2024-2025学年河南省实验中学数学高一第二学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2024-2025学年河南省实验中学数学高一第二学期期末质量跟踪监视试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知等差数列的前项和为，，当时，的值为（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
2．直线过且在轴与轴上的截距相等，则的方程为（ ）
A． B．
C．和 D．
3．在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
4．函数的最大值为( )
A． B． C． D．
5．设双曲线的左右焦点分别是，过的直线交双曲线的左支于两点，若，且，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6．设数列是公差不为零的等差数列，它的前项和为，且、、成等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知a,,若关于x的不等式的解集为,则( )
A． B． C． D．
8．下面的程序运行后，输出的值是（ ）

A．90 B．29 C．13 D．54
9．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的值为( )
A． B． C． D．
10．已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11． 若直线y＝x＋m与曲线x＝恰有一个公共点，则实数m的取值范围是______.
12．函数的图象过定点______.
13．对于任意实数x,不等式恒成立,则实数a的取值范围是______
14．函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
15．某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为________．
16．把一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，两次都是正面向上的概率为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
18．已知函数．
（1）若在区间上的最小值为，求的值；
（2）若存在实数，使得在区间上单调且值域为，求的取值范围．
19．已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20．已知数列中，．.
（1）写出、、；
（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
21．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：
第一种，每天支付元，没有奖金；
第二种，每天的底薪元，另有奖金.第一天奖金元，以后每天支付的薪酬中奖金比前一天的奖金多元；
第三种，每天无底薪，只有奖金.第一天奖金元，以后每天支付的奖金是前一天的奖金的倍.
（1）工作天，记三种付费方式薪酬总金额依次为、、，写出、、关于的表达式；
（2）该学生在暑假期间共工作天，他会选择哪种付酬方式？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由，得，按或分两种情况，讨论当时，求的值.
【详解】
已知等差数列的前项和为，由，得，
当时，有，得，
，∴时，此时．
当时，有，得，
，∴时，此时．
故选：B
本题考查等差数列的求和公式及其性质的应用，也考查分类讨论的思想，属于基础题．
2、B
【解析】
对直线 是否过原点分类讨论，若直线过原点满足题意，求出方程；若直线不过原点，在轴与轴上的截距相等，且不为0，设直线方程为将点代入，即可求解.
【详解】
若直线过原点方程为，在轴与轴上的截距均为0，
满足题意；若直线过原点，依题意设方程为，
代入方程无解.
故选:B.
本题考查直线在上的截距关系，要注意过原点的直线在轴上的截距是轴上的截距的任意倍，属于基础题.
3、C
【解析】
设，证明出，可判断出选项A、C的正误；由为等腰三角形结合可判断出B选项的正误；证明平面可判断出D选项的正误.
【详解】
如下图所示，设，则为的中点，

在正方体中，，则四边形为平行四边形，.
易知点、分别为、的中点，，
则四边形为平行四边形，则，由于过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则A选项中的命题错误；
，平面，平面，平面，C选项中的命题正确；
易知，则为等腰三角形，且为底，所以，与不垂直，由于，则与不垂直，B选项中的命题错误；
四边形为正方形，则，
在正方体中，平面，平面，
，，平面，
平面，，同理可证，且，
平面，则与平面不垂直，D选项中的命题错误.故选C.
本题考查线线、线面关系的判断，解题时应充分利用线面平行与垂直等判定定理证明线面平行、线面垂直，考查推理能力，属于中等题.
4、D
【解析】
函数可以化为，设，由，则，即转化为求二次函数在上的最大值.
【详解】
由
设，由，则.
即求二次函数在上的最大值

所以当，即时，函数取得最大值.
故选：D
本题考查的二次型函数的最值，属于中档题.
5、C
【解析】

，则，所以，，
则，
所以，故选C。
点睛：离心率问题关键是利用圆锥曲线的几何性质，以及三角形的几何关系来解决，本题中，由双曲线的几何性质，可以将图中的各边长都表示出来，再利用同一个角在两个三角形中的余弦定理，就可以得到的等量关系，求出离心率。
6、A
【解析】
设等差数列的公差为，根据得出与的等量关系，即可计算出的值.
【详解】
设等差数列的公差为，由于、、成等比数列，则有，
所以，，化简得，因此，.
故选：A.
本题考查等差数列前项和中基本量的计算，解题的关键就是结合题意得出首项与公差的等量关系，考查计算能力，属于基础题.
7、D
【解析】
由不等式的解集为R，得的图象要开口向上且判别式，即可得到本题答案.
【详解】
由不等式的解集为R，得函数的图象要满足开口向上，且与x轴至多有一个交点，即判别式.
故选：D
本题主要考查一元二次不等式恒成立问题.
8、D
【解析】
根据程序语言的作用，模拟程序的运行结果，即可得到答案．
【详解】
模拟程序的运行，可得
，
执行循环体，，
执行循环体，，
执行循环体，，
执行循环体，，
退出循环，输出的值为1．
故选：D．
本题考查利用模拟程序执行过程求输出结果，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．
9、B
【解析】
化简式子得到，利用正弦定理余弦定理原式等于，代入数据得到答案.
【详解

利用正弦定理和余弦定理得到：

故选B
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.
10、A
【解析】
将不等式化为，可知满足不等式，不满足不等式，由此可确定个整数解为；当和时，解不等式可知不满足题意；当时，解出不等式的解集，要保证整数解为，则需，解不等式组求得结果.
【详解】
由得：
当时，成立 必为不等式的一个整数解
当时，不成立 不是不等式的整数解
个整数解分别为：
当时，，不满足题意
当时，解不等式得：或
不等式不可能只有个整数解，不满足题意
当时，
，解得：，即的取值范围为：
本题正确选项：
本题考查根据不等式整数解的个数求解参数范围问题，关键是能够利用特殊值确定整数解的具体取值，从而解不等式，根据整数解的取值来确定解集的上下限，构造不等式组求得结果.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、{m|－1＜m≤1或m＝－}
【解析】
由x=，化简得x2+y2=1，注意到x≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一、四象限．画出图象，这样因为直线与其只有一个交点，由此能求出实数m的取值范围．
【详解】
由x=，化简得x2+y2=1，注意到x≥0，
所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，
且其图象只在一、四象限．
画出图象，这样因为直线与其只有一个交点，
从图上看出其三个极端情况分别是：
①直线在第四象限与曲线相切，
②交曲线于（0，﹣1）和另一个点，
③与曲线交于点（0，1）．
直线在第四象限与曲线相切时解得m=﹣，
当直线y=x+m经过点（0，1）时，m=1．
当直线y=x+m经过点（0，﹣1）时，m=﹣1，所以此时﹣1＜m≤1．
综上满足只有一个公共点的实数m的取值范围是：
﹣1＜m≤1或m=﹣．

故答案为：{m|－1＜m≤1或m＝－}．
本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
12、
【解析】
令真数为，求出的值，代入函数解析式可得出定点坐标.
【详解】
令，得，当时，.
因此，函数的图象过定点.
故答案为：.
本题考查对数型函数图象过定点问题，一般利用真数为来求得，考查计算能力，属于基础题.
13、
【解析】
对a分类讨论，利用判别式，即可得到结论．
【详解】
（1）a﹣2=0，即a=2时，﹣4＜0，恒成立；
（2）a﹣2≠0时，，解得﹣2＜a＜2，
∴﹣2＜a≤2
故答案为：．
对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：
一是，开口；
二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；
三是，判别式，决定于x轴的交点个数；
四是，区间端点值.
14、.
【解析】
将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.
【详解】
函数,周期为
本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.
15、6
【解析】
利用分层抽样的定义求解.
【详解】
设从高一年级的学生中抽取x名，由分层抽样的知识可知，解得x＝6.
故答案为6.
本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
16、
【解析】
把一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，利用列举法求出基本事件有4个，由此能求出两次都是正面向上的概率．
【详解】
把一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，
基本事件有4个，分别为：正正，正反，反正，反反，
两次都是正面向上的概率为．
故答案为：．
本题考查古典概型的概率计算，求解时注意列举法的应用，即列举出所有等可能结果.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ;(2).
【解析】
(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.
【详解】
(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．
，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.
(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，
故，解得.
又应用正弦定理，，
由三角形面积公式有：
.
又因,故，
故.
故的取值范围是
这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据二次函数单调性讨论即可解决．
（2）分两种情况讨论，分别讨论单调递增和单调递减的情况即可解决．
【详解】
（1）若，即时，，
解得：，
若，即时，，
解得：（舍去）.
（2）（ⅰ）若在上单调递增，则，
则，

即是方程的两个不同解，所以，即，
且当时，要有，
即，可得，
所以；
（ⅱ）若在上单调递减，则，
则，
两式相减得：，
将代入（2）式，得，
即是方程的两个不同解，
所以，即，
且当时要有，
即，可得，
所以，
（iii）若对称轴在上，则不单调，舍弃．
综上，.
本题主要考查了二次函数的综合问题，在解决二次函数问题时需要关注的是单调性、对称轴、最值、开口、等属于中等偏上的题．
19、（1），；（2）
【解析】
试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和．
试题解析：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d=== 1．∴an=a1+（n﹣1）d=1n
设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则
q1===8，∴q=2，
∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1， ∴bn=1n+2n﹣1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=1n+2n﹣1， ∵数列{1n}的前n项和为n（n+1），
数列{2n﹣1}的前n项和为1×= 2n﹣1，
∴数列{bn}的前n项和为；
考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；1.数列求和．
20、（1），，；（2）猜想，证明见解析.
【解析】
（1）利用递推公式可计算出、的值；
（2）根据数列的前四项可猜想出，然后利用数学归纳法即可证明出猜想成立.
【详解】
（1），，则，
，；
（2）猜想，下面利用数学归纳法证明.
假设当时成立，即，
那么当时，，
这说明当时，猜想也成立.
由归纳原理可知，.
本题考查利用数列递推公式写出数列中的项，同时也考查了利用数学归纳法证明数列通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
21、（1），，；（2）第三种，理由见解析.
【解析】
（1）三种支付方式每天支付的金额依次为数列、、，可知数列为常数数列，数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列是以为首项，以为公比的等比数列，利用等差数列和等比数列求和公式可计算出、、关于的表达式；
（2）利用（1）中的结论，计算出、、的值，比较大小后可得出结论.
【详解】
（1）设三种支付方式每天支付的金额依次为数列、、，
它们的前项和分别为、、，
第一种付酬方式每天所付金额组成数列为常数列，且，所以；
第二种付酬方式每天所付金额组成数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以；
第三种付酬方式每天所付金额组成数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，当时，，，
，则.
因此，该学生在暑假期间共工作天，选第三种付酬方式较好.
本题考查等差数列和等比数列的应用，涉及等差数列和等比数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.