2025届北海市重点中学数学高一下期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025届北海市重点中学数学高一下期末达标检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知等比数列的前项和为，则下列一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．已知点，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率k的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C． D．
3．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
4．已知平面向量与的夹角为，且，则（）
A． B． C． D．
5．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积(弦矢+矢).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长等于的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积为（ ）
A． B． C． D．
6．以下给出了4个命题：
（1）两个长度相等的向量一定相等；
（2）相等的向量起点必相同；
（3）若，且，则；
（4）若向量的模小于的模，则．
其中正确命题的个数共有（ ）
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0个
7．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，已知，，，则的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
9．若向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝3，则|2＝（　　）
A．2 B．14 C．2 D．8
10．有一个容量为200的样本，样本数据分组为，，，，，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间内的频数为（ ）

A．48 B．60 C．64 D．72
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，的最大值为_____.
12．函数的值域是________
13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，则的最大值为________.
14．已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，则的前9项和_______.
15．关于函数f（x）=4sin（2x+）（x∈R），有下列命题：
①y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x﹣）；
②y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；
③y=f（x）的图象关于点对称；
④y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称．
其中正确的命题的序号是 ．
16．设，用，表示所有形如的正整数集合，其中且，为集合中的所有元素之和，则的通项公式为_______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）当，时，求不等式的解集；
（2）若，，的最小值为2，求的最小值.
18．已知等比数列的首项为，公比为，它的前项和为.
1）若，，求；
（2）若，，且，求.
19．已知三角形的三个顶点，，.
（1）求线段的中线所在直线方程；
（2）求边上的高所在的直线方程.
20．已知集合，数列是公比为的等比数列，且等比数列的前三项满足.
（1）求通项公式；
（2）若是等比数列的前项和，记，试用等比数列求和公式化简（用含的式子表示）
21．等差数列的前项和为，求数列前项和.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
设等比数列的公比为q，利用通项公式与求和公式即可判断出结论．
【详解】
设等比数列的公比为q，
若，则，则，

而与0的大小关系不确定.
若，则，则与同号，
则与0的大小关系不确定.
故选：C
本题主要考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2、A
【解析】
先求出线段的方程，得出，在直线的方程中得到，将代入的表达式，利用不等式的性质求出的取值范围．
【详解】
易求得线段的方程为，得，
由直线的方程得
，
当时，，此时，；
当时，，此时，．
因此，实数的取值范围是或，故选A．
本题考查斜率取值范围的计算，可以利用数形结合思想，观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围，也可以利用参变量分离，得出斜率的表达式，利用不等式的性质得出斜率的取值范围，考查计算能力，属于中等题．
3、A
【解析】
设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号.
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以
.
4、A
【解析】
根据平面向量数量积的运算法则，将平方运算可得结果．
【详解】
∵，∴，
∴cos=4，∴，
故选A.
本题考查了利用平面向量的数量积求模的应用问题，考查了数量积与模之间的转化，是基础题目．
5、C
【解析】
首先根据图形计算出矢，弦，再带入弧田面积公式即可.
【详解】
如图所示：

因为，，为等边三角形.
所以，矢，弦.
.
故选：C
本题主要考查扇形面积公式，同时考查学生对题意的理解，属于中档题.
6、D
【解析】
利用向量的概念性质和向量的数量积对每一个命题逐一分析判断得解.
【详解】
（1）两个长度相等的向量不一定相等，因为它们可能方向不同，所以该命题是错误的；
（2）相等的向量起点不一定相同，只要它们方向相同长度相等就是相等向量，所以该命题是错误的；
（3）若，且，则是错误的，举一个反例，如，不一定相等，所以该命题是错误的；
（4）若向量的模小于的模，则，是错误的，因为向量不能比较大小，因为向量既有大小又有方向，故该命题不正确．
故选：D
本题主要考查向量的概念和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7、B
【解析】
由指数函数的性质得，由对数函数的性质得，根据正切函数的性质得，即可求解，得到答案．
【详解】
由指数函数的性质，可得，由对数函数的性质可得，
根据正切函数的性质，可得，所以，故选B.
本题主要考查了指数式、对数式以及正切函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，以及正切函数的性质得到的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
8、A
【解析】
由正弦定理得出，从而得出可能为钝角或锐角，分类讨论这两种情况，结合正弦函数的单调性即可判断.
【详解】
由正弦定理得
可能为钝角或锐角
当为钝角时，,符合题意，所以为钝角三角形；
当为锐角时，由于在区间上单调递增，
则，所以，即为钝角三角形
综上，为钝角三角形
故选：A
本题主要考查了利用正弦定理判断三角形的形状，属于中档题.
9、A
【解析】
由已知可得||，根据数量积公式求解即可．
【详解】
||．
故选A．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查了利用数量积进行向量模的运算求解方法，属于基础题．
10、B
【解析】
由，求出，计算出数据落在区间内的频率，即可求解.
【详解】
由,
解得，
所以数据落在区间内的频率为，
所以数据落在区间内的频数，
故选B.
本题主要考查了频率分布直方图，频率、频数，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
化简，再利用基本不等式以及辅助角公式求出的最大值，即可得到的最大值
【详解】
由题可得：
由于，，所以，
由基本不等式可得：

由于，所以
所以，即的最大值为
故答案为
本题考查三角函数的最值问题，涉及二倍角公式、基本不等式、辅助角公式等知识点，属于中档题。
12、
【解析】
利用函数的单调性，结合函数的定义域求解即可．
【详解】
因为函数的定义域是，，函数是增函数，
所以函数的最小值为：，最大值为：．
所以函数的值域为：，．
故答案为，．
本题考查函数的单调性以及函数的值域的求法，考查计算能力．
13、
【解析】
先求得的值，再利用两角和差的三角公式和正弦函数的最大值，求得的最大值．
【详解】
中，若的面积为，，．
，
当且仅当时，取等号，故 的最大值为，
故答案为：．
本题主要两角和差的三角公式的应用和正弦函数的最大值，属于基础题．
14、117
【解析】
由成等比数列求出公差，由前项公式求和．
【详解】
设数列是公差为，则，
由成等比数列得，解得，
∴．
故答案为：117.
本题考查等差数列的前项和公式，考查等比数列的性质．解题关键是求出数列的公差．
15、①③
【解析】
∵f （x）=4sin（2x+）=4cos（）=4cos（﹣2x+）=4cos（2x﹣），故①正确；
∵T=，故②不正确；
令x=﹣代入f （x）=4sin（2x+）得到f（﹣）=4sin（+）=0，
故y=f （x）的图象关于点对称，③正确④不正确；
故答案为①③．
16、
【解析】
把集合中每个数都表示为2的0到的指数幂相加的形式，并确定，，，，每个数都出现次，于是利用等比数列求和公式计算，可求出数列的通项公式．
【详解】
由题意可知，，，，是0，1，2，，的一个排列，
且集合中共有个数，若把集合中每个数表示为的形式，
则，，，，每个数都出现次，
因此，，
故答案为：．
本题以数列新定义为问题背景，考查等比数列的求和公式，考查学生的理解能力与计算能力，属于中等题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）利用零点讨论法解绝对值不等式；（2）利用绝对值三角不等式得到a+b=2,再利用基本不等式求的最小值.
详解】
（1）当，时，，
得或或，解得：，
∴不等式的解集为.
（2），
∴，
∴，
当且仅当，时取等号.
∴的最小值为.
本题主要考查零点讨论法解绝对值不等式，考查绝对值三角不等式和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据题意建立和的方程组，求出这两个量，然后利用等比数列的通项公式可求出；
（2）分、、三种情况讨论，然后利用等比数列的求和公式求出和，即可计算出.
【详解】
（1）若，则，得，则，这与矛盾，则，
所以，，解得，因此，；
（2）当时，则，所以，；
当时，，，
则，此时
当时，则.
因此，.
本题考查等比数列通项公式的计算，同时也考查了与等比数列前项和相关的数列极限的计算，解题时要注意对公比的取值进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
19、（1）（2）.
【解析】
（1）先求出BC中点的坐标，再求BC的中线所在直线的方程；（2）先求出AB的斜率，再求出边上的高所在的直线方程.
【详解】
（1）由题得BC的中点D的坐标为（2，-1）,
所以,
所以线段的中线AD所在直线方程为
即.
（2）由题得,
所以AB边上的高所在直线方程为，
即.
本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
20、1）（2）
【解析】
（1）观察式子特点可知，只有2,4,8三项符合等比数列特征，再根据题设条件求解即可；
（2）根据等比数列通项公式表示出，再采用分组求和法化简的表达式即可
【详解】
（1）由题可知，只有2,4,8三项符合等比数列特征，又，故，
故，；
（2），

，所以
本题考查等比数列通项公式的求法，等比数列前项和公式的用法，分组求和法的应用，属于中档题
21、
【解析】
由已知条件利用等差数列前项和公式求出公差和首项，由此能求出，且，当时，，当时，。
【详解】

解得，
设从第项开始大于零，
则
，即
当时，
当时，
综上有
本题考查数列的前项和的求法，是中档题，注意等差数列的函数性质的运用。