2024-2025学年河北省五个一联盟数学高一第二学期期末达标测试试题含解析.doc

2024-2025学年河北省五个一联盟数学高一第二学期期末达标测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设函数,，其中,.若，且 的最小正周期大于，则（ ）
A．, B．,
C．, D．,
2．函数的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是
A．，则
B．，则
C．，则
D．，则
4．已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若变量满足约束条件，则的最大值是( )
A．0 B．2 C．5 D．6
6．若向量＝，||＝2，若·(－)＝2，则向量与的夹角( )
A． B． C． D．
7．设等差数列的前项的和为，若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．在等差数列中，已知，则数列的前9项之和等于（ ）
A．9 B．18 C．36 D．52
10．在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若无穷等比数列的各项和等于，则的取值范围是_____．
12．若、为单位向量，且，则向量、的夹角为_______.（用反三角函数值表示）
13．执行右边的程序框图，若输入的是，则输出的值是 ．

14．已知直线与圆相交于，两点，则=______.
15．公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则的值为___________
16．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在等差数列中，，
（1）求的通项公式；
（2）求的前n项和
18．在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上.
（1）若圆分别与轴、轴交于点、（不同于原点），求证：的面积为定值；
（2）设直线与圆交于不同的两点、，且，求圆的方程；
（3）设直线与（2）中所求圆交于点、，为直线上的动点，直线、与圆的另一个交点分别为、，求证：直线过定点.
19．已知向量，不是共线向量，，，
（1）判断，是否共线；
（2）若，求的值
20．如图，在中，，点在边上

（1）求的度数；
（2）求的长度.
21．已知函数.
（1）求在区间上的单调递增区间；
（2）求在的值域.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
根据周期以及最值点和平衡位置点先分析的值，然后带入最值点计算的值.
【详解】
因为，，所以，
则，所以，即，故；
则，代入可得：且，
所以.
故选B.
（1）三角函数图象上，最值点和平衡位置的点之间相差奇数个四分之一周期的长度；
（2）计算的值时，注意选用最值点或者非特殊位置点，不要选用平衡位置点（容易多解）.
2、A
【解析】
令，得：，即函数的对称中心为，再求解即可.
【详解】
解：令，解得：，
即函数的对称中心为，
令，即函数的一个对称中心是，
故选：A.
本题考查了正切函数的对称中心，属基础题.
3、D
【解析】
根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可.
【详解】
两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知错误；
且，此时或，可知错误；
，，，此时或，可知错误；
两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，正确.
本题正确选项：
本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题.
4、C
【解析】
直接利用三角函数性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果.
【详解】
解：由函数，存在常数，使得为偶函数，
则，
由于函数为偶函数，
故，
所以，
当时，.
故选：C.
本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题.
5、C
【解析】
由题意作出不等式组所表示的平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得结果．
【详解】
由题意作出其平面区域，

令，化为，相当于直线的纵截距，
由图可知，，解得，，
则的最大值是，故选C．
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
6、A
【解析】
根据向量的数量积运算，向量的夹角公式可以求得.
【详解】
由已知可得： ，得 ，
设向量与的夹角为 ，则
所以向量与的夹角为
故选A.
本题考查向量的数量积运算和夹角公式，属于基础题.
7、C
【解析】
，，，，，，故选C.
8、B
【解析】
试题分析：设该女子第一天织布尺，则，解得，所以前天织布的尺数为，由，得，解得的最小值为，故选B．
考点：等比数列的应用．
9、B
【解析】
利用等差数列的下标性质，可得出，再由等差数列的前项和公式求出的值.
【详解】
在等差数列中，
故选：B
本题考查了等差数列的下标性质、以及等差数列的前项和公式，考查了数学运算能力.
10、D
【解析】
取AB中点F,SC中点E，设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为，由，在四边形中，设，外接球半径为，则则可求，表面积可求
【详解】
取AB中点F,SC中点E,连接SF,CF, 因为则为二面角的平面角，即
又
设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为
则面，由
在四边形中，设，外接球半径为，则
则三棱锥的外接球的表面积为
故选D
本题考查二面角，三棱锥的外接球，考查空间想象能力，考查正弦定理及运算求解能力，是中档题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、．
【解析】
根据题意可知，，从而得出，再由，即可求出的取值范围．
【详解】
解：由题意可知，，且，
，，
，或，
故的取值范围是，
故答案为：．
本题主要考查等比数列的极限问题，解题时要熟练掌握无穷等比数列的极限和，属于基础题．
12、.
【解析】
设向量、的夹角为，利用平面向量数量积的运算律与定义计算出的值，利用反三角函数可求出的值.
【详解】
设向量、的夹角为，
由平面向量数量积的运算律与定义得因此，向量、的夹角为，故答案为.
本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量所成的夹角，解题的关键就是利用平面向量数量积的定义和运算律，考查运算求解能力，属于中等题.
13、24
【解析】
试题分析：根据框图的循环结构，依次；；；．跳出循环输出．
考点：算法程序框图．
14、.
【解析】
将圆的方程化为标准方程,由点到直线距离公式求得弦心距,再结合垂径定理即可求得.
【详解】
圆,变形可得
所以圆心坐标为,半径
直线,变形可得
由点到直线距离公式可得弦心距为
由垂径定理可知
故答案为:
本题考查了直线与圆相交时的弦长求法,点到直线距离公式的应用及垂径定理的用法属于基础题.
15、2
【解析】
根据等比数列的性质与基本量法求解即可.
【详解】
由题,因为,又等比数列的各项都是正数,故.
故.
故答案为：
本题主要考查了等比数列的等积性与各项之间的关系.属于基础题.
16、-1.
【解析】
分析：可建立坐标系，用平面向量的坐标运算解题．
详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，
∴
，
易知当时，取得最小值.
故答案为－1．

点睛：求最值问题，一般要建立一个函数关系式，化几何最值问题为函数的最值，本题通过建立平面直角坐标系，把向量的数量积用点的坐标表示出来后，再用配方法得出最小值，根据表达式的几何意义也能求得最大值．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）根据已知数列为等差数列，结合数列的性质可知：前3项和，所以，又因为，所以公差，再根据等差数列通项公式，可以求得．本问考查等差数列的通项公式及等差数列的性质，属于对基础知识的考查，为容易题，要求学生必须掌握．（2）由于为等差数列，所以可以根据重要结论得知：数列为等比数列，可以根据等比数列的定义进行证明，即，符合等比数列定义，因此数列是等比数列，首项为，公比为2，所以问题转化为求以4为首项，2为公比的等比数列的前n项和，根据公式有．本问考查等比数列定义及前n项和公式．属于对基础知识的考查．
试题解析：（1）又

（2）由（1）知得：
是以4为首项2为公比的等比数列

考点：1.等差数列；2.等比数列．
18、（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
（1）由题意设圆心坐标为，可得半径为，求出圆的方程，分别令、，可得出点、的坐标，利用三角形的面积公式即可证明出结论成立；
（2）由，知，利用两直线垂直的等价条件：斜率之积为，解方程可得，讨论的取值，求得圆心到直线的距离，即可得到所求圆的方程；
（3）设，、，求得、的坐标，以及直线、的方程，联立圆的方程，利用韦达定理，结合，得出，设直线的方程为，代入圆的方程利用韦达定理，可得、之间的关系，即可得出所求的定点.
【详解】
（1）由题意可设圆心为，则圆的半径为，
则圆的方程为，即.
令，得，得；令，得，得.
（定值）；
（2）由，知，所以，解得.
当时，圆心到直线的距离小于半径，符合题意；
当时，圆心到直线的距离大于半径，不符合题意.
所以，所求圆的方程为；
（3）设，，，又知，，
所以，.
因为，所以.
将，代入上式，
整理得.①
设直线的方程为，代入，
整理得.
所以，.
代入①式，并整理得，
即，解得或.
当时，直线的方程为，过定点；
当时，直线的方程为，过定点
检验定点和、共线，不合题意，舍去.

故过定点.
本题考查圆的方程的求法和运用，注意运用联立直线方程和圆的方程，消去一个未知数，运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，考查运算能力，属于难题．
19、（1）与不共线.（2）
【解析】
（1）假设与共线，由此列方程组，解方程组判断出与不共线.（2）根据两个向量平行列方程组，解方程组求得的值.
【详解】
解：（1）若与共线，由题知为非零向量，
则有，即，
∴得到且，
∴不存在，即与不平行.
（2）∵，则，即，
即，解得.
本小题主要考查判断两个向量是否共线，考查根据两个向量平行求参数，属于基础题.
20、（1）（2）
【解析】
（1）中直接由余弦定理可得，然后得到的度数；
（2）由（1）知，在中，由正弦定理可直接得到的值．
【详解】
解：（1）在中，，，
由余弦定理，有，
在中，；
（2）由（1）知，
在中，由正弦定理，有，
．
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．
21、 (1) 和. (2)
【解析】
（1）利用辅助角公式可将函数化简为；令可求出的单调递增区间，截取在上的部分即可得到所求的单调递增区间；（2）利用的范围可求得的范围，对应正弦函数的图象可求得的范围，进而得到函数的值域.
【详解】
（1）
令，解得：
令，可知在上单调递增
令，可知在上单调递增
在上的单调递增区间为：和
（2）当时，

即在的值域为：
本题考查正弦型函数单调区间和值域的求解问题；解决此类问题的常用方法是采用整体对应的方式，将整体对应正弦函数的单调区间或整体所处的范围，从而结合正弦函数的知识可求得结果.