角中，角、、所对的边为、、，若的面积为，且，，则的弧度为__________．
15．已知向量，，则______.
16．记，则函数的最小值为__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
18．已知等差数列的首项为，公差为，前n项和为，且满足，.
（1）证明；
（2）若，，当且仅当时取得最小值，求首项的取值范围.
19．已知数列满足关系式，.
（1）用表示，，；
（2）根据上面的结果猜想用和表示的表达式，并用数学归纳法证之.
20．已知函数
(1)求的最值、单调递减区间；
（2）先把的图象向左平移个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的值.
21．已知函数，．
（1）求函数的单调减区间；
（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由三角函数图像可得，，再结合三角函数图像的性质逐一判断即可得解.
【详解】
解：由函数的部分图象可得,,即,则，
又函数图像过点 ，则，
即，
又，即，
即，则
对于选项A，显然错误；
对于选项B，函数的图像关于直线对称，即B错误；
对于选项C，函数的图像关于点对称，即C错误；
对于选项D，函数的增区间为，函数的增区间为，
又，，即D正确，
故选：D.
本题考查了利用三角函数图像求函数解析式，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.
2、B
【解析】
①根据空间线线位置关系的定义判定；
②根据面面平行的性质判定；
③根据空间线线垂直的定义判定；
④根据线面垂直的性质判定．
【详解】
解：①若，，与的位置关系不定，故错；
②若，，，则或、异面，故错；
③若，，则或、异面，故错；
④若，，则，故正确．
故选：．
本题考查了空间线面位置关系，考查了空间想象能力，属于中档题．
3、A
【解析】
试题分析：直线：与直线：垂直，则，.
考点：直线与直线垂直的判定.
4、D
【解析】
分析：先解不等式,再根据不等式性质确定的大小关系.
详解：因为,所以 ,
所以
选D.
点睛：本题考查一元二次不等式解法以及不等式性质，考查基本求解能力与运用性质解决问题能力.
5、D
【解析】
利用直线与圆相交的性质可知，要求，只要求解圆心到直线的距离.
【详解】
由题意圆，可得圆心，半径，
圆心到直线的距离.
则由圆的性质可得，
所以.
故选：D
本题考查了求弦长、圆的性质，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.
6、D
【解析】
直接由二倍角的余弦公式，即可得解.
【详解】
由二倍角公式得：，
故选D.
本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.
7、D
【解析】
根据已知圆的方程可得其圆心，进而可求得其关于原点对称点，利用圆的标准方程即可求解.
【详解】
由圆，则圆心为，半径，
圆心为关于原点对称点为，
所以圆关于原点对称的圆的方程为.
故选：D
本题考查了根据圆心与半径求圆的标准方程，属于基础题.

8、B
【解析】
先建系，再结合两点的距离公式、向量的数量积及模的运算，求解即可得解.
【详解】
解：建立如图所示的平面直角坐标系，则,
设，由，
则，所以，
又，所以，
，
即，
故选：B.

本题考查了两点的距离公式，重点考查了向量的数量积运算及模的运算，属中档题.
9、A
【解析】
，，
因为单调递减，所以，
所以，且，
所以只需，，且，
所以，故选A．
10、A
【解析】
模拟程序运行即可．
【详解】
程序运行循环时，变量值为，不满足；，不满足；，满足，结束循环，输出．
故选A．
本题考查程序框图，考查循环结构．解题时可模拟程序运行，观察变量值的变化，判断是否符合循环条件即可．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据三点共线求得的的关系式，利用基本不等式求得所求表达式的最小值.
【详解】
依题意，由于三点共线，所以，化简得，故，当且仅当，即时，取得最小值
本小题主要考查三点共线的向量表示，考查利用基本不等式求最小值，属于基础题.
12、2017
【解析】
，故，由此得.
【点睛】本题主要考查函数解析式的求解方法，考查等比数列前项和的计算公式.对于函数解析式的求法，有两种，一种是换元法，另一种的变换法.解析中运用的方法就是变换法，即将变换为含有的式子.也可以令.等比数列求和公式为.
13、
【解析】
,则
.
【考点】向量的数量积
【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.
14、
【解析】
利用三角形的面积公式求出的值，结合角为锐角，可得出角的弧度数.
【详解】
由三角形的面积公式可知，的面积为，
得，为锐角，因此，的弧度数为，故答案为.
本题考查三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
15、
【解析】
求出，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算．
【详解】
由题意得，.，.
，，
.
故答案为：．
本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础．本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算．
16、4
【解析】
利用求解.
【详解】

，当时，等号成立.
故答案为：4
本题主要考查绝对值不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
试题分析：解：（1）当时，，解得；
当时，，
∴，故数列是以为首项，2为公比的等比数列，
故． 4分
（2）由1）得，，
∴5分
令，
则，
两式相减得
∴， 7分
故， 8分
又由（1）得，， 9分
不等式即为，
即为对任意恒成立， 10分
设，则，
∵，∴，
故实数t的取值范围是． 12分
考点：等比数列
点评：主要是考查了等比数列的通项公式和求和的运用，属于基础题．
18、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）根据等差数列的前n项和公式,变形可证明为等差数列.结合条件,,可得,进而表示出.由为等差数列,表示出,化简变形后结合不等式性质即可证明.
（2）将三角函数式分组,提公因式后结合同角三角函数关系式化简.再由平方差公式及正弦的和角与差角公式合并.根据条件等式,结合等差数列性质,即可求得.由,即可确定.当且仅当时，取得最小值,可得不等式组,即可得首项的取值范围.
【详解】
（1）证明:等差数列的前n项和为,
则
所以,,
故为等差数列,
因为,,所以
,解得,
因为,
得
故,从而.
（2）而

.
由条件
又由等差数列性质知：
所以,
因为,所以,那么.
等差数列,当且仅当时,取得最小值.
,
所以.
本题考查了等差数列前n项和公式的应用,等差数列通项公式定义及变形式应用.三角函数式变形,正弦和角与差角公式的应用,不等式组的解法,综合性强,属于难题.
19、（1），，（2）猜想：，证明见解析
【解析】
（1）根据递推关系依次代入求解，（2）根据规律猜想，再利用数学归纳法证明
【详解】
解：（1），∴，，；
（2）猜想：.
证明：当时，结论显然成立；
假设时结论成立，即，
则时，，即时结论成立.
综上，对时结论成立.
本题考查归纳猜想与数学归纳法证明，考查基本分析论证能力，属基础题
20、（1），，单调递减区间为；
（2）.
【解析】
（1）函数，得最大值为，并解不等式，得到函数的单调递减区间；
（2）由平移变换、伸缩变换得到函数，再把代入求值.
【详解】
（1）因为，
所以当时，，
当时，.
由，
所以函数的单调递减区间为.
（2）的图象向左平移个单位得：，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得：，
当时，.
本题考查三角函数中的辅助角公式、三角函数的性质、图象变换等知识，对三角函数图象与性质进行综合考查.
21、（1），．（2）
【解析】
（1）利用降次公式和辅助角公式化简表达式，根据三角函数单调区间的求法，求得函数的单调减区间.
（2）首先求得当时的值域.利用换元法令，将转化为，根据的范围，结合二次函数的性质，求得的取值范围.
【详解】
（1）

由 （）
解得 （）．
所以所求函数的单调减区间是 ，．
（2）当时，，，
即．
令 （），则关于的方程在上有解，
即关于的方程在上有解．
当时，．
所以，则．
因此所求实数的取值范围是 ．
本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查根据方程的根存在求参数的取值范围，考查二次函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.