江苏省南京市南京一中2025年高一下数学期末质量检测模拟试题含解析.doc

江苏省南京市南京一中2025年高一下数学期末质量检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，已知、、分别是角的对边，若，则的形状为
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
2．数列的通项公式，则（ ）
A． B． C．或 D．不存在
3．已知函数则的是
A． B． C． D．
4．已知，函数的最小值是（ ）
A．5 B．4 C．8 D．6
5．某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（ ）
A．3 B．5 C．2 D．1
6．已知等差数列的前项之和为，前项和为，则它的前项的和为（ ）
A. B. C. D.
7．已知为等比数列的前项和，，，则　　
A． B． C． D．11
8．已知公式为正数的等比数列满足：，，则前5项和( )
A．31 B．21 C．15 D．11
9．设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．执行如下的程序框图，则输出的是（ ）

A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列中，，当时，，数列的前项和为_____．
12．观察下列式子：你可归纳出的不等式是___________
13．已知圆：，若对于圆：上任意一点，在圆上总存在点使得，则实数的取值范围为__________．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知直角中，直角顶点A在直线上，顶点B，C在圆上，则点A横坐标的取值范围是__________.
15．已知直线l与圆C：交于A，B两点，，则满足条件的一条直线l的方程为______.
16．已知，是第三象限角，则 .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，过点的直线与圆交于两点，．
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线与轴交于点，设，，，R，求的值．
18．在公比不为1的等比数列中，，且依次成等差数列
（1）求数列的通项公式；
（2）令，设数列的前项和，求证：
19．如图是函数的部分图像，是它与轴的两个不同交点，是之间的最高点且横坐标为，点是线段的中点.
（1）求函数的解析式及上的单调增区间；
（2）若时，函数的最小值为，求实数的值.

20．如图，已知矩形中，，，M是以为直径的半圆周上的任意一点（与C，D均不重合），且平面平面.

（1）求证：平面平面；
（2）当四棱锥的体积最大时，求与所成的角
21．已知直线的方程为．
（1）求直线所过定点的坐标；
（2）当时，求点关于直线的对称点的坐标；
（3）为使直线不过第四象限，求实数的取值范围．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由，利用正弦定理可得，进而可得sin2A=sin2B，由此可得结论．
【详解】
∵，
∴由正弦定理可得
∴sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A+2B=π
∴A=B或A+B=
∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形
故选D．
判断三角形形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
2、B
【解析】
因为趋于无穷大,故,分离常数即可得出极限.
【详解】
解：因为的通项公式,
要求,即求

故选：B
本题考查数列的极限,解答的关键是消去趋于无穷大的式子.
3、D
【解析】
根据自变量的范围确定表达式，从里往外一步步计算即可求出.
【详解】
因为，所以，
因为，所以＝＝3.
主要考查了分段函数求值问题，以及对数的运算，属于基础题.对于分段函数求值问题，一定要注意根据自变量的范围，选择正确的表达式代入求值.
4、D
【解析】
试题分析：因为该函数的单调性较难求，所以可以考虑用不等式来求最小值，，因为，由重要不等式可知，所以，本题正确选项为D.
考点：重要不等式的运用.
5、A
【解析】
先由题意确定抽样比，进而可求出结果.
【详解】
由题意该单位共有职工人，
用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，抽样比为，
所以应抽查的老年人的人数为.
故选A
本题主要考查分层抽样，会由题意求抽样比即可，属于基础题型.
6、C
【解析】
试题分析：由于等差数列中也成等差数列，即成等差数列，所以，故选C.
考点：等差数列前项和的性质.
7、C
【解析
由题意易得数列的公比代入求和公式计算可得．
【详解】
设等比数列公比为q，，
则，解得，
，
故选：C．
本题考查等比数列的求和公式和通项公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．
8、A
【解析】
由条件求出数列的公比．再利用等比数列的前项求和公式即可得出．
【详解】
公比为正数的等比数列满足：，
则，即.
所以,所以.
故选：A
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9、B
【解析】
先求出长方体的对角线的长度，即得外接球的直径，再求球的表面积得解.
【详解】
由题得长方体外接球的直径.
故选：B
本题主要考查长方体的外接球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
10、A
【解析】
列出每一步算法循环，可得出输出结果的值.
【详解】
满足，执行第一次循环，，；
成立，执行第二次循环，，；
成立，执行第三次循环，，；
成立，执行第四次循环，，；
成立，执行第五次循环，，；
成立，执行第六次循环，，；
成立，执行第七次循环，，；
成立，执行第八次循环，，；
不成立，跳出循环体，输出的值为，故选：A.
本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.

二、填空题：本大题共6小题每小题5分，共30分。
11、．
【解析】
首先利用数列的关系式的变换求出数列为等差数列，进一步求出数列的通项公式，最后求出数列的和．
【详解】
解：数列中，，当时，，
整理得，
即，
∴数列是以为首项，6为公差的等差数列，
故，
所以，
故答案为：．
本题主要考查定义法判断等差数列，考查等差数列的前项和，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
12、
【解析】
观察三个已知式子的左边和右边，第1个不等式左边可改写成；第2个不等式左边的可改写成，右边的可改写成；第3个不等式的左边可改写成；据此可发现第个不等式的规律.
【详解】
观察三个已知式子的左边和右边，
第1个式子可改写为：，
第2个式子可改写为：，
第3个式子可改写为：，

所以可归纳出第个不等式是：.
故答案为：.
本题考查归纳推理，考查学生分析、解决问题的能力，属于基础题．
13、
【解析】
由，知为圆的切线，所以两圆外离，即圆心距大于两半径之和，代入方程即可。
【详解】
由，知为圆的切线，
即在圆上任意一点都可以向圆作切线，
当两圆外离时，满足条件，
所以，，
即，
化简，得：，
解得：或.

和圆半径所成夹角为，即是圆的切线，两圆外离表示圆心距大于两半径之和。
14、
【解析】
由题意画出图形，写出以原点为圆心，以为半径的圆的方程，与直线方程联立求得值，则答案可求．
【详解】
如图所示，当点往直线两边运动时，不断变小，
当点为直线上的定点时，直线与圆相切时，最大，
∴当为正方形，则，
则以为圆心，以为半径的圆的方程为．
联立，得．
解得或．
点横坐标的取值范围是．
故答案为：．

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的应用.
15、（答案不唯一）
【解析】
确定圆心到直线的距离，即可求直线的方程.
【详解】
由题意得圆心坐标，半径，，
∴圆心到直线的距离为，
∴满足条件的一条直线的方程为.
故答案为：（答案不唯一）.
本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生的计算能力，属于中档题.
16、.
【解析】
试题分析：根据同角三角函数的基本关系知，，化简整理得①，又因为②，联立方程①②即可解得：，，又因为是第三象限角，所以，故.
考点：同角三角函数的基本关系.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）设斜率为，则直线的方程为，利用圆的弦长公式，列出方程求得的值，即可得到直线的方程；
（2）当直线的斜率不存在时，根据向量的运算，求得，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，以及向量的运算，求得得到答案．
【详解】
（1）当直线的斜率不存在时，，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，
所以圆心到直线的距离，
因为，所以，解得，
所以直线的方程为． .
（2）当直线的斜率不存在时，不妨设，，，
因为，，所以，，
所以，，所以．
当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为：，
因为直线与轴交于点，所以．
直线与圆交于点，，设，，
由得，，所以，；
因为，，所以，，
所以，，
所以．
综上，．
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及向量的坐标运算，其中解答中熟记圆的弦长公式，以及联立方程组，合理利用根与系数的关系和向量的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
18、 (1) (2) 见证明
【解析】
（1）根据已知条件得到关于的方程组，解方程组得的值，即得数列的通项公式；（2）先求出，，再利用裂项相消法求，不等式即得证.
【详解】
（1）设公比为，，，成等差数列，可得，
即，解得（舍去），或，
又，解得
所以.
（2）
故，
得

本题主要考查等比数列通项的求法，考查等差数列前n项和的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
19、（1）（2）
【解析】
（1）由点是线段的中点可得和的坐标，从而得最值和周期，可得和，再代入顶点坐标可得，再利用整体换元可求单调区间；
（2）令得到，讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系求最值即可.
【详解】
（1）因为为中点，，所以，，则，
，又因为，则
所以，由

又因为，则
所以
令
又因为
则单调递增区间为.
（2）因为
所以
令，则
对称轴为
①当时，即时，；
②当时，即时，（舍）
③当时，即时，（舍）
综上可得：.
本题主要考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式及二次函数轴动区间定的最值问题，考查了学生的分类讨论思想及计算能力，属于中档题.
20、（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）证明，得到平面，得到答案.
（2）过点M作于点E，当M为半圆弧的中点时，四棱锥的体积最大，作于F，连接，与所成的角即与所成的角，计算得到答案.
【详解】
（1）为直径，，已知平面平面，.
平面，所以，
又，平面，又平面，
∴平面平面.
（2）过点M作于点E， ∵平面平面，
平面，即为四棱锥的高，又底面面积为定值.
所以当M为半圆弧的中点时，四棱锥的体积最大.
作于F，连接，
，与所成的角即与所成的角.
在直角中，，
，所以.
，故与所成的角为.

本题考查了面面垂直，体积的最值，异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
21、（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）把直线化简为，所以直线过定点（1，1）；
（2）设B点坐标为，利用轴对称的性质列方程可以解得；
（3）把直线化简为，由直线不过第四象限，得，解出即可．
【详解】
（1）直线的方程化简为，点满足方程，故直线所过定点的坐标为．
（2）当时，直线的方程为，设点的坐标为，
列方程组解得：，，
故点关于直线的对称点的坐标为，
（3）把直线方程化简为，由直线不过第四象限，得，
解得，即的取值范围是．
本题考查直线方程过定点，以及点关于直线对称的问题，直线斜截式方程的应用，属于基础题．