上海市上海大学市北附属中学2024-2025学年数学高一下期末综合测试模拟试题含解析.doc

上海市上海大学市北附属中学2024-2025学年数学高一下期末综合测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知四面体中，，分别是，的中点，若，，与所成角的度数为30°，则与所成角的度数为（）

A．90° B．45° C．60° D．30°
2．在△ABC中，AC，BC＝1，∠B＝45°，则∠A＝（　 　）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
3．已知锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．
5．设双曲线的左右焦点分别是，过的直线交双曲线的左支于两点，若，且，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数和在区间I上都是减函数，那么区间I可以是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，且实数，满足，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．经过点，和直线相切，且圆心在直线上的圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．过两点A(4，y)，B(2，-3)的直线的倾斜角是135°，则y等于　(　　)
A．1 B．5 C．-1 D．-5
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设的内角、、的对边分别为、、，且满足.则______.
12．设数列的通项公式为，则_____．
13．数列满足：，，的前项和记为，若，则实数的取值范围是________
14．已知等比数列中，若，，则_____．
15．若等比数列的各项均为正数，且，则等于__________．
16．已知向量，且，则_______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
18．如图，中，，角 的平分线长为1．

(1)求；
(2)求边的长．
19．年月日是第二十七届“世界水日”，月日是第三十二届“中国水周”．我国纪念年“世界水日”和“中国水周”活动的宣传主题为“坚持节水优先，强化水资源管理”．某中学课题小组抽取、两个小区各户家庭，记录他们月份的用水量（单位：）如下表：
小区家庭月用水量

小区家庭月用水量

（1）根据两组数据完成下面的茎叶图，从茎叶图看，哪个小区居民节水意识更好？

（2）从用水量不少于的家庭中，、两个小区各随机抽取一户，求小区家庭的用水量低于小区的概率．
20．如图，平行四边形中，是的中点，交于点.设，.

(1)分别用，表示向量，；
(2)若，，求.
21．已知，求的值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
取的中点,利用三角形中位线定理,可以得到,与所成角为，运用三角形中位线定理和正弦定理，可以求出的大小，也就能求出与所成角的度数.
【详解】
取的中点连接，如下图所示：因为，分别是，的中点，所以有，因为与所成角的度数为30°，所以，与所成角的大小等于的度数.

在中，
，故本题选A.
本题考查了异面直线所成角的求法，考查了正弦定理，取中点利用三角形中位线定理是解题的关键.
2、A
【解析】
直接利用正弦定理求出sinA的大小，根据大边对大角可求A为锐角，即可得解A的值．
【详解】
因为：△ABC中，BC＝1，AC，∠B＝45°，
所以：，sinA．
因为：BC＜AC，可得：A为锐角，
所以：A＝30°．
故选：A．
【点评】
本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．
3、B
【解析】
利用余弦定理化简后可得，再利用正弦定理把边角关系化为角的三角函数的关系式，从而得到，因此，结合的范围可得所求的取值范围.
【详解】

，
因为为锐角三角形，所以，
，
，故,选B.
在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
4、C
【解析】
根据题意可知函数周期为，利用周期公式求出，计算即可求值.
【详解】
由正切型函数的图象及相邻两支截直线所得的线段长为知，
，
所以，
，故选C.
本题主要考查了正切型函数的周期，求值，属于中档题.
5、C
【解析】

，则，所以，，
则，
所以，故选C
点睛：离心率问题关键是利用圆锥曲线的几何性质，以及三角形的几何关系来解决，本题中，由双曲线的几何性质，可以将图中的各边长都表示出来，再利用同一个角在两个三角形中的余弦定理，就可以得到的等量关系，求出离心率。
6、B
【解析】
分别根据和的单调减区间即可得出答案．
【详解】
因为和的单调减区间分别是和
，所以选择B
本题考查三角函数的单调性，意在考查学生对三角函数图像与性质掌握情况.
7、D
【解析】
由函数的单调性可得：当时，函数的单调性可得：（a），（b），（c），即不满足（a）（b）（c），得解．
【详解】
因为函数，
则函数在为增函数，
又实数，满足（a）（b）（c），
则（a），（b），（c）为负数的个数为奇数，
对于选项，，选项可能成立，
对于选项，
当时，
函数的单调性可得：（a），（b），（c），
即不满足（a）（b）（c），
故选项不可能成立，
故选：．
本题考查了函数的单调性，属于中档题．
8、B
【解析】
设出圆心坐标，由圆心到切线的距离和它到点的距离都是半径可求解．
【详解】
由题意设圆心为，则，解得，
即圆心为，半径为．
圆方程为．
故选：B．
本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系．求出圆心坐标与半径是求圆标准方程的基本方法．
9、A
【解析】
由余弦定理可直接求出边的长.
【详解】
由余弦定理可得，，所以.
故选A.
本题考查了余弦定理的运用，考查了计算能力，属于基础题.
10、D
【解析】
∵过两点A(4，y)，B(2，-3)的直线的倾斜角是135°，
∴，
解得。选D。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、4
【解析】
解法1 有题设及余弦定理得
.
故 .
解法2 如图4，过点作，垂足为.则
，.
由题设得.又，联立解得
，.故.

解法3 由射影定理得.
又，与上式联立解得
，.故.
12、
【解析】
根据数列的通项式求出前项和，再极限的思想即可解决此题。
【详解】
数列的通项公式为，
则，
则答案．
故为：．
本题主要考查了给出数列的通项式求前项和以及极限。求数列的前常用的方法有错位相减、分组求和、列项相消等。本题主要利用了分组求和的方法。
13、
【解析】
因为数列有极限,故考虑的情况.又数列分两组,故分组求和求极限即可.
【详解】
因为,故,
且
,故,又,
即.
综上有.
故答案为：
本题主要考查了数列求和的极限,需要根据题意分组求得等比数列的极限,再利用不等式找出参数的关系,属于中等题型.
14、4
【解析】
根据等比数列的等积求解即可.
【详解】
因为,故.
又,故.
故答案为：4
本题主要考查了等比数列等积性的运用,属于基础题.
15、50
【解析】
由题意可得，=，填50.
16、
【解析】
先由向量共线，求出，再由向量模的坐标表示，即可得出结果.
【详解】
因为，且，
所以，解得，
所以，因此.
故答案为
本题主要考查求向量的模，熟记向量共线的坐标表示，以及向量模的坐标表示即可，属于基础题型.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)取出球为红球或黑球的概率为(2)取出球为红球或黑球或白球的概率为
【解析】
试题分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的球是红球或黑球，根据古典概型和互斥事件的概率公式得到结果；（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球，根据古典概型公式得到结果
试题解析：（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；
满足条件的事件是取出的球是红球或黑球共有9种结果，
∴概率为．
（2）由题意知本题是一个古典概型，
试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；
满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球共有11种结果，
∴概率为．
即取出的1球是红球或黑球的概率为；
取出的1球是红球或黑球或白球的概率为．
考点：等可能事件的概率
18、 (1) (2)
【解析】
（1）由题意知为锐角，利用二倍角余弦公式结合条件可计算出
的值；
（2）利用内角和定理以及诱导公式计算出，在中利用正弦定理可计算出.
【详解】
（1），则B为锐角，；
（2），
在中，由，得.
本题考查二倍角余弦公式、以及利用正弦定理解三角形，解三角形有关问题时，要根据已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．
19、（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据表格中的数据绘制出茎叶图，并结合茎叶图中数据的分布可比较出两个小区居民节水意识；
（2）列举出所有的基本事件，确定所有的基本事件数，然后确定事件“小区家庭的用水量低于小区”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出事件“小区家庭的用水量低于小区”的概率.
【详解】
（1）绘制如下茎叶图：

由以上茎叶图可以看出，小区月用水量有的叶集中在茎、上，而小区月用水量有的叶集中在茎、上，由此可看出小区居民节水意识更好；
（2）从用水量不少于的家庭中，、两个小区各随机抽取一户的结果：
、、、、、、、，共个基本事件，
小区家庭的用水量低于小区的的结果：、、，共个基本事件．
所以，小区家庭的用水量低于小区的概率是．
本题考查茎叶图的绘制与应用，以及利用古典概型计算事件的概率，考查收集数据与处理数据的能力，考查计算能力，属于中等题.
20、（1）， （2） 2
【解析】
（1）由平面的加法可得，又根据三角形相似得到，再根据向量的减法可得的不等式.
（2）由平面向量数量积运算得，然后再将条件代入可得答案.
【详解】
（1）.
由∽,又
所以,即

（2）由，

本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积运算，属中档题．
21、3
【解析】
利用两角和的正切公式化简，求得的值，根据诱导公式求得的值.
【详解】
由得 ．
将代入上式，得 ，
解得 ．
于是 ，所以 ．
本小题主要考查两角和的正切公式、诱导公式，属于基础题.