2025届辽宁省本溪中学高一下数学期末达标检测试题含解析.doc

2025届辽宁省本溪中学高一下数学期末达标检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．直线x﹣y+2＝0与圆x2+（y﹣1）2＝4的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
2．直线的倾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．135°
3．设等差数列的前n项和为，若，则(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
4．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
5．已知点是直线上一动点，与是圆的两条切线，为切点，则四边形的最小面积为(　　)
A． B． C． D．
6．在中，，，则的最大值为　　
A． B． C． D．
7．一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，该圆锥的母线长为（ ）
A． B．4 C． D．
8．已知四棱锥中，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．在中，内角所对的边分别为，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知两个等差数列，的前项和分别为，，若对任意的正整数，都有，则等于( )
A．1 B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在数列{}中，，则____.
12．已知，，则的值为 ．
13．从甲、乙、丙、丁四个学生中任选两人到一个单位实习，余下的两人到另一单位实习，则甲、乙两人不在同一单位实习的概率为________.
14．计算：__________．
15．在中，，，，则的面积是__________.
16．若首项为，公比为（）的等比数列满足，则的取值范围是________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知为数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
18．中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且．
(1)求的值；
(2)若，求面积的最大值．
19．已知直线和．
（1）若与互相垂直，求实数的值；
（2）若与互相平行，求与与间的距离，
20．已知是等差数列，满足，，且数列的前n项和.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，数列的前n项和为，求证:.
21．如图是一景区的截面图，是可以行走的斜坡，已知百米，是没有人行路（不能攀登）的斜坡，是斜坡上的一段陡峭的山崖.假设你（看做一点）在斜坡上，身上只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角）.

（1）请你设计一个通过测量角可以计算出斜坡的长的方案，用字母表示所测量的角，计算出的长，并化简；
（2）设百米，百米，，，求山崖的长.（精确到米）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
求得圆心到直线的距离，然后和圆的半径比较大小，从而判定两者位置关系，得到答案．
【详解】
由题意，可得圆心 到直线的距离为，
所以直线与圆相交．
故选：A．
本题主要考查了直线与圆的位置关系判定，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
2、C
【解析】
根据直线方程求出斜率即可得到倾斜角.
【详解】
由题：直线的斜率为，
所以倾斜角为120°.
故选：C
此题考查根据直线方程求倾斜角，需要熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系，熟记常见特殊角的三角函数值.
3、C
【解析】
由又，可得公差，从而可得结果.
【详解】
是等差数列

又，
∴公差，
，故选C．
本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
4、B
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】

画出约束条件，表示的可行域，如图，
由可得，
将变形为，
平移直线，
由图可知当直经过点时，
直线在轴上的截距最大，
最大值为，故选B.
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
5、A
【解析】
利用当与直线垂直时，取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出的最小值，然后利用勾股定理计算出、的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形面积的最小值．
【详解】
如下图所示：

由切线的性质可知，，，且，
，
当取最小值时，、也取得最小值，
显然当与直线垂直时，取最小值，且该最小值为点到直线
的距离，即，
此时，，
四边形面积的最小值为，故选A.
本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算以及四边形的面积，本题在求解切线长的最小值时，要抓住以下两点：
（1）计算切线长应利用勾股定理，即以点到圆心的距离为斜边，切线长与半径为两直角边；
（2）切线长取最小值时，点到圆心的距离也取到最小值．
6、A
【解析】
利用正弦定理得出的外接圆直径，并利用正弦定理化边为角，利用三角形内角和关系以及两角差正弦公式、配角公式化简，最后利用正弦函数性质可得出答案．
【详解】
中，，，则，，其中
由于，所以，所以最大值为．
故选A．
本题考查正弦定理以及两角差正弦公式、配角公式，考查基本分析计算能力，属于中等题．
7、B
【解析】
设圆锥的底面半径为，母线长为，利用扇形面积公式和圆锥表面积公式，求出圆锥的底面圆半径和母线长．
【详解】
设圆锥的底面半径为，母线长为
它的侧面展开图是圆心角为的扇形

又圆锥的表面积为 ，解得：
母线长为：
本题正确选项：
本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，关键是能够熟练应用扇形面积公式和圆锥表面积公式，是基础题．
8、D
【解析】
因为为等腰直角三角形，,故,则点到平面的距离为,而底面正方形的中心到边的距离也为,则顶点正方形中心的距离,正方形的外接圆的半径为,故正方形的中心是球心,则球的半径为,所以该几何体外接球的表面积,应选D．
9、C
【解析】
根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sinA，进而利用二倍角余弦公式得到结果.
【详解】
∵．
∴sinAcosB＝4sinCcosA﹣sinBcosA
即sinAcosB+sinBcosA＝4cosAsinC
∴sinC＝4cosAsinC
∵1＜C＜π，sinC≠1．
∴1＝4cosA，即cosA，
那么．
故选C
本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．
10、B
【解析】
利用等差数列的性质将化为同底的，再化简，将分子分母配凑成前n项和的形式，再利用题干条件，计算。
【详解】
∵等差数列，的前项和分别为，，对任意的正整数，都有，
∴．
故选B.
本题考查等差数列的性质的应用，属于中档题。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】
直接利用等比数列的通项公式得答案．
【详解】
解：在等比数列中，由，公比，得．
故答案为：1．
本题考查等比数列的通项公式，是基础题．
12、3
【解析】
，故答案为3.
13、.
【解析】
求得从甲、乙、丙、丁四个学生中任选两人的总数和甲、乙两人不在同一单位实习的方法数，由古典概型的概率计算公式可得所求值．
【详解】
解：从甲、乙、丙、丁四个学生中任选两人的方法数为种，
甲、乙两人不在同一单位实习的方法数为种，
则甲、乙两人不在同一单位实习的概率为．
故答案为：．
本题主要考查古典概型的概率计算公式，考查运算能力，属于基础题．
14、
【解析】
分子分母同除以，即可求出结果
【详解】
因为.
故答案为
本题主要考查“”型的极限计算，熟记常用做法即可，属于基础题型.
15、
【解析】
计算，等腰三角形计算面积，作底边上的高，计算得到答案.
【详解】
，
过C作于D，则

故答案为
本题考查了三角形面积计算，属于简单题.
16、
【解析】
由题意可得且，即且，，化简可得由不等式的性质可得的取值范围.
【详解】
解：
，
故有且，
化简可得
且
即
故答案为：
本题考查数列极限以及不等式的性质，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) (2)
【解析】
(1)先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式求结果，(2)根据错位相减法求结果.
【详解】
(1)因为，所以当时， ,相减得 ， ，当时， ，因此数列 为首项为，2为公比的等比数列，
(2),所以，
则2，
两式相减得
.
本题考查错位相减法求和以及由和项求通项，考查基本求解能力，属中档题.
18、（1）；（2）
【解析】
(1)将化简代入数据得到答案.
(2)利用余弦定理和均值不等式计算，代入面积公式得到答案.
【详解】

；
(2)由，可得，
由余弦定理可得，
即有，当且仅当，取得等号．
则面积为．
即有时，的面积取得最大值．
本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型.
19、（1）（2）
【解析】
(1)根据直线垂直的公式求解即可.
(2)根据直线平行的公式求解,再利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】
解（1）∵与互相垂直,∴,解得．
（2）由与互相平行,∴,解得．
直线化为：,
∴与间的距离．
本题主要考查了直线平行与垂直以及平行线间的距离公式.属于基础题.
20、（1），（2）证明见解析
【解析】
（1）计算，得到，再计算的通项公式得到答案.
（2），利用裂项求和得到得到证明.
【详解】
（1），，.，.
是等差数列，所以，所以.
当时，，
又，所以，当时，，符合，
所以的通项公式是.
（2）.所以，即.
本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
21、（1）米，详见解析 （2）205米
【解析】
（1）由题意测得，，在中利用正弦定理求得的值；
（2）解法一，中由余弦定理求得，中求得和的值，在中利用余弦定理求得的值．
解法二，中求得，中利用余弦定理求得，利用三角恒等变换求得，在中利用余弦定理求得的值．
【详解】
解：（1）据题意，可测得，，
在中，由正弦定理，有，
即.
解得（米）.
（2）解一：在中，百米，
百米，百米，
由余弦定理，可得，
解得，
∴.
又由已知，在中，，
可解得，从而的.
∵，
在中，由余弦定理得米
所以，的长度约为205米.

解二：（2）在中，求得.
在中，由余弦定理，得，
进而得，再由可求得，
.
在中，由余弦定理，得.
所以，的长度约为205米.
本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了三角函数模型应用问题，是中档题．